previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 14. Решение

 

Условие задачи

Ирина Давыдова, Анна Малкова В усеченной правильной четырехугольной пирамиде ABCDA_1B_1C_1D_1 отношение площадей оснований \displaystyle \frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}=4.
Плоскость α проходит через центр нижнего основания параллельно прямым AA_1 и BC.

а) Докажите, что сечение усеченной пирамиды ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью α имеет пару равных сторон.

б) Найдите угол между плоскостью α и гранью CC_1D_1D, если известно, что AD = 12, AA_1 = 5.

 

Решение

Пусть O — центр нижнего основания, точка O лежит в плоскости \alpha,

\alpha \parallel AA_1

\alpha \parallel B_1C_1,

построим сечение пирамиды плоскостью \alpha

Проведём MN, \, \, \, O \in MN,

MN \parallel BC.

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

\alpha \parallel BC, \, \, BC \in (ABC)

\alpha \cap (ABC) = MN, тогда MN \parallel BC — линия пересечения \alpha и нижней грани.

Также \alpha \parallel AA_1.

\triangle ASB; \, \, A_1 — середина AS,

M — середина AB,
B_1 - середина BS, тогда MB_1 — средняя линия \triangle ABS,

MB_1 \parallel AS

Следовательно, MB_1 \parallel AA_1

Линии пересечения параллельных плоскости третьей плоскостью параллельны,

(ABC) \parallel (A_1B_1C_1),

\alpha \cap (ABC) = MN

\alpha \cap (A_1B_1C_1) = B_1C_1,

B_1C_1 \parallel MN,

MB_1C_1N — трапеция, MN \parallel B_1C_1.

C_1N — средняя линия \triangle CDS,

C_1N = B_1M, \, \, \, MB_1C_1N — равнобедренная трапеция

б) Найдём угол между плоскостью \alpha и гранью CC_1D_1D

AC = AB \sqrt2 = \sqrt{12}, \, \, \, \, \, AS = 10.

\left.\begin{matrix} C_1N \parallel B_1D\\ MN \parallel AD \end{matrix}\right\} \Rightarrow \alpha \parallel (AA_1D_1)

\varphi — угол между \alpha и гранью C_1D_1D — равен углу между гранями AA_1D_1 и CC_1D_1.

Найдём линейный угол этого двухгранного угла.

В плоскости ASD проведём AH \perp SD.

AH \in (AA_1D_1),

\triangle ASD = \triangle CSD

\triangle ASD и \triangle ASD — равнобедренные, CH — высота \triangle CSD.

\varphi = \angle AHC.

Найдём \angle AHC из треугольника AHC. Запишем теорему косинусов для \triangle AHC

\triangle AHC:

AC^2 = 2AH^2 - 2AH^2 cos \alpha

2 \cdot 144 = 2 \cdot 9,6 ^2 (1-cos \alpha)

\displaystyle 1- cos \alpha = (\frac{12}{9,6})^2= (\frac{4}{3,2})^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}

\displaystyle cos \alpha = 1 - \frac{25}{16} = -\frac{9}{16};

\displaystyle \varphi = arccos \frac{9}{16}

 

Ответ

\displaystyle arccos \frac{9}{16}