Условие задачи
Ирина Давыдова, Анна Малкова В усеченной правильной четырехугольной пирамиде \(ABCDA_1B_1C_1D_1 \) отношение площадей оснований \(\displaystyle \frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}=4.\)
Плоскость α проходит через центр нижнего основания параллельно прямым \(AA_1 \) и \(BC. \)
а) Докажите, что сечение усеченной пирамиды \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью α имеет пару равных сторон.
б) Найдите угол между плоскостью α и гранью \(CC_1D_1D,\) если известно, что \(AD = 12, AA_1 = 5.\)
Решение
Пусть O — центр нижнего основания, точка O лежит в плоскости \(\alpha, \)
\(\alpha \parallel AA_1\)
\(\alpha \parallel B_1C_1,\)
построим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\)
Проведём \(MN, \, \, \, O \in MN,\)
\(MN \parallel BC.\)
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,
\(\alpha \parallel BC, \, \, BC \in (ABC)\)
\(\alpha \cap (ABC) = MN,\) тогда \(MN \parallel BC\) — линия пересечения \(\alpha\) и нижней грани.
Также \(\alpha \parallel AA_1.\)
\(\triangle ASB; \, \, A_1\) — середина AS,
M — середина AB,
\(B_1\) - середина BS, тогда \(MB_1\) — средняя линия \(\triangle ABS,\)
\(MB_1 \parallel AS\)
Следовательно, \(MB_1 \parallel AA_1\)
Линии пересечения параллельных плоскости третьей плоскостью параллельны,
\((ABC) \parallel (A_1B_1C_1),\)
\(\alpha \cap (ABC) = MN\)
\(\alpha \cap (A_1B_1C_1) = B_1C_1,\)
\(B_1C_1 \parallel MN,\)
\(MB_1C_1N\) — трапеция, \(MN \parallel B_1C_1.\)
\(C_1N\) — средняя линия \(\triangle CDS, \)
\(C_1N = B_1M, \, \, \, MB_1C_1N\) — равнобедренная трапеция
б) Найдём угол между плоскостью \(\alpha\) и гранью \(CC_1D_1D\)
\(AC = AB \sqrt2 = \sqrt{12}, \, \, \, \, \, AS = 10.\)
\(\left.\begin{matrix} C_1N \parallel B_1D\\ MN \parallel AD \end{matrix}\right\} \Rightarrow \alpha \parallel (AA_1D_1)\)
\(\varphi\) — угол между \(\alpha\) и гранью \(C_1D_1D\) — равен углу между гранями \(AA_1D_1\) и \(CC_1D_1.\)
Найдём линейный угол этого двухгранного угла.
В плоскости ASD проведём \(AH \perp SD.\)
\(AH \in (AA_1D_1),\)
\(\triangle ASD = \triangle CSD\)
\(\triangle ASD\) и \(\triangle ASD\) — равнобедренные, CH — высота \(\triangle CSD.\)
\(\varphi = \angle AHC.\)
Найдём \(\angle AHC\) из треугольника AHC. Запишем теорему косинусов для \(\triangle AHC\)
\(\triangle AHC:\)
\(AC^2 = 2AH^2 - 2AH^2 cos \alpha\)
\(2 \cdot 144 = 2 \cdot 9,6 ^2 (1-cos \alpha)\)
\(\displaystyle 1- cos \alpha = (\frac{12}{9,6})^2
= (\frac{4}{3,2})^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}\)
\(\displaystyle cos \alpha = 1 - \frac{25}{16} = -\frac{9}{16};\)
\(\displaystyle \varphi = arccos \frac{9}{16}\)
Ответ
\(\displaystyle arccos \frac{9}{16}\)
