Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 14. Решение

Условие задачи

Ирина Давыдова, Анна Малкова В усеченной правильной четырехугольной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отношение площадей оснований $\displaystyle \frac{S_{ABCD}}{S_{A_1B_1C_1D_1}}=4.$
Плоскость α проходит через центр нижнего основания параллельно прямым $AA_1$ и $BC.$

а) Докажите, что сечение усеченной пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью α имеет пару равных сторон.

б) Найдите угол между плоскостью α и гранью $CC_1D_1D,$ если известно, что $AD = 12, AA_1 = 5.$

Решение

Пусть O — центр нижнего основания, точка O лежит в плоскости $\alpha,$

$\alpha \parallel AA_1$

$\alpha \parallel B_1C_1,$

построим сечение пирамиды плоскостью $\alpha$

Проведём $MN, \, \, \, O \in MN,$

$MN \parallel BC.$

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

$\alpha \parallel BC, \, \, BC \in (ABC)$

$\alpha \cap (ABC) = MN,$ тогда $MN \parallel BC$ — линия пересечения $\alpha$ и нижней грани.

Также $\alpha \parallel AA_1.$

$\triangle ASB; \, \, A_1$ — середина AS,

M — середина AB,
$B_1$ - середина BS, тогда $MB_1$ — средняя линия $\triangle ABS,$

$MB_1 \parallel AS$

Следовательно, $MB_1 \parallel AA_1$

Линии пересечения параллельных плоскости третьей плоскостью параллельны,

$(ABC) \parallel (A_1B_1C_1),$

$\alpha \cap (ABC) = MN$

$\alpha \cap (A_1B_1C_1) = B_1C_1,$

$B_1C_1 \parallel MN,$

$MB_1C_1N$ — трапеция, $MN \parallel B_1C_1.$

$C_1N$ — средняя линия $\triangle CDS,$

$C_1N = B_1M, \, \, \, MB_1C_1N$ — равнобедренная трапеция

б) Найдём угол между плоскостью $\alpha$ и гранью $CC_1D_1D$

$AC = AB \sqrt2 = \sqrt{12}, \, \, \, \, \, AS = 10.$

$\left.\begin{matrix} C_1N \parallel B_1D\\ MN \parallel AD \end{matrix}\right\} \Rightarrow \alpha \parallel (AA_1D_1)$

$\varphi$ — угол между $\alpha$ и гранью $C_1D_1D$ — равен углу между гранями $AA_1D_1$ и $CC_1D_1.$

Найдём линейный угол этого двухгранного угла.

В плоскости ASD проведём $AH \perp SD.$

$AH \in (AA_1D_1),$

$\triangle ASD = \triangle CSD$

$\triangle ASD$ и $\triangle ASD$ — равнобедренные, CH — высота $\triangle CSD.$

$\varphi = \angle AHC.$

Найдём $\angle AHC$ из треугольника AHC. Запишем теорему косинусов для $\triangle AHC$

$\triangle AHC:$

$AC^2 = 2AH^2 - 2AH^2 cos \alpha$

$2 \cdot 144 = 2 \cdot 9,6 ^2 (1-cos \alpha)$

$\displaystyle 1- cos \alpha = (\frac{12}{9,6})^2= (\frac{4}{3,2})^2 = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$

$\displaystyle cos \alpha = 1 - \frac{25}{16} = -\frac{9}{16};$

$\displaystyle \varphi = arccos \frac{9}{16}$

Ответ

$\displaystyle arccos \frac{9}{16}$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 14. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 14.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 14. Решение

Это полезно