Условие задачи
Решите неравенство: \((6x+7)^2(3x+4)(x+1) \leq 6\)
Решение
\((36x^2+84x+49)(3x^2+7x+4)\leq 6\)
Сделаем замену.
Пусть \(3x^2+7x+4 = t,\) тогда \(36x^2+84x+49=12t+1\)
\((12t+1)\cdot t \leq 6\)
\(12t^2+t - 6 \leq 0\)
\(\displaystyle 12(t - \frac{2}{3})(t+\frac{3}{4}) \leq 0\)
Вернемся к переменной х:
\(\displaystyle (3x^2+7x + \frac{10}{3})(3x^2 +7x +\frac{19}{4}) \leq 0\)
\(\displaystyle 3(x+\frac{2}{3}) (x+ \frac{5}{3}) (3x^2+7x +\frac{19}{4}) \leq 0\)
Последний множитель всегда положителен. Значит,
\(\displaystyle 3(x+\frac{2}{3}) (x+ \frac{5}{3}) \leq 0\)
Решая это неравенство, получим: \(\displaystyle x \in [- \frac{5}{3}; -\frac{2}{3}]\)
Ответ
\(\displaystyle x \in [- \frac{5}{3}; -\frac{2}{3}]\)
