previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 16. Решение

 

Условие задачи

Дмитрий Мухин Две окружности пересекаются в точках B и С и касаются некоторой прямой в точках A и D.
а) Докажите, что сумма углов ABD и ACD равна 180^\circ .
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ACD, если радиусы двух исходных окружностей равны 2 и 3.

 

Решение

а) По теореме об угле между касательной и хордой \angle CAD = \angle CBD. Аналогично \angle ADC = \angle DBS.

Значит, \angle ACD + \angle ABD = \angle ACD + \angle CAD + \angle ADS = 180^\circ (по сумме углов треугольника) ч.т.д.

б) По теореме синусов для \triangle ABC получим, что \displaystyle \frac{AC}{sin \angle ABC} = 4.

Аналогично, \displaystyle \frac{CD}{sin \angle DBC} = 6.

Значит, \displaystyle \frac{AC \cdot CD}{sin \angle ABC \cdot sin \angle DBC}=24

Но, по теореме синусов для \triangle ACD получим, что \displaystyle \frac{AC}{sin \angle ABC} = \frac{AC}{sin \angle ADC} =\frac{DC}{sin \angle CAD} =\frac{CD}{sin \angle DBC} = t \Rightarrow

\Rightarrow t^2 = 24 \Rightarrow t = 2 \sqrt6

Пусть R - радиус окружности, описанной около \triangle ACD. Тогда \displaystyle 2R = \frac{AC}{sin \angle ADC} = 2\sqrt 6 \Rightarrow R = \sqrt{6}.

Заметим, что рассуждения не изменятся, если поменять точки B и С местами.

 

Ответ

\sqrt {6}