Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 16. Решение

Условие задачи

Дмитрий Мухин Две окружности пересекаются в точках B и С и касаются некоторой прямой в точках A и D.
а) Докажите, что сумма углов ABD и ACD равна $180^\circ .$
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ACD, если радиусы двух исходных окружностей равны 2 и 3.

Решение

а) По теореме об угле между касательной и хордой $\angle CAD = \angle CBD.$ Аналогично $\angle ADC = \angle DBS.$

Значит, $\angle ACD + \angle ABD = \angle ACD + \angle CAD + \angle ADS = 180^\circ$ (по сумме углов треугольника) ч.т.д.

б) По теореме синусов для $\triangle ABC$ получим, что $\displaystyle \frac{AC}{sin \angle ABC} = 4.$

Аналогично, $\displaystyle \frac{CD}{sin \angle DBC} = 6.$

Значит, $\displaystyle \frac{AC \cdot CD}{sin \angle ABC \cdot sin \angle DBC}=24$

Но, по теореме синусов для $\triangle ACD$ получим, что $\displaystyle \frac{AC}{sin \angle ABC} = \frac{AC}{sin \angle ADC} =\frac{DC}{sin \angle CAD} =\frac{CD}{sin \angle DBC} = t \Rightarrow$

$\Rightarrow t^2 = 24 \Rightarrow t = 2 \sqrt6$

Пусть R - радиус окружности, описанной около $\triangle ACD.$ Тогда $\displaystyle 2R = \frac{AC}{sin \angle ADC} = 2\sqrt 6 \Rightarrow R = \sqrt{6}.$

Заметим, что рассуждения не изменятся, если поменять точки B и С местами.

Ответ

$\sqrt {6}$

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 16. Решение

Это полезно