Условие задачи
Дмитрий Мухин Две окружности пересекаются в точках B и С и касаются некоторой прямой в точках A и D.
а) Докажите, что сумма углов ABD и ACD равна \(180^\circ .\)
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ACD, если радиусы двух исходных окружностей равны 2 и 3.
Решение
а) По теореме об угле между касательной и хордой \(\angle CAD = \angle CBD.\) Аналогично \(\angle ADC = \angle DBS.\)
Значит, \(\angle ACD + \angle ABD = \angle ACD + \angle CAD + \angle ADS = 180^\circ\) (по сумме углов треугольника) ч.т.д.
б) По теореме синусов для \(\triangle ABC\) получим, что \(\displaystyle \frac{AC}{sin \angle ABC} = 4. \)
Аналогично, \(\displaystyle \frac{CD}{sin \angle DBC} = 6.\)
Значит, \(\displaystyle \frac{AC \cdot CD}{sin \angle ABC \cdot sin \angle DBC}=24\)
Но, по теореме синусов для \(\triangle ACD\) получим, что \(\displaystyle \frac{AC}{sin \angle ABC} = \frac{AC}{sin \angle ADC} =\frac{DC}{sin \angle CAD} =\frac{CD}{sin \angle DBC} = t \Rightarrow\)
\(\Rightarrow t^2 = 24 \Rightarrow t = 2 \sqrt6\)
Пусть R - радиус окружности, описанной около \(\triangle ACD.\) Тогда \(\displaystyle 2R = \frac{AC}{sin \angle ADC} = 2\sqrt 6 \Rightarrow R = \sqrt{6}.\)
Заметим, что рассуждения не изменятся, если поменять точки B и С местами.
Ответ
\(\sqrt {6}\)
