Условие задачи
Банк выдает кредит на следующих условиях:
- 1-го числа каждого следующего месяца после открытия кредита сумма долга увеличивается на 1%,
- Выплата части долга происходит в период со 2-го по 14-е число каждого следующего месяца равными суммами.
Предприниматель С. планирует взять кредит на этих условиях в середине сентября на сумму 1,1 млн рублей, так, чтобы ежемесячные выплаты были в пределах от 120 до 130 тысяч рублей. На сколько месяцев С. должен взять кредит?
Решение
Введем обозначения для суммы кредита и величины ежемесячной выплаты.
S = 1,1 млн руб = 1100 тыс. руб.
\(120 \leq x \leq 130\) тыс.руб
\(p = 1\%\)
Так как \(\displaystyle p = 1\%, \, \, k = 1,01 = 1 + \frac {p}{100}\) – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.
Составим схему погашения кредита:
\(Sk^n - X (k^{n-1}+k^{n-2}+ \dots +k+1) = 0\)
Применив формулу суммы геометрической прогрессии, получим:
\(\displaystyle S \cdot k^n = X \cdot \frac{k^n -1}{k-1}; \, \, \, \, \, \, \, \, \, k^n = q\)
\(q \, \textgreater \, 1\)
\(0,01 S = 11\)
\(\displaystyle X = \frac{0,01 S \cdot q}{q-1}\)
\(\displaystyle 120 \leq \frac{11q}{q-1} \leq 130 \)
\(\left\{\begin{gathered} 120q - 120 \leq 11q\\ 130q - 130 \geq 11q \end{gathered}\right.; \, \, \, \, \left\{\begin{gathered} 109q \leq 120\\ 119q \geq 130 \end{gathered}\right.\)
\(\displaystyle \frac{130}{119} \leq q \leq \frac{120}{109}\)
Посчитав \(\displaystyle \frac{120}{109}\) и \(\displaystyle \frac{130}{119}\) в столбик, получим:
\(1,0924 \leq q \leq 1,101\)
\(q = 1,01^n = (1+0,01)^n\)
Оценим q с помощью треугольника Паскаля.
Мы знаем, что \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \)
\((a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3,\)
Выражение \((a+b)^n\) называется бином Ньютона.
\((a+b)^n= c_1\cdot a^n+c_2\cdot a^{n-1}\cdot b+...+c_{n-1} ab^{n-1}+c_n\cdot b^n. \)
Обратите внимание: у каждого слагаемого степень а уменьшается, степень b – возрастает.
Остается лишь вопрос – как вычислить коэффициенты \(c_1,c_2 , \dots c_n.\) Самый простой способ их нахождения – треугольник Паскаля.
Вот как он строится. «Боковые стороны» этого треугольника состоят из единиц. А все числа внутри строк получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки.
Пусть n=8
\((1,01)^8 = 1+0,08+0,0028+ \, \dots \, \textless \, 1,0924\)
Пусть \(n =9. \)
\((1,01)^9 = 1+ 0,09 + 0,0036 + \, \dots \,\, \textgreater \, 1,0936 \, \textgreater \,1,0924. \)
\(n = 9\) – подходит.
Ответ
9
