previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 17. Решение

 

Условие задачи

Банк выдает кредит на следующих условиях:

- 1-го числа каждого следующего месяца после открытия кредита сумма долга увеличивается на 1%,
- Выплата части долга происходит в период со 2-го по 14-е число каждого следующего месяца равными суммами.

Предприниматель С. планирует взять кредит на этих условиях в середине сентября на сумму 1,1 млн рублей, так, чтобы ежемесячные выплаты были в пределах от 120 до 130 тысяч рублей. На сколько месяцев С. должен взять кредит?

 

Решение

Введем обозначения для суммы кредита и величины ежемесячной выплаты.

S = 1,1 млн руб = 1100 тыс. руб.

120 \leq x \leq 130 тыс.руб

p = 1\%

Так как \displaystyle p = 1\%, \, \, k = 1,01 = 1 + \frac {p}{100} – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.

Составим схему погашения кредита:

Sk^n - X (k^{n-1}+k^{n-2}+ \dots +k+1) = 0
Применив формулу суммы геометрической прогрессии, получим:

\displaystyle S \cdot k^n = X \cdot \frac{k^n -1}{k-1}; \, \, \, \, \, \, \, \, \, k^n = q

q \, \textgreater \, 1

0,01 S = 11

\displaystyle X = \frac{0,01 S \cdot q}{q-1}

\displaystyle 120 \leq \frac{11q}{q-1} \leq 130

\left\{\begin{gathered} 120q - 120 \leq 11q\\ 130q - 130 \geq 11q \end{gathered}\right.; \, \, \, \, \left\{\begin{gathered} 109q \leq 120\\ 119q \geq 130 \end{gathered}\right.

\displaystyle \frac{130}{119} \leq q \leq \frac{120}{109}

Посчитав \displaystyle \frac{120}{109} и \displaystyle \frac{130}{119} в столбик, получим:

1,0924 \leq q \leq 1,101

q = 1,01^n = (1+0,01)^n

Оценим q с помощью треугольника Паскаля.

Мы знаем, что (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,

(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3,

 

Выражение (a+b)^n называется бином Ньютона.

(a+b)^n= c_1\cdot a^n+c_2\cdot a^{n-1}\cdot b+...+c_{n-1} ab^{n-1}+c_n\cdot b^n.

Обратите внимание: у каждого слагаемого степень а уменьшается, степень b – возрастает.

Остается лишь вопрос – как вычислить коэффициенты c_1,c_2 , \dots c_n. Самый простой способ их нахождения – треугольник Паскаля.

Вот как он строится. «Боковые стороны» этого треугольника состоят из единиц. А все числа внутри строк получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки.

Пусть n=8

(1,01)^8 = 1+0,08+0,0028+ \, \dots \, \textless \, 1,0924

Пусть n =9.

(1,01)^9 = 1+ 0,09 + 0,0036 + \, \dots \,\, \textgreater \, 1,0936 \, \textgreater \,1,0924.

n = 9 – подходит.

Ответ

9