Условие задачи
Анна Малкова При каких значениях параметра а уравнение
\(9^{|x|}-4 \cdot 3^{|x|} -12=a^2-8a\)
имеет ровно 2 корня?
Решение
Сделаем замену \(3^{|x|} =t,t\geq1.\)
Уравнение примет вид:
\(t^2 -4 \cdot t-12=a^2-8a\)
Если уравнение имеет корень \(t = 1,\) ему соответствует единственное значение \(x = 0,\) и тогда число корней исходного уравнения будет нечетно.
Каждому \(t \, \textgreater \, 1\) соответствует 2 решения уравнения \(t = 3^{|x|}.\)
\(t^2 - 4t -12 =a^2 -8a\)
\(t^2 -4a +4 = a^2 -8a +16\)
\((t-2)^2 = (a-4)^2\)
\((t-2-a+4)(t-2+a-4)=0\)
\((a-t-2)(a+t-6)=0\)
Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если квадратное уравнение относительно t имеет ровно один корень, больший 1.
С учетом условия \(t \, \textgreater \,1\) равнение равносильно совокупности:
\(\left\{\begin{gathered} \left[ \begin{gathered} a = t+2 \\ a = 6-t \\ \end{gathered} \right. \\ t \, \textgreater \, 1 \end{gathered}\right.\)
Построим графики функций \(a = t+2\) и \(a = 6 - t\) в координатах t; a.
Найдем, при каких значениях а решением совокупности уравнений будет единственное значение
\(t \, \textgreater \,1.\)
Видим, что это происходит, если \(a \, \textless \, 3\) или \(a = 2\) или \(a \, \textgreater \, 5. \)
Ответ
\(a\in(-\infty ;3)\cup \left \{ 4 \right \} \cup(5; +\infty ).\)
