previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова При каких значениях параметра а уравнение

9^{|x|}-4 \cdot 3^{|x|} -12=a^2-8a

имеет ровно 2 корня?

 

Решение

Сделаем замену 3^{|x|} =t,t\geq1.

Уравнение примет вид:

t^2 -4 \cdot t-12=a^2-8a

Если уравнение имеет корень t = 1, ему соответствует единственное значение x = 0, и тогда число корней исходного уравнения будет нечетно.

Каждому t \, \textgreater \, 1 соответствует 2 решения уравнения t = 3^{|x|}.

t^2 - 4t -12 =a^2 -8a

t^2 -4a +4 = a^2 -8a +16

(t-2)^2 = (a-4)^2

(t-2-a+4)(t-2+a-4)=0

(a-t-2)(a+t-6)=0

Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если квадратное уравнение относительно t имеет ровно один корень, больший 1.
С учетом условия t \, \textgreater \,1 равнение равносильно совокупности:

\left\{\begin{gathered} \left[ \begin{gathered} a = t+2 \\ a = 6-t \\ \end{gathered} \right. \\ t \, \textgreater \, 1 \end{gathered}\right.

Построим графики функций a = t+2 и a = 6 - t в координатах t; a.
Найдем, при каких значениях а решением совокупности уравнений будет единственное значение
t \, \textgreater \,1.

Видим, что это происходит, если a \, \textless \, 3 или a = 2 или a \, \textgreater \, 5.

 

Ответ

a\in(-\infty ;3)\cup \left \{ 4 \right \} \cup(5; +\infty ).