Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 18. Решение

Условие задачи

Анна Малкова При каких значениях параметра а уравнение

$9^{|x|}-4 \cdot 3^{|x|} -12=a^2-8a$

имеет ровно 2 корня?

Решение

Сделаем замену $3^{|x|} =t,t\geq1.$

Уравнение примет вид:

$t^2 -4 \cdot t-12=a^2-8a$

Если уравнение имеет корень $t = 1,$ ему соответствует единственное значение $x = 0,$ и тогда число корней исходного уравнения будет нечетно.

Каждому $t \, \textgreater \, 1$ соответствует 2 решения уравнения $t = 3^{|x|}.$

$t^2 - 4t -12 =a^2 -8a$

$t^2 -4a +4 = a^2 -8a +16$

$(t-2)^2 = (a-4)^2$

$(t-2-a+4)(t-2+a-4)=0$

$(a-t-2)(a+t-6)=0$

Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если квадратное уравнение относительно t имеет ровно один корень, больший 1.
С учетом условия $t \, \textgreater \,1$ равнение равносильно совокупности:

$\left\{\begin{gathered} \left[ \begin{gathered} a = t+2 \\ a = 6-t \\ \end{gathered} \right. \\ t \, \textgreater \, 1 \end{gathered}\right.$

Построим графики функций $a = t+2$ и $a = 6 - t$ в координатах t; a.
Найдем, при каких значениях а решением совокупности уравнений будет единственное значение
$t \, \textgreater \,1.$