previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 19. Решение

Условие задачи

Статград, Тренировочная работа от 29 января 2020 года

На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.

а) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 14 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?

б) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 8 цифр?

в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n=4, если на доске написано ровно 20 цифр?

Решение

а) Да, может.
Возьмем числа a = 90,  b = 90^2  = 8100, c = 90^4=65610000.
На доске ровно 14 цифр.
б) Предположим, что при n = 3 на доске ровно 8 цифр.
Если первое из чисел не меньше 10, мы получим не меньше цифр, чем в числах 10, 100 и 10000 – то есть не меньше 10 цифр.
Возьмем a \leq 9, тогда b \, \textless \, 99, c =  a^4\, \textless \,9999,
Всего на доске не более 7 цифр.
Значит, ровно 8 цифр на доске не может быть, предположение было неверно, в этом пункте ответ «нет».
в) n=4,

ровно 20 цифр.

Найдём наименьшее a, которое может быть в этом случае.

Если a \leq 10, мы получим меньше, чем 19 цифр, так как если a = 10, на доске будет:

10, 100, 10000, 100000000 - 19 цифр

Значит, a \geq 11.

Если a \geq 15, получим, что на доске не меньше цифр, чем при a=15. При a=15 получим:

15, 225, 50625, 256 289 0625 - всего 20 цифр.

Значит, 11 \leq a \leq 15.

Проверим a=13 и a=14.

Если a=13, получим:

a=13, b=169

c=169^2 \, \textless \, 170^2

c \, \textless \, 28900 \, \textless \, 30000,

d \, \textless \, 30000^2, \, \, \, d \, \textless \, 90000 0000

На доске будет число меньше, чем 13 169 28900 90000 0000, то есть меньше 19 цифр, значит a=13 не подходит.

Если a=14, на доске будут числа:

a=14

b=196

c=196^2 \, \textgreater \, 190^2 = 36100

d \, \textgreater \, 36100 \, \textgreater \, 36000^2;

d \, \textgreater \, 1296 000000, то есть не меньше 20 цифр.

Ответ

а) Да
б) Нет
в) 14