previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 19. Решение

Условие задачи

Статград, Тренировочная работа от 29 января 2020 года

На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.

а) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 14 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?

б) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 8 цифр?

в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n=4, если на доске написано ровно 20 цифр?

Решение

а) Да, может.
Возьмем числа a = 90,  b = 90^2  = 8100, c = 90^4=65610000.
На доске ровно 14 цифр.
б) Предположим, что при n = 3 на доске ровно 8 цифр.
Если первое из чисел не меньше 10, мы получим не меньше цифр, чем в числах 10, 100 и 10000 – то есть не меньше 10 цифр.
Возьмем a \leq 9, тогда b \, \textless \, 99, c =  a^4\, \textless \,9999,
Всего на доске не более 7 цифр.
Значит, ровно 8 цифр на доске не может быть, предположение было неверно, в этом пункте ответ «нет».
в) n=4,

ровно 20 цифр.

Найдём наименьшее a, которое может быть в этом случае.

Если a \leq 10, мы получим меньше, чем 19 цифр, так как если a = 10, на доске будет:

10, 100, 10000, 100000000 - 19 цифр

Значит, a \geq 11.

Если a \geq 15, получим, что на доске не меньше цифр, чем при a=15. При a=15 получим:

15, 225, 50625, 256 289 0625 - всего 20 цифр.

Значит, 11 \leq a \leq 15.

Проверим a=13 и a=14.

Если a=13, получим:

a=13, b=169

c=169^2 \, \textless \, 170^2

c \, \textless \, 28900 \, \textless \, 30000,

d \, \textless \, 30000^2, \, \, \, d \, \textless \, 90000 0000

На доске будет число меньше, чем 13 169 28900 90000 0000, то есть меньше 19 цифр, значит a=13 не подходит.

Если a=14, на доске будут числа:

a=14

b=196

c=196^2 \, \textgreater \, 190^2 = 36100

d \, \textgreater \, 36100 \, \textgreater \, 36000^2;

d \, \textgreater \, 1296 000000, то есть не меньше 20 цифр.

Ответ

а) Да
б) Нет
в) 14

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 6. Задание 19. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 16.03.2023