Условие задачи
Статград, Тренировочная работа от 29 января 2020 года
На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.
а) Могли ли при n = 3 на доске быть написаны ровно 14 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?
б) Могли ли при n=3 на доске быть написаны ровно 8 цифр?
в) Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n=4, если на доске написано ровно 20 цифр?
Решение
а) Да, может.
Возьмем числа \(a = 90, b = 90^2 = 8100, c = 90^4=65610000. \)
На доске ровно 14 цифр.
б) Предположим, что при \(n = 3\) на доске ровно 8 цифр.
Если первое из чисел не меньше 10, мы получим не меньше цифр, чем в числах 10, 100 и 10000 – то есть не меньше 10 цифр.
Возьмем \(a \leq 9,\) тогда \(b \, \textless \, 99, c = a^4\, \textless \,9999, \)
Всего на доске не более 7 цифр.
Значит, ровно 8 цифр на доске не может быть, предположение было неверно, в этом пункте ответ «нет».
в) \(n=4,\)
ровно 20 цифр.
Найдём наименьшее a, которое может быть в этом случае.
Если \(a \leq 10,\) мы получим меньше, чем 19 цифр, так как если \(a = 10,\) на доске будет:
10, 100, 10000, 100000000 - 19 цифр
Значит, \(a \geq 11.\)
Если \(a \geq 15,\) получим, что на доске не меньше цифр, чем при a=15. При a=15 получим:
15, 225, 50625, 256 289 0625 - всего 20 цифр.
Значит, \(11 \leq a \leq 15.\)
Проверим a=13 и a=14.
Если a=13, получим:
a=13, b=169
\(c=169^2 \, \textless \, 170^2\)
\(c \, \textless \, 28900 \, \textless \, 30000,\)
\(d \, \textless \, 30000^2, \, \, \, d \, \textless \, 90000 0000\)
На доске будет число меньше, чем 13 169 28900 90000 0000, то есть меньше 19 цифр, значит a=13 не подходит.
Если a=14, на доске будут числа:
\(a=14\)
\(b=196\)
\(c=196^2 \, \textgreater \, 190^2 = 36100\)
\(d \, \textgreater \, 36100 \, \textgreater \, 36000^2;\)
\(d \, \textgreater \, 1296 000000,\) то есть не меньше 20 цифр.
Ответ
а) Да
б) Нет
в) 14
