Условие задачи
Анна Малкова Найдите наибольшее значение функции \(\displaystyle y=8-16sin^2 \, \frac{x}{3}\) на отрезке \(\displaystyle [\frac{\pi}{2};\pi].\)
Решение
\(\displaystyle y = 8 - 16 sin^2 \, \frac{x}{3} = 8(1 - 2 sin^2 \, \frac{x}{3}) = 8 \cdot cos \frac{2x}{3}\)
Сделаем замену \(\displaystyle t = \frac{2x}{3} \)
Если \(\displaystyle x \in [\frac{\pi}{2}; \pi],\) то
\(\displaystyle t = \frac{2x}{3} \, \, \, \, \, \, \, \, \, t \in [\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]\)
Найдём наибольшее значение функции \(y = cos t\) при \(\displaystyle t \in [\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]\)
Поскольку \(y = cos t\) монотонно убывает при \(t \in [0; \pi],\) наибольшее значение \(\displaystyle y_{max} = y(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}.\)
Тогда наибольшее значение для \(\displaystyle y = 8 cos \frac{2x}{3} = 8 \cos t\) равно
\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 8 =4.\)
Ответ
4