previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 12. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова Найдите наибольшее значение функции \displaystyle  y=8-16sin^2 \, \frac{x}{3} на отрезке \displaystyle  [\frac{\pi}{2};\pi].

Решение

\displaystyle y = 8 - 16 sin^2 \, \frac{x}{3} = 8(1 - 2 sin^2 \, \frac{x}{3}) = 8 \cdot cos \frac{2x}{3}
Сделаем замену \displaystyle t = \frac{2x}{3}

Если \displaystyle x \in [\frac{\pi}{2}; \pi], то

\displaystyle t = \frac{2x}{3} \, \, \, \, \, \, \, \, \, t \in [\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]

Найдём наибольшее значение функции y = cos t при \displaystyle t \in [\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]

Поскольку y = cos t монотонно убывает при t \in [0; \pi], наибольшее значение \displaystyle y_{max} = y(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}.

Тогда наибольшее значение для \displaystyle y = 8 cos \frac{2x}{3} = 8 \cos  t равно

\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 8 =4.

Ответ

4