previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 13. Решение

Условие задачи

a) Решите уравнение:
cos7x+cos3x+2sin^2x=1
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \displaystyle  [0;\frac{\pi}{2}].

Решение

а) преобразуем сумму cos 7x + cos 3x в произведение и запишем 1 - 2sin ^2 x = cos2x

2cos 5x cos 2x = cos 2x

(2cos 5x-1)cos2x = 0

\displaystyle \left[ \begin{gathered} \cos 2x =0\\ \cos 5x = \frac{1}{2} \\ \end{gathered} \right.

\displaystyle \left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n ,\, n \in Z\\ 5x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi k, \, k \in Z\\ \end{gathered} \right.

\displaystyle \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} ,\, n \in Z\\ x=\pm \frac{\pi}{15}+\frac{2\pi k}{5}, \, k \in Z\\ \end{gathered} \right.

б) Сделаем отбор корней с помощью двойного неравенства

1) \displaystyle 0 \leq \frac{\pi}{4} + \pi n \leq \frac{\pi}{2}

\displaystyle 0 \leq \frac{\pi}{4} + \pi n \leq \frac{\pi}{2}

\displaystyle 0 \leq \frac{1}{2} + n \leq 1

\displaystyle - \frac{1}{2} \leq n \leq \frac{1}{2}

n \in Z,

n = 0

\displaystyle x = \frac{\pi}{4}

2) \displaystyle 0 \leq \frac{\pi}{15} + \frac{2 \pi k}{5} \leq \frac{\pi}{2}

Отсюда \displaystyle - \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{13}{12}, k=0 или k=1,

\displaystyle x = \frac{\pi}{15} или \displaystyle x = \frac{7 \pi}{15}

3) \displaystyle 0 \leq - \frac{\pi}{15} + \frac{2 \pi k}{5} \leq \frac{\pi}{2}

\displaystyle \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{17}{12}, \, \, k=1,

\displaystyle x = - \frac{\pi}{15} + \frac{2 \pi}{5} = \frac{\pi}{3}

Ответ

а) \displaystyle \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2} \\ x=\pm \frac{\pi}{15}+\frac{2\pi n}{5} \\ \end{gathered} \right.\; \; \; k, n \in Z

б) \displaystyle \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{15}; \frac{\pi}{3}; \frac{7 \pi}{15}