Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 13. Решение

Условие задачи

a) Решите уравнение:
$cos7x+cos3x+2sin^2x=1$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle [0;\frac{\pi}{2}].$

Решение

а) преобразуем сумму $cos 7x + cos 3x$ в произведение и запишем $1 - 2sin ^2 x = cos2x$

$2cos 5x cos 2x = cos 2x$

$(2cos 5x-1)cos2x = 0$

$\displaystyle \left[ \begin{gathered} \cos 2x =0\\ \cos 5x = \frac{1}{2} \\ \end{gathered} \right.$

$\displaystyle \left[ \begin{gathered} 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n ,\, n \in Z\\ 5x = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi k, \, k \in Z\\ \end{gathered} \right.$

$\displaystyle \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} ,\, n \in Z\\ x=\pm \frac{\pi}{15}+\frac{2\pi k}{5}, \, k \in Z\\ \end{gathered} \right.$

б) Сделаем отбор корней с помощью двойного неравенства

1) $\displaystyle 0 \leq \frac{\pi}{4} + \pi n \leq \frac{\pi}{2}$

$\displaystyle 0 \leq \frac{\pi}{4} + \pi n \leq \frac{\pi}{2}$

$\displaystyle 0 \leq \frac{1}{2} + n \leq 1$

$\displaystyle - \frac{1}{2} \leq n \leq \frac{1}{2}$

$n \in Z,$

$n = 0$

$\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$

2) $\displaystyle 0 \leq \frac{\pi}{15} + \frac{2 \pi k}{5} \leq \frac{\pi}{2}$

Отсюда $\displaystyle - \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{13}{12}, k=0$ или $k=1,$

$\displaystyle x = \frac{\pi}{15}$ или $\displaystyle x = \frac{7 \pi}{15}$

3) $\displaystyle 0 \leq - \frac{\pi}{15} + \frac{2 \pi k}{5} \leq \frac{\pi}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{17}{12}, \, \, k=1,$

$\displaystyle x = - \frac{\pi}{15} + \frac{2 \pi}{5} = \frac{\pi}{3}$

Ответ

а) $\displaystyle \left[ \begin{gathered} x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2} \\ x=\pm \frac{\pi}{15}+\frac{2\pi n}{5} \\ \end{gathered} \right.\; \; \; k, n \in Z$

б) $\displaystyle \frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{15}; \frac{\pi}{3}; \frac{7 \pi}{15}$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 13. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 20.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 13. Решение

Это полезно