previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 14. Решение

 

Условие задачи

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD известна сторона квадрата АВСD, лежащего в основании, - она равна 6. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер МА и МВ проведена плоскость \alpha , параллельная ребру МС.

а) Докажите, что сечение треугольной пирамиды МАВС плоскостью \alpha является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды МАВС плоскостью \alpha .

 

Решение

Пусть l — линия пересечения плоскостей MAB и MDC.

\left\{\begin{gathered}AB \in (MAB); \\AB \parallel CD \Rightarrow AB \parallel (MCD), \\(AB) \cap (MDC)=l, \end{gathered}\right.

по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, l \parallel AB. Тогда l \parallel DC; \, \, \, l \parallel (ABC).

Пусть H — середина AB, K — середина CD; MH и MK - апофемы граней (MAB) и (MCD).

Поскольку MH \perp AB, то MH \perp l; аналогично MK \perp l;

\angle HMK = 90^\circ — угол между плоскостями MAB и MCD, отсюда \angle MHK = \angle MKH = 45^\circ

Пусть Е — середина MA, F — середина MB;

EF — средняя линия \triangle MAB, EF \parallel AB.

Проведём FT \parallel MC, \, \, \, \, FTE \in (MBC);

Тогда FT — средняя линия \triangle MBC,

T — середина BC.

Пусть O = AC \cap BD;

Проведём OE — среднюю линию \triangle MAC, \, \, \, \, \, OE \parallel MC;

проведём плоскость \alpha через параллельные прямые OE и FT.

EFTO — сечение пирамиды MABC плоскостью \alpha;

так как EO \parallel FT и EO = FT по построению, EFTO — параллелограмм.

б) Найдём S_{EFTO}

по условию, AB = 6, тогда OT = 3 = EF,

\displaystyle MK = \frac{6}{\sqrt2} = 3\sqrt2; из \triangle MKC:

MC^2 = MK^2+CK^2;

MC = \sqrt{9+18} = 3\sqrt3;

\displaystyle FT = OE = \frac{3\sqrt3}{2};

Найдём \sin \angle OTF.

Так как FT \parallel MC и OT \parallel CD,

\alpha (MDC); \, \, \, \, \angle OTF = \angle KCM;

\displaystyle \sin \angle KCM = \frac{KC}{MC} = \frac{3}{3\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3};

\displaystyle S_{EFTO} = FT \cdot OT \cdot \sin \angle OTF = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt3} = 4,5

\displaystyle sin \angle KCM = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}

Ответ

4,5 \sqrt2