Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 14. Решение

Условие задачи

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD известна сторона квадрата АВСD, лежащего в основании, - она равна 6. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер МА и МВ проведена плоскость $\alpha$ , параллельная ребру МС.

а) Докажите, что сечение треугольной пирамиды МАВС плоскостью $\alpha$ является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды МАВС плоскостью $\alpha$ .

Решение

Пусть $l$ — линия пересечения плоскостей MAB и MDC.

$\left\{\begin{gathered}AB \in (MAB); \\AB \parallel CD \Rightarrow AB \parallel (MCD), \\(AB) \cap (MDC)=l, \end{gathered}\right.$

по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, $l \parallel AB.$ Тогда $l \parallel DC; \, \, \, l \parallel (ABC).$

Пусть H — середина AB, K — середина CD; MH и MK - апофемы граней (MAB) и (MCD).

Поскольку $MH \perp AB,$ то $MH \perp l;$ аналогично $MK \perp l;$

$\angle HMK = 90^\circ$ — угол между плоскостями MAB и MCD, отсюда $\angle MHK = \angle MKH = 45^\circ$

Пусть Е — середина MA, F — середина MB;

EF — средняя линия $\triangle MAB, EF \parallel AB.$

Проведём $FT \parallel MC, \, \, \, \, FTE \in (MBC);$

Тогда FT — средняя линия $\triangle MBC,$

T — середина BC.

Пусть $O = AC \cap BD;$

Проведём OE — среднюю линию $\triangle MAC, \, \, \, \, \, OE \parallel MC;$

проведём плоскость $\alpha$ через параллельные прямые OE и FT.

EFTO — сечение пирамиды MABC плоскостью $\alpha;$

так как $EO \parallel FT$ и EO = FT по построению, EFTO — параллелограмм.

б) Найдём $S_{EFTO}$

по условию, AB = 6, тогда OT = 3 = EF,

$\displaystyle MK = \frac{6}{\sqrt2} = 3\sqrt2;$ из $\triangle MKC:$

$MC^2 = MK^2+CK^2;$

$MC = \sqrt{9+18} = 3\sqrt3;$

$\displaystyle FT = OE = \frac{3\sqrt3}{2};$

Найдём $\sin \angle OTF.$

Так как $FT \parallel MC$ и $OT \parallel CD,$

$\alpha (MDC); \, \, \, \, \angle OTF = \angle KCM;$

$\displaystyle \sin \angle KCM = \frac{KC}{MC} = \frac{3}{3\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3};$

$\displaystyle S_{EFTO} = FT \cdot OT \cdot \sin \angle OTF = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt3} = 4,5$

$\displaystyle sin \angle KCM = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$

Ответ

$4,5 \sqrt2$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 14. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 16.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 14. Решение

Это полезно