Условие задачи
В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD известна сторона квадрата АВСD, лежащего в основании, - она равна 6. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер МА и МВ проведена плоскость \(\alpha \), параллельная ребру МС.
а) Докажите, что сечение треугольной пирамиды МАВС плоскостью \(\alpha \) является параллелограммом.
б) Найдите площадь сечения пирамиды МАВС плоскостью \(\alpha \).
Решение
Пусть \(l\) — линия пересечения плоскостей MAB и MDC.
\(\left\{\begin{gathered}AB \in (MAB); \\AB \parallel CD \Rightarrow AB \parallel (MCD), \\(AB) \cap (MDC)=l, \end{gathered}\right.\)
по теореме о прямой и параллельной ей плоскости, \(l \parallel AB.\) Тогда \(l \parallel DC; \, \, \, l \parallel (ABC).\)
Пусть H — середина AB, K — середина CD; MH и MK - апофемы граней (MAB) и (MCD).
Поскольку \(MH \perp AB,\) то \(MH \perp l;\) аналогично \(MK \perp l;\)
\(\angle HMK = 90^\circ\) — угол между плоскостями MAB и MCD, отсюда \(\angle MHK = \angle MKH = 45^\circ\)
Пусть Е — середина MA, F — середина MB;
EF — средняя линия \(\triangle MAB, EF \parallel AB.\)
Проведём \(FT \parallel MC, \, \, \, \, FTE \in (MBC);\)
Тогда FT — средняя линия \(\triangle MBC,\)
T — середина BC.
Пусть \(O = AC \cap BD;\)
Проведём OE — среднюю линию \(\triangle MAC, \, \, \, \, \, OE \parallel MC;\)
проведём плоскость \(\alpha\) через параллельные прямые OE и FT.
EFTO — сечение пирамиды MABC плоскостью \(\alpha;\)
так как \(EO \parallel FT\) и EO = FT по построению, EFTO — параллелограмм.
б) Найдём \(S_{EFTO}\)
по условию, AB = 6, тогда OT = 3 = EF,
\(\displaystyle MK = \frac{6}{\sqrt2} = 3\sqrt2;\) из \(\triangle MKC:\)
\(MC^2 = MK^2+CK^2;\)
\(MC = \sqrt{9+18} = 3\sqrt3;\)
\(\displaystyle FT = OE = \frac{3\sqrt3}{2};\)
Найдём \(\sin \angle OTF.\)
Так как \(FT \parallel MC\) и \(OT \parallel CD,\)
\(\alpha (MDC); \, \, \, \, \angle OTF = \angle KCM;\)
\(\displaystyle \sin \angle KCM = \frac{KC}{MC} = \frac{3}{3\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3};\)
\(\displaystyle S_{EFTO} = FT \cdot OT \cdot \sin \angle OTF = \frac{3\sqrt3}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt3} = 4,5\)
\( \displaystyle sin \angle KCM = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\)
Ответ
\(4,5 \sqrt2\)
