Условие задачи
Решите неравенство:
\(log_2^2(-log_2 x)+2log_2 log_2^2 x\leq 5\)
Решение
Из условия следует, что \(-log_2 x \, \textgreater \, 0\) и поэтому
\(log_2 log_2^2 x = 2log_2 (-log_2 x).\)
Пусть \(log_2(-log_2 x)= z\) Решим неравенство:
\(z^2 +4z \leq 5 \Leftrightarrow (z-1)(z+5) \leq 0 \Leftrightarrow -5 \leq z \leq 1.\)
Вернёмся к исходной переменной:
\(\displaystyle -5 \leq log_2 (-log_2 x) \leq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{32}\leq -log_2 x \leq 2 \Leftrightarrow -2 \leq log_2 x \leq - \frac{1}{32} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt[32]{2}}.\)
Ответ
\(\displaystyle [\frac{1}{4}; \frac{1}{\sqrt[32]{2}}].\)