Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения:
$x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a$

Решение

$x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a$

$x^3-9x^2+108=a(1-atgx+108tgx)$

Левая часть: $108=9 \cdot 12=3^3 \cdot 4$

$g(x)=x^3-9x^2+108=x^3-9x^2+4 \cdot 3^3=x^3+3^3+3^4-9x^2=$

$=(x+3)(x^2-3x+9)+9(9-x^2)=$

$=(x+3)(x^2-3x+9)+9(3-x)(3+x)=(x+3)(x^2-3x+9+27-9x)=$

$=(x+3)(x^2-12x+36)=(x+3)(x-6)^2;$

$g(x)=0,$ если $x=-3$ или $x=6$ ;

Исследуем функцию g(x) на монотонность.

Найдем производную функции g(x):

$g$

$x=6$ точка минимума, $g(6)=0, \: \: x=0$ точка максимума, $g(0)=108.$

Эти данные помогут нам построить эскиз графика функции g(x).

Рассмотрим функцию f(x) в правой части уравнения:

$f(x)=a\cdot\left ( tgx(108-a)+1 \right )$

Если $a=0$ , то $f(x)=0$ ;

Уравнение имеет 2 решения

$x=-3$ и $x=6$ .

Если $a=108$ , то $108-a=0$ , $f(x)=108$ , уравнение имеет ровно 2 решения (касание в точке A и пересечение с правой ветвью $g(x)$

Если $a\neq 0$ и $a\neq 108$ , то функция $f(x)$ имеет вид:

$f(x)=btgx+c$

Ее график – это график тангенса, растянутый в b раз по вертикали и сдвинутый на c вверх или вниз.

Так как период тангенса равен $\pi$ , график функции $f(x)=btgx+c$ пересекает график функции $g(x)$ на каждом из интервалов
$\displaystyle \left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right );\: \: \left ( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right ),\: \: \left ( \frac{3 \pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right )$

И это значит, что графики $f(x)$ и $g(x)$ имеют не менее трех общих точек. Мы воспользовались тем, что на этих интервалах $g(x)$ принимает деления от 0 до 108, а $f(x)$ является неограниченной и периодической.

Ответ

0; 108

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 18. Решение

Это полезно