previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения:
\(x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a\)

 

Решение

\( x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a \)

\(x^3-9x^2+108=a(1-atgx+108tgx) \)

Левая часть: \(108=9 \cdot 12=3^3 \cdot 4\)

\(g(x)=x^3-9x^2+108=x^3-9x^2+4 \cdot 3^3=x^3+3^3+3^4-9x^2= \)

\(=(x+3)(x^2-3x+9)+9(9-x^2)=\)

\(=(x+3)(x^2-3x+9)+9(3-x)(3+x)=(x+3)(x^2-3x+9+27-9x)= \)

\(=(x+3)(x^2-12x+36)=(x+3)(x-6)^2; \)

\(g(x)=0, \) если \(x=-3\) или \(x=6\);

Исследуем функцию g(x) на монотонность.

Найдем производную функции g(x):

\( g'(x)=(x-6)^2+(x+3)\cdot2(x-6)=(x-6)(x-6+2x+6)=(x-6)\cdot3x; \)

\(x=6\) точка минимума, \(g(6)=0, \: \: x=0\) точка максимума, \(g(0)=108.\)

Эти данные помогут нам построить эскиз графика функции g(x).

Рассмотрим функцию f(x) в правой части уравнения:

\( f(x)=a\cdot\left ( tgx(108-a)+1 \right )\)

Если \(a=0\), то \(f(x)=0\);

Уравнение имеет 2 решения

\(x=-3\) и \(x=6\).

Если \(a=108\), то \(108-a=0\), \(f(x)=108\), уравнение имеет ровно 2 решения (касание в точке A и пересечение с правой ветвью \(g(x)\)

Если \( a\neq 0\) и \( a\neq 108\), то функция \( f(x)\) имеет вид:

\( f(x)=btgx+c\)

Ее график – это график тангенса, растянутый в b раз по вертикали и сдвинутый на c вверх или вниз.

Так как период тангенса равен \(\pi\), график функции \( f(x)=btgx+c\) пересекает график функции \(g(x)\) на каждом из интервалов
\(\displaystyle \left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right );\: \: \left ( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right ),\: \: \left ( \frac{3 \pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right )\)

И это значит, что графики \(f(x) \) и \(g(x) \) имеют не менее трех общих точек. Мы воспользовались тем, что на этих интервалах \(g(x) \) принимает деления от 0 до 108, а \(f(x) \) является неограниченной и периодической.

 

Ответ

0; 108