previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения:
x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a

 

Решение

x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a

x^3-9x^2+108=a(1-atgx+108tgx)

Левая часть: 108=9 \cdot 12=3^3 \cdot 4

g(x)=x^3-9x^2+108=x^3-9x^2+4 \cdot 3^3=x^3+3^3+3^4-9x^2=

=(x+3)(x^2-3x+9)+9(9-x^2)=

=(x+3)(x^2-3x+9)+9(3-x)(3+x)=(x+3)(x^2-3x+9+27-9x)=

=(x+3)(x^2-12x+36)=(x+3)(x-6)^2;

g(x)=0, если x=-3 или x=6;

Исследуем функцию g(x) на монотонность.

Найдем производную функции g(x):

g

x=6 точка минимума, g(6)=0, \: \: x=0 точка максимума, g(0)=108.

Эти данные помогут нам построить эскиз графика функции g(x).

Рассмотрим функцию f(x) в правой части уравнения:

f(x)=a\cdot\left ( tgx(108-a)+1 \right )

Если a=0, то f(x)=0;

Уравнение имеет 2 решения

x=-3 и x=6.

Если a=108, то 108-a=0, f(x)=108, уравнение имеет ровно 2 решения (касание в точке A и пересечение с правой ветвью g(x)

Если a\neq 0 и a\neq 108, то функция f(x) имеет вид:

f(x)=btgx+c

Ее график – это график тангенса, растянутый в b раз по вертикали и сдвинутый на c вверх или вниз.

Так как период тангенса равен \pi, график функции f(x)=btgx+c пересекает график функции g(x) на каждом из интервалов
\displaystyle \left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right );\: \: \left ( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right ),\: \: \left ( \frac{3 \pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right )

И это значит, что графики f(x) и g(x) имеют не менее трех общих точек. Мы воспользовались тем, что на этих интервалах g(x) принимает деления от 0 до 108, а f(x) является неограниченной и периодической.

 

Ответ

0; 108