Условие задачи
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения:
Решение
Левая часть:
если
или
;
Исследуем функцию g(x) на монотонность.
Найдем производную функции g(x):
точка минимума,
точка максимума,
Эти данные помогут нам построить эскиз графика функции g(x).
Рассмотрим функцию f(x) в правой части уравнения:
Если , то
;
Уравнение имеет 2 решения
и
.
Если , то
,
, уравнение имеет ровно 2 решения (касание в точке A и пересечение с правой ветвью
Если и
, то функция
имеет вид:
Ее график – это график тангенса, растянутый в b раз по вертикали и сдвинутый на c вверх или вниз.
Так как период тангенса равен , график функции
пересекает график функции
на каждом из интервалов
И это значит, что графики и
имеют не менее трех общих точек. Мы воспользовались тем, что на этих интервалах
принимает деления от 0 до 108, а
является неограниченной и периодической.
Ответ
0; 108