Условие задачи
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения:
\(x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a\)
Решение
\( x^3-9x^2+a(a-108)tgx+108=a \)
\(x^3-9x^2+108=a(1-atgx+108tgx) \)
Левая часть: \(108=9 \cdot 12=3^3 \cdot 4\)
\(g(x)=x^3-9x^2+108=x^3-9x^2+4 \cdot 3^3=x^3+3^3+3^4-9x^2= \)
\(=(x+3)(x^2-3x+9)+9(9-x^2)=\)
\(=(x+3)(x^2-3x+9)+9(3-x)(3+x)=(x+3)(x^2-3x+9+27-9x)= \)
\(=(x+3)(x^2-12x+36)=(x+3)(x-6)^2; \)
\(g(x)=0, \) если \(x=-3\) или \(x=6\);
Исследуем функцию g(x) на монотонность.
Найдем производную функции g(x):
\( g'(x)=(x-6)^2+(x+3)\cdot2(x-6)=(x-6)(x-6+2x+6)=(x-6)\cdot3x; \)
\(x=6\) точка минимума, \(g(6)=0, \: \: x=0\) точка максимума, \(g(0)=108.\)
Эти данные помогут нам построить эскиз графика функции g(x).
Рассмотрим функцию f(x) в правой части уравнения:
\( f(x)=a\cdot\left ( tgx(108-a)+1 \right )\)
Если \(a=0\), то \(f(x)=0\);
Уравнение имеет 2 решения
\(x=-3\) и \(x=6\).
Если \(a=108\), то \(108-a=0\), \(f(x)=108\), уравнение имеет ровно 2 решения (касание в точке A и пересечение с правой ветвью \(g(x)\)
Если \( a\neq 0\) и \( a\neq 108\), то функция \( f(x)\) имеет вид:
\( f(x)=btgx+c\)
Ее график – это график тангенса, растянутый в b раз по вертикали и сдвинутый на c вверх или вниз.
Так как период тангенса равен \(\pi\), график функции \( f(x)=btgx+c\) пересекает график функции \(g(x)\) на каждом из интервалов
\(\displaystyle \left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right );\: \: \left ( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right ),\: \: \left ( \frac{3 \pi}{2};\frac{5\pi}{2} \right )\)
И это значит, что графики \(f(x) \) и \(g(x) \) имеют не менее трех общих точек. Мы воспользовались тем, что на этих интервалах \(g(x) \) принимает деления от 0 до 108, а \(f(x) \) является неограниченной и периодической.
Ответ
0; 108
