previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 19. Решение

 

Условие задачи

Известно, что a, b, c и d – попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство \displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{8}{25}?

б) Может ли дробь \displaystyle \frac{a+c}{b+d} быть в 11 раз меньше,  чем значение выражения \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \displaystyle \frac{a+c}{b+d}, если a \, \textgreater \, 5b и c  \, \textgreater \, 6d?

 

Решение

а) Предположим, что
\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{8}{25}=\frac{32}{100}, где a, b, c и d — попарно различные двузначные натуральные числа.

Да, равенство может выполняться. Например:

\displaystyle \frac{10+22}{45+55}=\frac{32}{100}=\frac{8}{25}

здесь a=10, \: \: b=45, \: \: c=22,\: \: d=55.

б) Предположим, что

\displaystyle 11 \cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}

\displaystyle \frac{11a+11c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd}

11abd+11bcd=abd+bcd+ad^2+b^2c

10abd-ad^2=cb^2-10cbd

ad(10a-d)=bc(c-10b)

Поскольку a, b, c и d – различные двузначные числа, 10a и 10b – трёхзначные. Тогда 10a-d \textgreater 0, \: \: c-10b \textless 0 и равенство невозможно.

в) Пусть a \textgreater 5b, \: \: c \textgreater 6d

\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=m

Найдем наименьшее возможное m.

Запишем условия a \textgreater 5b и c \textgreater 6d в виде нестрогих неравенств:
a\geq 5b+1 ,
c\geq 6d+1 .

Тогда

\displaystyle m=\frac{a+c}{b+d}\geq \frac{5d+1+6d+1}{b+d}

\displaystyle m\geq \frac{5b+6d+2}{b+d}.

Выделим целую часть:

\displaystyle m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}.

Поскольку a и d – двузначные, a\leq 99 и c\leq 99 . Значит,

5d+1\leq a\leq 99 ,

6d+1\leq c\leq 99, отсюда

\displaystyle b\leq \frac{98}{5},\: \: d\leq \frac{98}{6}.

Так как b и d – целые, получим: b\leq 19,\: \: d\leq 16.

Вернемся к оценке для m.

\displaystyle  m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}\geq 5+\frac{d+2}{d+19}, так как b\leq 19

\displaystyle  m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}=5+\frac{19+d-17}{d+19}

\displaystyle  m\geq 6-\frac{17}{d+19}

d\geq 10, тогда 19+d \geq 19+10

19+d\geq 29

\displaystyle   \frac{1}{19+d}\leq \frac{1}{29}

\displaystyle   -\frac{17}{19+d}\geq -\frac{17}{29}

\displaystyle m\geq 6-\frac{17}{d+19}\geq 6-\frac{17}{29}

\displaystyle m\geq \frac{157}{29}. Это оценка.

Равенство \displaystyle m=\frac{157}{29}. достигается, если d=10,\: \: b=19,\: \: a=96,\: \: c=61
Наименьшее возможное m равно \displaystyle \frac{157}{29}.

Ответ

а) да, например, a=22, \: \: b=60,\: \: c=10,\: \: d=40. б) нет; в) \frac{157}{29}.