Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 19. Решение

Условие задачи

Известно, что a, b, c и d – попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство $\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{8}{25}$ ?

б) Может ли дробь $\displaystyle \frac{a+c}{b+d}$ быть в 11 раз меньше, чем значение выражения $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\displaystyle \frac{a+c}{b+d},$ если $a \, \textgreater \, 5b$ и $c \, \textgreater \, 6d$ ?

Решение

а) Предположим, что
$\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{8}{25}=\frac{32}{100},$ где a, b, c и d — попарно различные двузначные натуральные числа.

Да, равенство может выполняться. Например:

$\displaystyle \frac{10+22}{45+55}=\frac{32}{100}=\frac{8}{25}$

здесь $a=10, \: \: b=45, \: \: c=22,\: \: d=55.$

б) Предположим, что

$\displaystyle 11 \cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$

$\displaystyle \frac{11a+11c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd}$

$11abd+11bcd=abd+bcd+ad^2+b^2c$

$10abd-ad^2=cb^2-10cbd$

$ad(10a-d)=bc(c-10b)$

Поскольку a, b, c и d – различные двузначные числа, 10a и 10b – трёхзначные. Тогда $10a-d \textgreater 0, \: \: c-10b \textless 0$ и равенство невозможно.

в) Пусть $a \textgreater 5b, \: \: c \textgreater 6d$

$\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=m$

Найдем наименьшее возможное m.

Запишем условия $a \textgreater 5b$ и $c \textgreater 6d$ в виде нестрогих неравенств:
$a\geq 5b+1$ ,
$c\geq 6d+1$ .

Тогда

$\displaystyle m=\frac{a+c}{b+d}\geq \frac{5d+1+6d+1}{b+d}$

$\displaystyle m\geq \frac{5b+6d+2}{b+d}.$

Выделим целую часть:

$\displaystyle m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}.$

Поскольку a и d – двузначные, $a\leq 99$ и $c\leq 99$ . Значит,

$5d+1\leq a\leq 99$ ,

$6d+1\leq c\leq 99$ , отсюда

$\displaystyle b\leq \frac{98}{5},\: \: d\leq \frac{98}{6}.$

Так как b и d – целые, получим: $b\leq 19,\: \: d\leq 16.$

Вернемся к оценке для m.

$\displaystyle m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}\geq 5+\frac{d+2}{d+19},$ так как $b\leq 19$

$\displaystyle m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}=5+\frac{19+d-17}{d+19}$

$\displaystyle m\geq 6-\frac{17}{d+19}$

$d\geq 10$ , тогда $19+d \geq 19+10$

$19+d\geq 29$

$\displaystyle \frac{1}{19+d}\leq \frac{1}{29}$

$\displaystyle -\frac{17}{19+d}\geq -\frac{17}{29}$

$\displaystyle m\geq 6-\frac{17}{d+19}\geq 6-\frac{17}{29}$

$\displaystyle m\geq \frac{157}{29}.$ Это оценка.

Равенство $\displaystyle m=\frac{157}{29}.$ достигается, если $d=10,\: \: b=19,\: \: a=96,\: \: c=61$
Наименьшее возможное $m$ равно $\displaystyle \frac{157}{29}.$

Ответ

а) да, например, $a=22, \: \: b=60,\: \: c=10,\: \: d=40.$ б) нет; в) $\frac{157}{29}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 19. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 16.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 19. Решение

Это полезно