Условие задачи
Известно, что a, b, c и d – попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли выполняться равенство \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}=\frac{8}{25}\)?
б) Может ли дробь \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d}\) быть в 11 раз меньше, чем значение выражения \( \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\displaystyle \frac{a+c}{b+d},\) если \( a \, \textgreater \, 5b\) и \( c \, \textgreater \, 6d\)?
Решение
а) Предположим, что
\(\displaystyle
\frac{a+c}{b+d}=\frac{8}{25}=\frac{32}{100},\) где a, b, c и d — попарно различные двузначные натуральные числа.
Да, равенство может выполняться. Например:
\(\displaystyle
\frac{10+22}{45+55}=\frac{32}{100}=\frac{8}{25} \)
здесь \( a=10, \: \: b=45, \: \: c=22,\: \: d=55.\)
б) Предположим, что
\( \displaystyle
11 \cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \)
\(\displaystyle
\frac{11a+11c}{b+d}=\frac{ad+bc}{bd} \)
\( 11abd+11bcd=abd+bcd+ad^2+b^2c\)
\( 10abd-ad^2=cb^2-10cbd \)
\( ad(10a-d)=bc(c-10b) \)
Поскольку a, b, c и d – различные двузначные числа, 10a и 10b – трёхзначные. Тогда \( 10a-d \textgreater 0, \: \: c-10b \textless 0 \) и равенство невозможно.
в) Пусть \(a \textgreater 5b, \: \: c \textgreater 6d\)
\( \displaystyle
\frac{a+c}{b+d}=m\)
Найдем наименьшее возможное m.
Запишем условия \( a \textgreater 5b \) и \( c \textgreater 6d\) в виде нестрогих неравенств:
\( a\geq 5b+1 \),
\( c\geq 6d+1 \).
Тогда
\(\displaystyle
m=\frac{a+c}{b+d}\geq \frac{5d+1+6d+1}{b+d} \)
\(\displaystyle
m\geq \frac{5b+6d+2}{b+d}. \)
Выделим целую часть:
\(\displaystyle
m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}. \)
Поскольку a и d – двузначные, \( a\leq 99 \) и \( c\leq 99 \). Значит,
\( 5d+1\leq a\leq 99 \),
\( 6d+1\leq c\leq 99\), отсюда
\(\displaystyle
b\leq \frac{98}{5},\: \: d\leq \frac{98}{6}.\)
Так как b и d – целые, получим: \( b\leq 19,\: \: d\leq 16.\)
Вернемся к оценке для m.
\( \displaystyle
m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}\geq 5+\frac{d+2}{d+19},\) так как \( b\leq 19\)
\( \displaystyle
m\geq 5+\frac{d+2}{b+d}=5+\frac{19+d-17}{d+19}\)
\(\displaystyle
m\geq 6-\frac{17}{d+19}\)
\( d\geq 10\), тогда \(19+d \geq 19+10\)
\( 19+d\geq 29\)
\( \displaystyle
\frac{1}{19+d}\leq \frac{1}{29}\)
\(\displaystyle
-\frac{17}{19+d}\geq -\frac{17}{29}\)
\(\displaystyle m\geq 6-\frac{17}{d+19}\geq 6-\frac{17}{29}\)
\( \displaystyle m\geq \frac{157}{29}.\) Это оценка.
Равенство \( \displaystyle
m=\frac{157}{29}.\) достигается, если \( d=10,\: \: b=19,\: \: a=96,\: \: c=61\)
Наименьшее возможное \(m\) равно \(\displaystyle
\frac{157}{29}.\)
Ответ
а) да, например, \( a=22, \: \: b=60,\: \: c=10,\: \: d=40.\) б) нет; в) \( \frac{157}{29}\).
