Условие задачи
Анна Малкова К окружности радиуса 1,2, вписанной в треугольник АВС, проведены касательные, причем длины отрезков ND = 1,5; EF = 2,5; МК = 1.
Найдите площадь шестиугольника NDEFKM.
Решение
Пусть L и Р – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС, Т – точка касания с отрезком ND.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
NL = NT, DT = DP, значит, ND = NL + DP, и длина ломаной линии LNDP в два раза больше, чем ND.
Аналогично, длина ломаной LMKS равна 2MK, длина ломаной SFEP равна 2FЕ.
Значит, периметр шестиугольника \(P = 2\cdot (ND + EF + MK) = 10.\)
Легко доказать, что площадь описанного многоугольника находится как S = pr, где р – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.
Площадь шестиугольника NDEFKM равна \(5\cdot 1,2 = 6.\)
Ответ
6
