Условие задачи
Завиcимоcть температуры (в градуcах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экcпериментально и на иccледуемом интервале температур определяетcя выражением \(T(t) = T_0 + bt + at^2\), где t — время в минутах, \(T_0 = 1400 K\), a = −10 К/мин, b = 200 К/мин. Извеcтно, что при температуре нагревателя cвыше 1760 К прибор может иcпортитьcя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время поcле начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Решение
По условию, зависимость температуры нагревательного элемента от времени определяется формулой:
\(T(t) = 1400 + 200t - 10t^2.\)
В нормальном режиме работы прибора должно выполняться неравенство \(T \leq 1760,\) или
\(1400 + 200t - 10t^2\leq 1760.\)
Нарисуем график зависимости температуры нагревателя от времени:
\(T(t)= 1400 + 200t - 10t^2.\) Это квадратичная парабола с ветвями вниз.
Мы включаем прибор в момент времени \(t = 0.\) Температура нагревателя повышается и в момент времени \(t_1\) достигает 1760 К. Если в этот момент прибор не выключить, температура продолжает повышаться. Но это значит, что прибор испортится, то есть сгорит! Ясно, что отключать его надо в момент времени \(t_1. \)
Осталось найти \(t_1.\) Решим квадратичное неравенство: \(-t^2+ 20t - 36 \leq 0.\)
Корни соответствующего квадратного уравнения: \(t_1 = 2, \, \, \, t_2 = 18\)
Мы нашли, что \(t_1 = 2.\)
Ответ
2
