previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 13. Решение

Условие задачи

а) Решите уравнение \left ( \sqrt{2}sin^2 x+ cos x -\sqrt{2} \right )\sqrt{-6 sin x}=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle[2 \pi ; \frac{7\pi}{2}].

Решение

а) (\sqrt{2} \sin ^2 x+ \cos x -\sqrt{2})(\sqrt{- 6 \sin x}) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered}\left[\begin{gathered}\sqrt{2} \sin ^2 x + \cos x -\sqrt{2}=0 \\\sin x = 0 \\\end{gathered}\right.\\\sin x \leq 0\end{gathered}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} \cos x = 0 \\ \cos x = \frac{\sqrt2}{2} \\ \end{gathered} \right. \\ \sin x \, \textless \, 0 \\ \end{matrix}\right. \\ \sin x = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi}{2}+2 \pi m \\ x = - \frac{\pi}{4}+2 \pi k \\ x=\pi n\\ \end{gathered} \right. \, \, \, \, \, \, \, m, n, k \in Z

б) Найдём корни уравнения на отрезке \displaystyle2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}

Отменим на тригонометрическом круге отрезок \displaystyle2 \pi ; \frac{7 \pi}{2} и найденные серии решений

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки
\displaystyle2 \pi; 3 \pi, \frac{7 \pi}{2}.

Ответ

а) \left \{ \pi k; - \frac{\pi}{4}+2\pi k, - \frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z; \right \}

б) \displaystyle2 \pi; 3 \pi, \frac{7 \pi}{2}.