Условие задачи
В пирамиде SABC рёбра AB и SC перпендикулярны. Известно, что \(AC=CS=BS=10\), \(AB=14\); \(BC=8\sqrt{2}\); \(AS=6\sqrt{2}\); точка M принадлежит отрезку AB.
а) Докажите, что площадь сечения CSM минимальна, если плоскость CSM перпендикулярна AB.
б) Найдите объём пирамиды SABC.
Решение
\(AB \perp SC,\)
\(AC = SC = BS = 10\)
\(AB = 14 \, BC = 8 \sqrt{2}, \, AC = 6 \sqrt{2},\)
\(M \in AB.\)
Проведём \(CH \perp AB.\)
\(SC \perp AB,\) тогда \((SCH) \perp AB\) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Проведём \(SO \perp CH, \, SO \in (SCH).\)
При этом \(SO \perp AB \Rightarrow SO \perp (ABC),\)
SO — высота пирамиды.
Пусть \(M \in AB \, \, \, M\) не совпадает с H.
Докажем, что \(S_{\triangle SCH} \, \textless \, S_{\triangle SCM}.\)
\(AB \perp (SCH),\) тогда \(MH \perp (SCH),\) тогда H — проекция точки M на (SCH);
\(\triangle SCH\) — проекция \(\triangle SCM\) на плоскость (SCH);
Так как M не совпадает с H, \(S_{\triangle SCH} \, \textless \, S_{\triangle SCM}.\)
Наименьшее значение — если точка H совпадает с точкой M.
б) Найдём \(V_{SABCD}\)
\(\displaystyle V = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot SO;\)
\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{(12+4\sqrt{2})(12-4\sqrt{2})(4\sqrt{2}+2)(4\sqrt{2}-2)} = \)
\(\displaystyle = 56 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH,\)
Отсюда \(CH = 8.\)
\(AH = 6,\) тогда \(HB = 8.\)
Из \(\triangle SBH, \, \, \, \angle H = 90^\circ,\) получим: \(SH = 6.\)
В \(\triangle SCH: \, \, \, SH = 6, CH = 8, SC = 10,\) значит, \(\triangle SCH\) — прямоугольный, \(SH \perp CH.\) Получается, что SH — высота пирамиды, точка H совпадает с точкой O.
\(\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 56 \cdot 6 = 112\)
Ответ
112
