Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 14. Решение

Условие задачи

В пирамиде SABC рёбра AB и SC перпендикулярны. Известно, что $AC=CS=BS=10$ , $AB=14$ ; $BC=8\sqrt{2}$ ; $AS=6\sqrt{2}$ ; точка M принадлежит отрезку AB.
а) Докажите, что площадь сечения CSM минимальна, если плоскость CSM перпендикулярна AB.
б) Найдите объём пирамиды SABC.

Решение

$AB \perp SC,$

$AC = SC = BS = 10$

$AB = 14 \, BC = 8 \sqrt{2}, \, AC = 6 \sqrt{2},$

$M \in AB.$

Проведём $CH \perp AB.$

$SC \perp AB,$ тогда $(SCH) \perp AB$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Проведём $SO \perp CH, \, SO \in (SCH).$

При этом $SO \perp AB \Rightarrow SO \perp (ABC),$

SO — высота пирамиды.

Пусть $M \in AB \, \, \, M$ не совпадает с H.

Докажем, что $S_{\triangle SCH} \, \textless \, S_{\triangle SCM}.$

$AB \perp (SCH),$ тогда $MH \perp (SCH),$ тогда H — проекция точки M на (SCH);

$\triangle SCH$ — проекция $\triangle SCM$ на плоскость (SCH);

Так как M не совпадает с H, $S_{\triangle SCH} \, \textless \, S_{\triangle SCM}.$

Наименьшее значение — если точка H совпадает с точкой M.

б) Найдём $V_{SABCD}$

$\displaystyle V = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot SO;$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{(12+4\sqrt{2})(12-4\sqrt{2})(4\sqrt{2}+2)(4\sqrt{2}-2)} =$

$\displaystyle = 56 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH,$

Отсюда $CH = 8.$

$AH = 6,$ тогда $HB = 8.$

Из $\triangle SBH, \, \, \, \angle H = 90^\circ,$ получим: $SH = 6.$

В $\triangle SCH: \, \, \, SH = 6, CH = 8, SC = 10,$ значит, $\triangle SCH$ — прямоугольный, $SH \perp CH.$ Получается, что SH — высота пирамиды, точка H совпадает с точкой O.

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 56 \cdot 6 = 112$

Ответ

112

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 14. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 20.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 14. Решение

Это полезно