previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 14. Решение

Условие задачи

В пирамиде SABC рёбра AB и SC перпендикулярны. Известно, что AC=CS=BS=10,     AB=14;    BC=8\sqrt{2};     AS=6\sqrt{2}; точка M принадлежит отрезку AB.
а) Докажите, что площадь сечения CSM минимальна, если плоскость CSM перпендикулярна AB.
б) Найдите объём пирамиды SABC.

Решение

AB \perp SC,

AC = SC = BS = 10

AB = 14 \, BC = 8 \sqrt{2}, \, AC = 6 \sqrt{2},

M \in AB.

Проведём CH \perp AB.

SC \perp AB, тогда (SCH) \perp AB по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Проведём SO \perp CH, \, SO \in (SCH).

При этом SO \perp AB \Rightarrow SO \perp (ABC),

SO — высота пирамиды.

Пусть M \in AB \, \, \, M не совпадает с H.

Докажем, что S_{\triangle SCH} \, \textless \, S_{\triangle SCM}.

AB \perp (SCH), тогда MH \perp (SCH), тогда H — проекция точки M на (SCH);

\triangle SCH — проекция \triangle SCM на плоскость (SCH);

Так как M не совпадает с H, S_{\triangle SCH} \, \textless \, S_{\triangle SCM}.

Наименьшее значение — если точка H совпадает с точкой M.

б) Найдём V_{SABCD}

\displaystyle V = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} \cdot SO;

S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{(12+4\sqrt{2})(12-4\sqrt{2})(4\sqrt{2}+2)(4\sqrt{2}-2)} =

\displaystyle = 56 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH,

Отсюда CH = 8.

AH = 6, тогда HB = 8.

Из \triangle SBH, \, \, \, \angle H = 90^\circ, получим: SH = 6.

В \triangle SCH: \, \, \, SH = 6, CH = 8, SC = 10, значит, \triangle SCH — прямоугольный, SH \perp CH. Получается, что SH — высота пирамиды, точка H совпадает с точкой O.

\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 56 \cdot 6 = 112

Ответ

112