Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 16. Решение

Условие задачи

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K.
При этом AK:KC=1:2.
а) Докажите, что .
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK – в точке Q. Найдите KQ, если .

Решение

а) Пусть E — середина KC. Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит, Кроме того. CM = MA.

Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.

б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что

Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а O — точка пересечения прямой BK с прямой AT.

Из равенства треугольников AMT и BMP (по стороне и двум углам) получаем, что а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что Значит, B — середина CP.

Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом поэтому а так как AD — средняя линия треугольника BQP. Значит,

Следовательно,

Ответ

14