Условие задачи
Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K.
При этом AK:KC=1:2.
а) Докажите, что \(\angle BAC =30^{\circ}\).
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK – в точке Q. Найдите KQ, если \(BC=\sqrt{21}\) .
Решение
а) Пусть E — середина KC. Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит, \(ME = \frac{1}{2}CK = AK = \frac{1}{2}AE.\) Кроме того. CM = MA. \(\angle MCA = \angle MAC.\)
Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, \(\angle A = 30^\circ,\) как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.
б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что
\(AC = BC ctg 30^\circ = \sqrt{21} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{7},\)
\(BK = \sqrt{BC^2 + (\frac{2}{3}AC)^2} = {21+28} = 7.\)
Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а O — точка пересечения прямой BK с прямой AT.
Из равенства треугольников AMT и BMP (по стороне и двум углам) получаем, что \(AT = BP,\) а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что \(CP = 2AT = 2BP.\) Значит, B — середина CP.
Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом \(\frac{1}{2}\) поэтому \(AD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} BP.\) а так как \(AD \parallel BP,\) AD — средняя линия треугольника BQP. Значит,
\(BQ =2DB = 2 \cdot \frac{3}{2} BK = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 7 = 21.\)
Следовательно, \(KQ = BQ - BK = 21 - 7 = 14.\)
Ответ
14
