Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 16. Решение

Условие задачи

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K.
При этом AK:KC=1:2.
а) Докажите, что $\angle BAC =30^{\circ}$ .
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK – в точке Q. Найдите KQ, если $BC=\sqrt{21}$ .

Решение

а) Пусть E — середина KC. Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит, $ME = \frac{1}{2}CK = AK = \frac{1}{2}AE.$ Кроме того. CM = MA. $\angle MCA = \angle MAC.$

Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, $\angle A = 30^\circ,$ как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.

б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что

$AC = BC ctg 30^\circ = \sqrt{21} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{7},$

$BK = \sqrt{BC^2 + (\frac{2}{3}AC)^2} = {21+28} = 7.$

Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а O — точка пересечения прямой BK с прямой AT.

Из равенства треугольников AMT и BMP (по стороне и двум углам) получаем, что $AT = BP,$ а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что $CP = 2AT = 2BP.$ Значит, B — середина CP.

Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом $\frac{1}{2}$ поэтому $AD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} BP.$ а так как $AD \parallel BP,$ AD — средняя линия треугольника BQP. Значит,