previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 16. Решение

Условие задачи

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K.
При этом AK:KC=1:2.
а) Докажите, что \angle BAC =30^{\circ}.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK – в точке Q. Найдите KQ, если BC=\sqrt{21} .

Решение

а) Пусть E — середина KC. Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит, ME = \frac{1}{2}CK = AK = \frac{1}{2}AE. Кроме того. CM = MA. \angle MCA = \angle MAC.

Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, \angle A = 30^\circ, как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.

б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что

AC = BC ctg 30^\circ = \sqrt{21} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{7},

BK = \sqrt{BC^2 + (\frac{2}{3}AC)^2} = {21+28} = 7.

Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а O — точка пересечения прямой BK с прямой AT.

Из равенства треугольников AMT и BMP (по стороне и двум углам) получаем, что AT = BP, а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что CP = 2AT = 2BP. Значит, B — середина CP.

Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом \frac{1}{2} поэтому AD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} BP. а так как AD \parallel BP, AD — средняя линия треугольника BQP. Значит,

BQ =2DB = 2 \cdot \frac{3}{2} BK = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 7 = 21.

Следовательно, KQ = BQ - BK = 21 - 7 = 14.

Ответ

14