Условие задачи
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите x, если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.
Решение
Пусть S - сумма долга, S = 6 млн руб
\(\displaystyle k = 1 \frac{X}{100}, \)
\(m = x\) месяцев.
Схема погашения кредита:
Выплаты:
Первая: \(\displaystyle z_1 = Sk - \frac{14}{15}S\)
Вторая \(\displaystyle z_2 = \frac{14}{15}Sk - \frac{13}{15}S\)
...
15-я \(\displaystyle z_{15} = \frac{1}{15}Sk\)
Покажем, что каждая следующая выплата меньше предыдущей.
Сравним n-ую выплату и n-1-ю выплату.
n-ная выплата: \(\displaystyle z_n \frac{S}{15}(n \cdot k - (n-1))\)
n-1 - я выплата: \(\displaystyle z_{n-1} = \frac{S}{15}((n-1)\cdot k - (n-2))\)
\(nk - (n-1) \vee (n-1)k - (n-2)\)
\(nk - n+1 \vee nk - k - n+2\)
\(k \vee 1\)
Так как \(\displaystyle k = 1 + \frac{x}{100} \, \textgreater \, 1,\)
n-я выплата больше, чем (n-1)-я.
Самая большая выплата - первая, наименьшая - последняя.
\(\left\{\begin{gathered} Sk - \frac{14}{15}S \leq 1,9\\\frac{Sk}{15} \geq 0,5 \end{gathered}\right.\)
\(\left\{\begin{gathered} \frac{6}{15}(15k-14)\leq 1,9\\ \frac{6}{15}k \geq 0,5 \end{gathered}\right.\)
\(\left\{\begin{gathered} k \leq 1,25\\ k \geq 1,25 \end{gathered}\right.\)
Отсюда \(k = 1,25\)
\(x = 25%.\)
Ответ
25
