Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (x; y; z)

$\left\{\begin{matrix}(x-4sin z)^2+(y+4cos z)^2=1\\ |x| + |y| =a \hfill\end{matrix}\right.$

Решение

При любом действительном значении z первое уравнение данной системы является уравнением окружности плоскости Оху с радиусом, равным 1, и центром в точке $(x_0;y_0),$ где $x_0 = 4 \sin z, \, \, \, \, y_0 = - 4 \cos z.$ Поскольку $x_0 ^2 + y_0 ^2 = 16,$ центр окружности $\omega$ в свою очередь лежит на окружности с центром в начале координат и радиусом 4.

Таким образом, множеством всех точек $(x;y)$ плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют первому уравнению данной системы, является кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями (включая сами эти окружности) с центром в начале координат и радиусами 3 и 5 (рис. 6). Если $a \leq 0,$

данная система, очевидно, решений не имеет. Если $a \, \textgreater \, 0,$ множеством всех точек $(x; y)$ плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют второму уравнению данной системы, является квадрат с диагональю 2a и стороной $a \pi,$ ограниченный прямыми $y = a - x$ (при $x \geq 0, \, \, \, y \geq 0),$ $y = a +x$ (при $x \leq 0, \, \, y \geq 0),$ $y = -a - x$ (при $x \leq 0, \, \, \, \, y \leq 0$ ) и $y = -a +x$ (при $x \geq 0, \, \, \, y \leq 0$ ).

Данная система имеет хотя бы одно решение в тех и только тех случаях, когда квадрат либо вписан в меньшую окружность, ограничивающую кольцо (в этом случае $a = 3$ ), либо описан около большей окружности, ограничивающей кольцо (в этом случае $\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2} = 5,$ откуда $a = 5\sqrt{2}$ ), либо занимает промежуточное положение между двумя этими положениями (в этом случае $3 \, \textless \, a \, \textless \, 2\sqrt{5}$ ).

Ответ

$[3; 5\sqrt{2}].$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 18. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 04.06.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 18. Решение

Это полезно