previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (x; y; z)

\left\{\begin{matrix}(x-4sin z)^2+(y+4cos z)^2=1\\ |x| + |y| =a \hfill\end{matrix}\right.

Решение

При любом действительном значении z первое уравнение данной системы является уравнением окружности плоскости Оху с радиусом, равным 1, и центром в точке (x_0;y_0), где x_0 = 4 \sin z, \, \, \, \, y_0 = - 4 \cos z. Поскольку x_0 ^2 + y_0 ^2 = 16, центр окружности \omega в свою очередь лежит на окружности с центром в начале координат и радиусом 4.

 

Таким образом, множеством всех точек (x;y) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют первому уравнению данной системы, является кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями (включая сами эти окружности) с центром в начале координат и радиусами 3 и 5 (рис. 6). Если a \leq 0,

данная система, очевидно, решений не имеет. Если a \, \textgreater \, 0, множеством всех точек (x; y) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют второму уравнению данной системы, является квадрат с диагональю 2a и стороной a \pi, ограниченный прямыми y = a - x (при x \geq 0, \, \, \, y \geq 0), y = a +x (при x \leq 0, \, \, y \geq 0), y = -a - x (при x \leq 0, \, \, \, \, y \leq 0) и y = -a +x (при x \geq 0, \, \, \, y \leq 0).

 

Данная система имеет хотя бы одно решение в тех и только тех случаях, когда квадрат либо вписан в меньшую окружность, ограничивающую кольцо (в этом случае a = 3), либо описан около большей окружности, ограничивающей кольцо (в этом случае \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2} = 5, откуда a = 5\sqrt{2}), либо занимает промежуточное положение между двумя этими положениями (в этом случае 3 \, \textless \, a \, \textless \, 2\sqrt{5}).

Ответ

[3; 5\sqrt{2}].