previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 8. Задание 18. Решение

Условие задачи

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (x; y; z)

\(

\left\{\begin{matrix}(x-4sin z)^2+(y+4cos z)^2=1
\\ |x| + |y| =a \hfill

\end{matrix}\right.

\)

Решение

При любом действительном значении z первое уравнение данной системы является уравнением окружности плоскости Оху с радиусом, равным 1, и центром в точке \((x_0;y_0),\) где \(x_0 = 4 \sin z, \, \, \, \, y_0 = - 4 \cos z.\) Поскольку \(x_0 ^2 + y_0 ^2 = 16,\) центр окружности \(\omega\) в свою очередь лежит на окружности с центром в начале координат и радиусом 4.

 

Таким образом, множеством всех точек \((x;y)\) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют первому уравнению данной системы, является кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями (включая сами эти окружности) с центром в начале координат и радиусами 3 и 5 (рис. 6). Если \(a \leq 0,\)

данная система, очевидно, решений не имеет. Если \(a \, \textgreater \, 0,\) множеством всех точек \((x; y)\) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют второму уравнению данной системы, является квадрат с диагональю 2a и стороной \(a \pi,\) ограниченный прямыми \(y = a - x\) (при \(x \geq 0, \, \, \, y \geq 0),\) \(y = a +x\) (при \(x \leq 0, \, \, y \geq 0),\) \(y = -a - x\) (при \(x \leq 0, \, \, \, \, y \leq 0\)) и \(y = -a +x\) (при \(x \geq 0, \, \, \, y \leq 0\)).

 

Данная система имеет хотя бы одно решение в тех и только тех случаях, когда квадрат либо вписан в меньшую окружность, ограничивающую кольцо (в этом случае \(a = 3\)), либо описан около большей окружности, ограничивающей кольцо (в этом случае \(\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2} = 5,\) откуда \(a = 5\sqrt{2}\)), либо занимает промежуточное положение между двумя этими положениями (в этом случае \(3 \, \textless \, a \, \textless \, 2\sqrt{5}\)).

Ответ

\([3; 5\sqrt{2}].\)