Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 13. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

а) Решите уравнение $\displaystyle \frac{83sin 2x -168 cos x -83 sin x+84}{2sin x+\sqrt{3}}=0$

б) найдите все его корни на отрезке $\displaystyle [-\frac{\pi}{2};\frac{9\pi}{2}]$

Решение

а)

$\displaystyle \frac{83 \sin 2 - 168 \cos x - 83 \sin x+84}{2 \sin x + \sqrt3} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}16 \sin x \cos x - 168 \cos x - 83 \sin x +84 =0\\2 \sin x +\sqrt3 \ne0\end{gathered}\right.$

$\displaystyle \left\{\begin{gathered} 83 \sin (2 \cos x-1)-84(2 \cos x-1)=0 \\2 \sin x+\sqrt3 \ne0 \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (83 \sin x-84)(2 \cos x -1)=0\\ \sin x \ne - \frac{\sqrt 3}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} \sin x = \frac{84}{83} \\ \cos x = \frac{1}{2} \\ \end{gathered} \right. \\ \sin x \ne - \frac{\sqrt3}{2} \end{matrix}\right.$

Уравнение $\displaystyle \sin x = \frac{84}{83}$ не имеет решений, так как $|\sin x| \leq 1.$

Получим: $\displaystyle \left\{\begin{matrix} \cos x = \frac{1}{2}\\\sin x\ne - \frac{\sqrt3}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}+2 \pi n , \, \, n \in Z.$

б) Отберём корни на отрезке $\displaystyle [- \frac{\pi}{2}; \frac{9 \pi}{2}]$ с помощью двойного неравенства.

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{3}+2 \pi n \leq \frac{9 \pi}{2}$

$\displaystyle - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \leq 2n \leq \frac{9}{2} - \frac{1}{3}$

$\displaystyle - \frac{5}{6} \leq 2n \leq \frac{25}{6};$

$\displaystyle - \frac{5}{12} \leq n \leq \frac{25}{12},$ n — целое,

$n = 0; 1 ; 2$

при $\displaystyle n = 0 \, \, \, \, \, x = \frac{\pi}{3},$

при $\displaystyle n = 1 \, \, \, \, \, x = \frac{7 \pi}{3}$

при $\displaystyle n = 2 \, \, \, \, \, x = \frac{13 \pi}{3}$

Ответ

а) $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2 \pi n$

б) $\displaystyle \frac{\pi}{3}, \, \frac{7 \pi}{3}, \, \frac{13 \pi}{3}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 13. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 13. Решение

Это полезно