previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 13. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

а) Решите уравнение \displaystyle \frac{83sin 2x -168 cos x -83 sin x+84}{2sin x+\sqrt{3}}=0

б) найдите все его корни на отрезке \displaystyle [-\frac{\pi}{2};\frac{9\pi}{2}]

Решение

а)

\displaystyle \frac{83 \sin 2 - 168 \cos x - 83 \sin x+84}{2 \sin x + \sqrt3} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}16 \sin x \cos x - 168 \cos x - 83 \sin x +84 =0\\2 \sin x +\sqrt3 \ne0\end{gathered}\right.

\displaystyle \left\{\begin{gathered} 83 \sin (2 \cos x-1)-84(2 \cos x-1)=0 \\2 \sin x+\sqrt3 \ne0 \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (83 \sin x-84)(2 \cos x -1)=0\\ \sin x \ne - \frac{\sqrt 3}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\displaystyle \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} \sin x = \frac{84}{83} \\ \cos x = \frac{1}{2} \\ \end{gathered} \right. \\ \sin x \ne - \frac{\sqrt3}{2} \end{matrix}\right.

Уравнение \displaystyle \sin x = \frac{84}{83} не имеет решений, так как |\sin x| \leq 1.

Получим: \displaystyle \left\{\begin{matrix} \cos x = \frac{1}{2}\\\sin x\ne - \frac{\sqrt3}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}+2 \pi n , \, \, n \in Z.

б) Отберём корни на отрезке \displaystyle [- \frac{\pi}{2}; \frac{9 \pi}{2}] с помощью двойного неравенства.

\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{3}+2 \pi n \leq \frac{9 \pi}{2}

\displaystyle - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \leq 2n \leq \frac{9}{2} - \frac{1}{3}

\displaystyle - \frac{5}{6} \leq 2n \leq \frac{25}{6};

\displaystyle - \frac{5}{12} \leq n \leq \frac{25}{12}, n — целое,

n = 0; 1 ; 2

при \displaystyle n = 0 \, \, \, \, \, x = \frac{\pi}{3},

при \displaystyle n = 1 \, \, \, \, \, x = \frac{7 \pi}{3}

при \displaystyle n = 2 \, \, \, \, \, x = \frac{13 \pi}{3}

Ответ

а) \displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2 \pi n

б) \displaystyle \frac{\pi}{3}, \, \frac{7 \pi}{3}, \, \frac{13 \pi}{3}