Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 14. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, в котором АВ = 4, BD = $4\sqrt{2}$ Известно, что SB = $\sqrt{11}$ , SA = SC = $3\sqrt{3}$ .

а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно прямой АС.

б) Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.

Решение

а) Так как $AB = 4, \, \, BD = \sqrt2,$ прямоугольник ABCD квадрат.

Рассмотрим $\triangle ASB.$

$SA = 3 \sqrt3 = \sqrt{27},$

$AB = 4,$

$AB = \sqrt{11}$

$SA^2 = AB^2 + SB^2,$ для $\triangle ASB$ выполняется теорема Пифагора, этот треугольник — прямоугольный, $\angle ABS = 90^\circ.$

Аналогично, $\triangle BSC$ — прямоугольный, $\angle CBS = 90^\circ.$ Значит, $SB \perp AB, \, \, SB \perp BC,$ тогда $SB \perp (ABC)$ — по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, SB — высота пирамиды SABCD

Так как ABCD — квадрат, $AC \perp BD;$

$(BD)$ — проекция $(SD)$ на $(ABC);$

По теореме о трёх перпендикулярах $AC \perp BD.$

б) Найдём радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.

Проведём $AA_1 \parallel SB, \, \, DD_1 \parallel SB, \, \, CC_1 \parallel SB;$ получим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1SC_1D_1.$

Пусть точка O — точка пересечения его диагоналей, $O = SB \cap AC_1$

Тогда точка O — точка пересечения его диагоналей, $O = SD \cap AC_1.$

Тогда точка O равноудалена от всех вершин параллелепипеда, в то числе от A, B, C, D и S, и является центром шара, описанного вокруг пирамиды ABCDS.

Радиус этого шара

$\displaystyle R = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2}\sqrt{BD^2 +SB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{11+32} = \frac{\sqrt{43}}{2}$

Ответ

$\displaystyle \frac{\sqrt{43}}{2}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 14. Решение» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 15.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 14. Решение

Это полезно