previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 14. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, в котором АВ = 4, BD = 4\sqrt{2} Известно, что SB = \sqrt{11}, SA = SC = 3\sqrt{3}.

а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно прямой АС.

б) Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.

Решение

а) Так как AB = 4, \, \, BD = \sqrt2, прямоугольник ABCD квадрат.

Рассмотрим \triangle ASB.

SA = 3 \sqrt3 = \sqrt{27},

AB = 4,

AB = \sqrt{11}

SA^2 = AB^2 + SB^2, для \triangle ASB выполняется теорема Пифагора, этот треугольник — прямоугольный, \angle ABS = 90^\circ.

Аналогично, \triangle BSC — прямоугольный, \angle CBS = 90^\circ. Значит, SB \perp AB, \, \, SB \perp BC, тогда SB \perp (ABC) — по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, SB — высота пирамиды SABCD

Так как ABCD — квадрат, AC \perp BD;

(BD) — проекция (SD) на (ABC);

По теореме о трёх перпендикулярах AC \perp BD.

б) Найдём радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.

Проведём AA_1 \parallel SB, \, \, DD_1 \parallel SB, \, \, CC_1 \parallel SB; получим прямоугольный параллелепипед ABCDA_1SC_1D_1.

Пусть точка O — точка пересечения его диагоналей, O = SB \cap AC_1

Тогда точка O — точка пересечения его диагоналей, O = SD \cap AC_1.

Тогда точка O равноудалена от всех вершин параллелепипеда, в то числе от A, B, C, D и S, и является центром шара, описанного вокруг пирамиды ABCDS.

Радиус этого шара

\displaystyle R = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2}\sqrt{BD^2 +SB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{11+32} = \frac{\sqrt{43}}{2}

Ответ

\displaystyle \frac{\sqrt{43}}{2}