Условие задачи
Анна Малкова
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, в котором АВ = 4, BD = \(4\sqrt{2}\) Известно, что SB = \(\sqrt{11}\), SA = SC = \(3\sqrt{3}\).
а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно прямой АС.
б) Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.
Решение
а) Так как \(AB = 4, \, \, BD = \sqrt2,\) прямоугольник ABCD квадрат.
Рассмотрим \(\triangle ASB.\)
\(SA = 3 \sqrt3 = \sqrt{27},\)
\(AB = 4,\)
\(AB = \sqrt{11}\)
\(SA^2 = AB^2 + SB^2,\) для \(\triangle ASB \)выполняется теорема Пифагора, этот треугольник — прямоугольный, \(\angle ABS = 90^\circ.\)
Аналогично, \(\triangle BSC\) — прямоугольный, \(\angle CBS = 90^\circ.\) Значит, \(SB \perp AB, \, \, SB \perp BC,\) тогда \(SB \perp (ABC)\) — по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, SB — высота пирамиды SABCD
Так как ABCD — квадрат, \(AC \perp BD;\)
\((BD)\) — проекция \((SD)\) на \((ABC); \)
По теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp BD.\)
б) Найдём радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.
Проведём \(AA_1 \parallel SB, \, \, DD_1 \parallel SB, \, \, CC_1 \parallel SB;\) получим прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1SC_1D_1.\)
Пусть точка O — точка пересечения его диагоналей, \(O = SB \cap AC_1\)
Тогда точка O — точка пересечения его диагоналей, \(O = SD \cap AC_1.\)
Тогда точка O равноудалена от всех вершин параллелепипеда, в то числе от A, B, C, D и S, и является центром шара, описанного вокруг пирамиды ABCDS.
Радиус этого шара
\(\displaystyle R = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2}\sqrt{BD^2 +SB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{11+32} = \frac{\sqrt{43}}{2}\)
Ответ
\(\displaystyle \frac{\sqrt{43}}{2}\)
