previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 14. Решение

Условие задачи

Анна Малкова

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, в котором АВ = 4, BD = \(4\sqrt{2}\) Известно, что SB = \(\sqrt{11}\), SA = SC = \(3\sqrt{3}\).

а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно прямой АС.

б) Найдите радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.

Решение

а) Так как \(AB = 4, \, \, BD = \sqrt2,\) прямоугольник ABCD квадрат.

Рассмотрим \(\triangle ASB.\)

\(SA = 3 \sqrt3 = \sqrt{27},\)

\(AB = 4,\)

\(AB = \sqrt{11}\)

\(SA^2 = AB^2 + SB^2,\) для \(\triangle ASB \)выполняется теорема Пифагора, этот треугольник — прямоугольный, \(\angle ABS = 90^\circ.\)

Аналогично, \(\triangle BSC\) — прямоугольный, \(\angle CBS = 90^\circ.\) Значит, \(SB \perp AB, \, \, SB \perp BC,\) тогда \(SB \perp (ABC)\) — по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, SB — высота пирамиды SABCD

Так как ABCD — квадрат, \(AC \perp BD;\)

\((BD)\) — проекция \((SD)\) на \((ABC); \)

По теореме о трёх перпендикулярах \(AC \perp BD.\)

б) Найдём радиус шара, описанного вокруг пирамиды SABCD.

Проведём \(AA_1 \parallel SB, \, \, DD_1 \parallel SB, \, \, CC_1 \parallel SB;\) получим прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1SC_1D_1.\)

Пусть точка O — точка пересечения его диагоналей, \(O = SB \cap AC_1\)

Тогда точка O — точка пересечения его диагоналей, \(O = SD \cap AC_1.\)

Тогда точка O равноудалена от всех вершин параллелепипеда, в то числе от A, B, C, D и S, и является центром шара, описанного вокруг пирамиды ABCDS.

Радиус этого шара

\(\displaystyle R = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2}\sqrt{BD^2 +SB^2} = \frac{1}{2}\sqrt{11+32} = \frac{\sqrt{43}}{2}\)

Ответ

\(\displaystyle \frac{\sqrt{43}}{2}\)