Условие задачи
Роман Шашков. Решите неравенство:
\(\left (\sqrt[4]{2} \right )^{x^2+12x+22} \textgreater \sqrt{3+\sqrt{8}}-1\)
Решение
Преобразуем
\(\sqrt{3 + \sqrt8} = \sqrt{1+2 \sqrt2 +2} = \sqrt{(1+\sqrt2)^2} = 1= \sqrt2\)
Правая часть:
\(\displaystyle 1+ \sqrt2 - 1 = \sqrt2 = 2^{\frac{1}{2}}\)
Получим:
\(\displaystyle (2^{\frac{1}{4}})^{x^2+12x+22} \, \textgreater \, 2^{\frac{1}{2}}\)
Показательная функция \(y = 2^t\) монотонно возрастает;
\(\displaystyle \frac{1}{4}(x^2 +12x+22) \geq \frac{1}{2}\)
\(x^2+12x+22 \geq 2\)
\(x^2+12x+20 \geq 0\)
\((x+10)(x+2) \geq 0\)
\(x \in (- \infty; -10) \cup (-2; + \infty)\)
Ответ
\(x \in (- \infty; -10) \cup (-2; + \infty)\)
