Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 16. Решение

Условие задачи

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.

а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что $\displaystyle \frac{AP}{PD}=sin D$ .

б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

Решение

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры окружностей.

а) Докажем, что $\displaystyle \frac{AP}{BD} = \sin \angle D$

пусть $(AB) \cap (CD) = Q.$

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла; QP — биссектриса угла AQD.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилегающих сторон (свойство биссектрисы)

$\displaystyle \frac{AP}{PD} = \frac{AQ}{QD} = \sin \angle D$

б) Пусть $R = 3$ и $r = 1$ — радиусы окружностей. Найдём $S_{ABCD}.$

$\displaystyle S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD+BC) \cdot AB$

Проведём $O_1N \perp AB, \, \, \, \, O_2M \perp AB.$

В трапеции $O_1O_2MN: \, \, \, O_1N = r, \, \, O_2M.$

В треугольнике $O_1O_2T\, \, \, \, \angle T = 90^\circ,$

$O_2T = R - r, \, \, O_1T = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2 T^2} =$

$= \sqrt{(R+r)^2 - (R-t)^2} = \sqrt{R^2 +2Rr+r^2 - R^2 +2 Rr -r^2}=$

$=\sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr};$

$O_1NMO_2$ — прямоугольник,

$MN = O_1T = 2 \sqrt{Rr},$ тогда

$AB = R+r+2\sqrt{Rr} 4+2\sqrt{3}.$

Рассмотрим $\triangle O_1O_2T, \, \, \, \, \angle T = 90^\circ$

$\displaystyle \sin \angle O_2O_1T = \frac{O_2T}{O_1O_2} = \frac{R-r}{R+r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$

Значит, $\angle O_2O_1T = 30^\circ = \angle PQA,$

так как QP — биссектриса $\angle AQD,$

$\angle AQD = 30^\circ \cdot 2 = 60^\circ.$ Тогда $\angle ADC = 30^\circ.$

Окружность с центром $O_2$ вписана в прямоугольный треугольник ADQ;

радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле

$\displaystyle r = \frac{a+b-c}{2}.$

Для $\triangle ADQ,$ где $\angle D = 30^\circ, \, \, \, \angle Q = 60^\circ,$

$AQ = a, \, \, \, AD = \sqrt3 a, \, \, \, QD = 2a.$

Тогда $\displaystyle r = \frac{a+ \sqrt3 a -2a}{2} = \frac{a(\sqrt3 -1)}{2}=AQ \cdot \frac{\sqrt3 -1}{2};$

$\displaystyle AQ = \frac{2r}{\sqrt3 -1} = \frac{6}{\sqrt3 -1} = \frac{6(\sqrt3 +1)}{3-1} = 3(\sqrt3 +1);$

$AD = AQ \cdot \sqrt3 = 3\sqrt3(\sqrt3 +1)=9+ 3\sqrt3$

$BQ = AQ-AB = 3\sqrt3 +3 -4-2 \sqrt3 = \sqrt3 -1;$

$\triangle BQC \sim \triangle AQD,$

$\displaystyle \frac{BQ}{AQ} = \frac{BC}{AD};$

$\displaystyle BC = \frac{BQ \cdot AD}{AQ} = (\sqrt3 -1) \cdot tg 60^\circ = (\sqrt3 -1) \cdot \sqrt3 = 3 - \sqrt3.$

$\displaystyle S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot AD = 30+16 \sqrt3$

Ответ

$30+16 \sqrt3$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 16. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 16. Решение

Это полезно