Условие задачи
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \(\displaystyle \frac{AP}{PD}=sin D\).
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.
Решение
Пусть \(O_1\) и \(O_2\) - центры окружностей.
а) Докажем, что \(\displaystyle \frac{AP}{BD} = \sin \angle D\)
пусть \((AB) \cap (CD) = Q.\)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла; QP — биссектриса угла AQD.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилегающих сторон (свойство биссектрисы)
\(\displaystyle \frac{AP}{PD} = \frac{AQ}{QD} = \sin \angle D\)
б) Пусть \(R = 3\) и \(r = 1\) — радиусы окружностей. Найдём \(S_{ABCD}.\)
\(\displaystyle S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD+BC) \cdot AB\)
Проведём \(O_1N \perp AB, \, \, \, \, O_2M \perp AB.\)
В трапеции \(O_1O_2MN: \, \, \, O_1N = r, \, \, O_2M.\)
В треугольнике \(O_1O_2T\, \, \, \, \angle T = 90^\circ,\)
\(O_2T = R - r, \, \, O_1T = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2 T^2} =\)
\(= \sqrt{(R+r)^2 - (R-t)^2} = \sqrt{R^2 +2Rr+r^2 - R^2 +2 Rr -r^2}=\)
\(=\sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr};\)
\(O_1NMO_2\) — прямоугольник,
\(MN = O_1T = 2 \sqrt{Rr},\) тогда
\(AB = R+r+2\sqrt{Rr} 4+2\sqrt{3}.\)
Рассмотрим \(\triangle O_1O_2T, \, \, \, \, \angle T = 90^\circ\)
\(\displaystyle \sin \angle O_2O_1T = \frac{O_2T}{O_1O_2} = \frac{R-r}{R+r} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\)
Значит, \(\angle O_2O_1T = 30^\circ = \angle PQA,\)
так как QP — биссектриса \(\angle AQD,\)
\(\angle AQD = 30^\circ \cdot 2 = 60^\circ.\) Тогда \(\angle ADC = 30^\circ.\)
Окружность с центром \(O_2\) вписана в прямоугольный треугольник ADQ;
радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле
\(\displaystyle r = \frac{a+b-c}{2}.\)
Для \(\triangle ADQ,\) где \(\angle D = 30^\circ, \, \, \, \angle Q = 60^\circ,\)
\(AQ = a, \, \, \, AD = \sqrt3 a, \, \, \, QD = 2a.\)
Тогда \(\displaystyle r = \frac{a+ \sqrt3 a -2a}{2} = \frac{a(\sqrt3 -1)}{2}=AQ \cdot \frac{\sqrt3 -1}{2};\)
\(\displaystyle AQ = \frac{2r}{\sqrt3 -1} = \frac{6}{\sqrt3 -1} = \frac{6(\sqrt3 +1)}{3-1} = 3(\sqrt3 +1);\)
\(AD = AQ \cdot \sqrt3 = 3\sqrt3(\sqrt3 +1)=9+ 3\sqrt3\)
\(BQ = AQ-AB = 3\sqrt3 +3 -4-2 \sqrt3 = \sqrt3 -1;\)
\(\triangle BQC \sim \triangle AQD,\)
\(\displaystyle \frac{BQ}{AQ} = \frac{BC}{AD};\)
\(\displaystyle BC = \frac{BQ \cdot AD}{AQ} = (\sqrt3 -1) \cdot tg 60^\circ = (\sqrt3 -1) \cdot \sqrt3 = 3 - \sqrt3.\)
\(\displaystyle S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot AD = 30+16 \sqrt3\)
Ответ
\(30+16 \sqrt3\)
