Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 19. Решение

Условие задачи

(МИОО, 2016) Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1,a_2\dots,a_n\dots$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $S_1=a_1, S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$ при всех натуральных $n \geq 2.$

а) Существует ли такая прогрессия, для которой $S_{10}=100S_1$ ?

б) Существует ли такая прогрессия, для которой $S_{10}=50S_2$ ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\displaystyle \frac{S_5^2}{S_1S_{10}}$

Решение

Пусть $S_1 = a_1,$

$S_n = a_1 + a-2 = \dots + a_n$

а) Предположим, что $S_{10} = 100 S_1 =100 a_1.$

пусть $\alpha$ - разность прогрессии.

Тогда $S_{10} = (2a_1 +9d) \cdot 5 = 1000a_1,$

$2a_1 +9d = 20 a_1,$

$\alpha = 2a_1$

пусть $a_1 = 1.$ Тогда $\alpha = 2.$

Получим прогрессию $1, 3, 5 \dots$

б) Предположим, что $S_{10} = S_2,$

$S_{10} = 50 \cdot (a_1 + a_2),$

$(2a_1 +9d) \cdot 5 = 50 (2a_1 +\alpha),$

$2a_1 +9d = 20 a_1 +10d,$

$d = -18 a_1,$

Так как $a_1 \in N, \, \, \, \, \, d \, \textless \, 0$ — противоречие с условием, что все члены прогрессии — натуральные числа; нет, не может быть.

а) Найдём наименьшее значение выражения

$\displaystyle y = \frac{S_5^{2}}{S_1 \cdot S_{10}}$

Здесь

$\displaystyle S_5 = \frac{2a_1 +4 d}{2} \cdot 5 = (a_1 +2d) \cdot 5$

$S_1 = a_1$

$\displaystyle S_{10} = \frac{2 a_1 +9 \cdot d}{2} \cdot 10 = (2 a_1 +9 d) \cdot 5$

$\displaystyle y = \frac{(a_1 +2d)^2 \cdot 25}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)\cdot 5} = \frac{(a_1+2d)^2}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)} =$

$\displaystyle = 5 \cdot \frac{a_1 ^2 +4a_1 d +4d^2}{2a_1 ^2 +9a_1d} = 5\cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x}$

Мы поделили числитель и знаменатель дроби на $a_1 ^2$ и обозначим $\displaystyle \frac{d}{a_1} = x.$

Получим: $\displaystyle y = 5 \cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = 5t$

$y \, \textgreater \, 0 \, \, \, \, \, x \, \textgreater \, 0$

$\displaystyle \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = t.$

Найдём, при каких t существует решение этого уравнения.

$1+4x+4x^2 = t(2+9x)$

$4x^2 + (4-9t)x+1-2t = 0$

$D \geq 0,$

$(4-9t)^2 - 16(1-2t) \geq 0,$

Отсюда $81t^2 - 40t \geq 0,$

так как $\displaystyle t \, \textgreater \, 0, \, \, \, \, t \geq \frac{40}{81},$ тогда

$\displaystyle y \geq \frac{200}{81}.$ Это оценка.

Пример для $\displaystyle y = \frac{200}{81}:$

Рассмотрим прогрессию

$18, 19, 20 \dots$

Здесь $S_5 = 100, \, \, \, \, S_{10} = 45 \cdot 5,$

$\displaystyle y = \frac{100 \cdot 100 }{18 \cdot 45 \cdot 5} = \frac{200}{81}.$

Мы нашли пример, взяв $D = 0$

Тогда $\displaystyle t = \frac{40}{81}, \, \, \, x = \frac{1}{18} = \frac{d}{a_1}, \, \, \, \, \, a_1 = 18 \, \, \, \, \, \, d = 1$

Ответ

а) да; б) нет; в) $\displaystyle \frac{200}{81}.$

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 19. Решение

Это полезно