previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 19. Решение

Условие задачи

(МИОО, 2016) Бесконечная арифметическая прогрессия a_1,a_2\dots,a_n\dots состоит из различных натуральных чисел. Пусть S_1=a_1, S_n=a_1+a_2+\dots+a_n при всех натуральных n \geq 2.

а) Существует ли такая прогрессия, для которой S_{10}=100S_1?

б) Существует ли такая прогрессия, для которой S_{10}=50S_2?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \displaystyle \frac{S_5^2}{S_1S_{10}}

Решение

Пусть S_1 = a_1,

S_n = a_1 + a-2 = \dots + a_n

а) Предположим, что S_{10} = 100 S_1 =100 a_1.

пусть \alpha - разность прогрессии.

Тогда S_{10} = (2a_1 +9d) \cdot 5 = 1000a_1,

2a_1 +9d = 20 a_1,

\alpha = 2a_1

пусть a_1 = 1. Тогда \alpha = 2.

Получим прогрессию 1, 3, 5 \dots

б) Предположим, что S_{10} = S_2,

S_{10} = 50 \cdot (a_1 + a_2),

(2a_1 +9d) \cdot 5 = 50 (2a_1 +\alpha),

2a_1 +9d = 20 a_1 +10d,

d = -18 a_1,

Так как a_1 \in N, \, \, \, \, \, d \, \textless \, 0 — противоречие с условием, что все члены прогрессии — натуральные числа; нет, не может быть.

а) Найдём наименьшее значение выражения

\displaystyle y = \frac{S_5^{2}}{S_1 \cdot S_{10}}

Здесь

\displaystyle S_5 = \frac{2a_1 +4 d}{2} \cdot 5 = (a_1 +2d) \cdot 5

S_1 = a_1

\displaystyle S_{10} = \frac{2 a_1 +9 \cdot d}{2} \cdot 10 = (2 a_1 +9 d) \cdot 5

\displaystyle y = \frac{(a_1 +2d)^2 \cdot 25}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)\cdot 5} = \frac{(a_1+2d)^2}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)} =

\displaystyle = 5 \cdot \frac{a_1 ^2 +4a_1 d +4d^2}{2a_1 ^2 +9a_1d} = 5\cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x}

Мы поделили числитель и знаменатель дроби на a_1 ^2 и обозначим \displaystyle \frac{d}{a_1} = x.

Получим: \displaystyle y = 5 \cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = 5t

y \, \textgreater \, 0 \, \, \, \, \, x \, \textgreater \, 0

\displaystyle \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = t.

Найдём, при каких t существует решение этого уравнения.

1+4x+4x^2 = t(2+9x)

4x^2 + (4-9t)x+1-2t = 0

D \geq 0,

(4-9t)^2 - 16(1-2t) \geq 0,

Отсюда 81t^2 - 40t \geq 0,

так как \displaystyle t \, \textgreater \, 0, \, \, \, \, t \geq \frac{40}{81}, тогда

\displaystyle y \geq \frac{200}{81}. Это оценка.

Пример для \displaystyle y = \frac{200}{81}:

Рассмотрим прогрессию

18, 19, 20 \dots

Здесь S_5 = 100, \, \, \, \, S_{10} = 45 \cdot 5,

\displaystyle y = \frac{100 \cdot 100 }{18 \cdot 45 \cdot 5} = \frac{200}{81}.

Мы нашли пример, взяв D = 0

Тогда \displaystyle t = \frac{40}{81}, \, \, \, x = \frac{1}{18} = \frac{d}{a_1}, \, \, \, \, \, a_1 = 18 \, \, \, \, \, \, d = 1

Ответ

а) да; б) нет; в) \displaystyle \frac{200}{81}.