Условие задачи
(МИОО, 2016) Бесконечная арифметическая прогрессия \(a_1,a_2\dots,a_n\dots\) состоит из различных натуральных чисел. Пусть \(S_1=a_1, S_n=a_1+a_2+\dots+a_n\) при всех натуральных \(n \geq 2.\)
а) Существует ли такая прогрессия, для которой \(S_{10}=100S_1\)?
б) Существует ли такая прогрессия, для которой \(S_{10}=50S_2\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\displaystyle \frac{S_5^2}{S_1S_{10}}\)
Решение
Пусть \(S_1 = a_1,\)
\(S_n = a_1 + a-2 = \dots + a_n\)
а) Предположим, что \(S_{10} = 100 S_1 =100 a_1.\)
пусть \(\alpha\) - разность прогрессии.
Тогда \(S_{10} = (2a_1 +9d) \cdot 5 = 1000a_1,\)
\(2a_1 +9d = 20 a_1,\)
\(\alpha = 2a_1\)
пусть \(a_1 = 1.\) Тогда \(\alpha = 2.\)
Получим прогрессию \(1, 3, 5 \dots\)
б) Предположим, что \(S_{10} = S_2,\)
\(S_{10} = 50 \cdot (a_1 + a_2),\)
\((2a_1 +9d) \cdot 5 = 50 (2a_1 +\alpha),\)
\(2a_1 +9d = 20 a_1 +10d,\)
\(d = -18 a_1,\)
Так как \(a_1 \in N, \, \, \, \, \, d \, \textless \, 0\) — противоречие с условием, что все члены прогрессии — натуральные числа; нет, не может быть.
а) Найдём наименьшее значение выражения
\(\displaystyle y = \frac{S_5^{2}}{S_1 \cdot S_{10}}\)
Здесь
\(\displaystyle S_5 = \frac{2a_1 +4 d}{2} \cdot 5 = (a_1 +2d) \cdot 5\)
\(S_1 = a_1\)
\(\displaystyle S_{10} = \frac{2 a_1 +9 \cdot d}{2} \cdot 10 = (2 a_1 +9 d) \cdot 5\)
\(\displaystyle y = \frac{(a_1 +2d)^2 \cdot 25}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)\cdot 5} = \frac{(a_1+2d)^2}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)} = \)
\(\displaystyle = 5 \cdot \frac{a_1 ^2 +4a_1 d +4d^2}{2a_1 ^2 +9a_1d} = 5\cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x}\)
Мы поделили числитель и знаменатель дроби на \(a_1 ^2\) и обозначим \(\displaystyle \frac{d}{a_1} = x.\)
Получим: \(\displaystyle y = 5 \cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = 5t\)
\(y \, \textgreater \, 0 \, \, \, \, \, x \, \textgreater \, 0\)
\(\displaystyle \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = t.\)
Найдём, при каких t существует решение этого уравнения.
\(1+4x+4x^2 = t(2+9x)\)
\(4x^2 + (4-9t)x+1-2t = 0\)
\(D \geq 0,\)
\((4-9t)^2 - 16(1-2t) \geq 0,\)
Отсюда \(81t^2 - 40t \geq 0,\)
так как \(\displaystyle t \, \textgreater \, 0, \, \, \, \, t \geq \frac{40}{81},\) тогда
\(\displaystyle y \geq \frac{200}{81}.\) Это оценка.
Пример для \(\displaystyle y = \frac{200}{81}:\)
Рассмотрим прогрессию
\(18, 19, 20 \dots\)
Здесь \(S_5 = 100, \, \, \, \, S_{10} = 45 \cdot 5,\)
\(\displaystyle y = \frac{100 \cdot 100 }{18 \cdot 45 \cdot 5} = \frac{200}{81}.\)
Мы нашли пример, взяв \(D = 0\)
Тогда \(\displaystyle t = \frac{40}{81}, \, \, \, x = \frac{1}{18} = \frac{d}{a_1}, \, \, \, \, \, a_1 = 18 \, \, \, \, \, \, d = 1\)
Ответ
а) да; б) нет; в) \(\displaystyle \frac{200}{81}.\)
