Условие задачи
(МИОО, 2016) Бесконечная арифметическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Пусть
при всех натуральных
а) Существует ли такая прогрессия, для которой ?
б) Существует ли такая прогрессия, для которой ?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь
Решение
Пусть
а) Предположим, что
пусть - разность прогрессии.
Тогда
пусть Тогда
Получим прогрессию
б) Предположим, что
Так как — противоречие с условием, что все члены прогрессии — натуральные числа; нет, не может быть.
а) Найдём наименьшее значение выражения
Здесь
Мы поделили числитель и знаменатель дроби на и обозначим
Получим:
Найдём, при каких t существует решение этого уравнения.
Отсюда
так как тогда
Это оценка.
Пример для
Рассмотрим прогрессию
Здесь
Мы нашли пример, взяв
Тогда
Ответ
а) да; б) нет; в)