previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 19. Решение

Условие задачи

(МИОО, 2016) Бесконечная арифметическая прогрессия \(a_1,a_2\dots,a_n\dots\) состоит из различных натуральных чисел. Пусть \(S_1=a_1, S_n=a_1+a_2+\dots+a_n\) при всех натуральных \(n \geq 2.\)

а) Существует ли такая прогрессия, для которой \(S_{10}=100S_1\)?

б) Существует ли такая прогрессия, для которой \(S_{10}=50S_2\)?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\displaystyle \frac{S_5^2}{S_1S_{10}}\)

Решение

Пусть \(S_1 = a_1,\)

\(S_n = a_1 + a-2 = \dots + a_n\)

а) Предположим, что \(S_{10} = 100 S_1 =100 a_1.\)

пусть \(\alpha\) - разность прогрессии.

Тогда \(S_{10} = (2a_1 +9d) \cdot 5 = 1000a_1,\)

\(2a_1 +9d = 20 a_1,\)

\(\alpha = 2a_1\)

пусть \(a_1 = 1.\) Тогда \(\alpha = 2.\)

Получим прогрессию \(1, 3, 5 \dots\)

б) Предположим, что \(S_{10} = S_2,\)

\(S_{10} = 50 \cdot (a_1 + a_2),\)

\((2a_1 +9d) \cdot 5 = 50 (2a_1 +\alpha),\)

\(2a_1 +9d = 20 a_1 +10d,\)

\(d = -18 a_1,\)

Так как \(a_1 \in N, \, \, \, \, \, d \, \textless \, 0\) — противоречие с условием, что все члены прогрессии — натуральные числа; нет, не может быть.

а) Найдём наименьшее значение выражения

\(\displaystyle y = \frac{S_5^{2}}{S_1 \cdot S_{10}}\)

Здесь

\(\displaystyle S_5 = \frac{2a_1 +4 d}{2} \cdot 5 = (a_1 +2d) \cdot 5\)

\(S_1 = a_1\)

\(\displaystyle S_{10} = \frac{2 a_1 +9 \cdot d}{2} \cdot 10 = (2 a_1 +9 d) \cdot 5\)

\(\displaystyle y = \frac{(a_1 +2d)^2 \cdot 25}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)\cdot 5} = \frac{(a_1+2d)^2}{a_1 \cdot (2a_1 +9d)} = \)

\(\displaystyle = 5 \cdot \frac{a_1 ^2 +4a_1 d +4d^2}{2a_1 ^2 +9a_1d} = 5\cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x}\)

Мы поделили числитель и знаменатель дроби на \(a_1 ^2\) и обозначим \(\displaystyle \frac{d}{a_1} = x.\)

Получим: \(\displaystyle y = 5 \cdot \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = 5t\)

\(y \, \textgreater \, 0 \, \, \, \, \, x \, \textgreater \, 0\)

\(\displaystyle \frac{1+4x+4x^2}{2+9x} = t.\)

Найдём, при каких t существует решение этого уравнения.

\(1+4x+4x^2 = t(2+9x)\)

\(4x^2 + (4-9t)x+1-2t = 0\)

\(D \geq 0,\)

\((4-9t)^2 - 16(1-2t) \geq 0,\)

Отсюда \(81t^2 - 40t \geq 0,\)

так как \(\displaystyle t \, \textgreater \, 0, \, \, \, \, t \geq \frac{40}{81},\) тогда

\(\displaystyle y \geq \frac{200}{81}.\) Это оценка.

Пример для \(\displaystyle y = \frac{200}{81}:\)

Рассмотрим прогрессию

\(18, 19, 20 \dots\)

Здесь \(S_5 = 100, \, \, \, \, S_{10} = 45 \cdot 5,\)

\(\displaystyle y = \frac{100 \cdot 100 }{18 \cdot 45 \cdot 5} = \frac{200}{81}.\)

Мы нашли пример, взяв \(D = 0\)

Тогда \(\displaystyle t = \frac{40}{81}, \, \, \, x = \frac{1}{18} = \frac{d}{a_1}, \, \, \, \, \, a_1 = 18 \, \, \, \, \, \, d = 1\)

Ответ

а) да; б) нет; в) \(\displaystyle \frac{200}{81}.\)