Условие задачи
а) Решите уравнение: \(2sin^2x+\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=cosx.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-2\pi;~ -\frac{\pi }{2} ].\)
Решение
a) По формуле синуса суммы, \( sin(x+\frac{\pi }{4}) =\frac{\sqrt{2}}{2} sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} cos x.\)
Уравнение примет вид:
\(2sin^2x+sinx+cosx=cosx < = >\)
\(2sin^2x+sinx=0 < = > sinx(2sinx+1)=0 < = >\)
\(< = > \left[
\begin{gathered}
sinx=0; \\
sinx=-\frac{1}{2} \\
\end{gathered}
\right.< = > \left[
\begin{gathered}
x=\pi n,~n\in z; \\
x=-\frac{\pi}{6} +2\pi n,\\
x=-\frac{5\pi}{6} +2\pi n.\\
\end{gathered}\right.
\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \([-2\pi;~ -\frac{\pi }{2} ]\), с помощью тригонометрического круга:
Указанному отрезку принадлежат числа \(-2\pi; ~-\pi;~-\frac{5\pi}{6}\).
Ответ:
а) \(\left[
\begin{gathered}
x=\pi n,~n\in z; \\
x=-\frac{\pi}{6} +2\pi n,\\
x=-\frac{5\pi}{6} +2\pi n.\\
\end{gathered}\right.\)
б) \(-2\pi; ~-\pi;~-\frac{5\pi}{6}\).
