Решение задачи №13 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

а) Решите уравнение: $2sin^2x+\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=cosx.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi;~ -\frac{\pi }{2} ].$

Решение
a) По формуле синуса суммы, $sin(x+\frac{\pi }{4}) =\frac{\sqrt{2}}{2} sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} cos x.$

Уравнение примет вид:
$2sin^2x+sinx+cosx=cosx < = >$

$2sin^2x+sinx=0 < = > sinx(2sinx+1)=0 < = >$

$< = > \left[ \begin{gathered} sinx=0; \\ sinx=-\frac{1}{2} \\ \end{gathered} \right.< = > \left[ \begin{gathered} x=\pi n,~n\in z; \\ x=-\frac{\pi}{6} +2\pi n,\\ x=-\frac{5\pi}{6} +2\pi n.\\ \end{gathered}\right.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi;~ -\frac{\pi }{2} ]$ , с помощью тригонометрического круга:

Указанному отрезку принадлежат числа $-2\pi; ~-\pi;~-\frac{5\pi}{6}$ .

Ответ:
а) $\left[ \begin{gathered} x=\pi n,~n\in z; \\ x=-\frac{\pi}{6} +2\pi n,\\ x=-\frac{5\pi}{6} +2\pi n.\\ \end{gathered}\right.$

б) $-2\pi; ~-\pi;~-\frac{5\pi}{6}$ .

Решение задачи №13 с настоящего ЕГЭ 2018

Это полезно