previous arrow
next arrow
Slider

Решение задачи №13 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

а) Решите уравнение: 2sin^2x+\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=cosx.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2\pi;~ -\frac{\pi }{2} ].

Решение
a) По формуле синуса суммы, sin(x+\frac{\pi }{4}) =\frac{\sqrt{2}}{2} sin x+\frac{\sqrt{2}}{2} cos x.

Уравнение примет вид:
2sin^2x+sinx+cosx=cosx < = >

2sin^2x+sinx=0 < = > sinx(2sinx+1)=0 < = >

< = > \left[ \begin{gathered} sinx=0; \\ sinx=-\frac{1}{2} \\ \end{gathered} \right.< = > \left[ \begin{gathered} x=\pi n,~n\in z; \\ x=-\frac{\pi}{6} +2\pi n,\\ x=-\frac{5\pi}{6} +2\pi n\\ \end{gathered}\right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [-2\pi;~ -\frac{\pi }{2} ], с помощью тригонометрического круга:

Указанному отрезку принадлежат числа -2\pi; ~-\pi;~-\frac{5\pi}{6}.

Ответ:
а) \left[ \begin{gathered} x=\pi n,~n\in z; \\ x=-\frac{\pi}{6} +2\pi n,\\ x=-\frac{5\pi}{6} +2\pi n\\ \end{gathered}\right.

б) -2\pi; ~-\pi;~-\frac{5\pi}{6}.