Решение задачи №14 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка $C_1$ , причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^{\circ},~AB=\sqrt{2},~ CC_1=2.$

а)Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^{\circ}$ .

б)Найдите объём цилиндра.

Решение

Прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны, (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью).

Значит, угол между $AC_1$ и $BC$ равен углу $AC_1B_1$ .

$\angle ABC=90^{\circ}$ (опирается на диаметр).

Из $\Delta ABC:$

$BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}=B_1C_1; ~ AC=2\sqrt{2}.$

Из $\Delta ACC_1:$

$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$

Из $\Delta ABB_1:$

$AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}=B_1C_1.$

Для $\Delta AC_1B_1$ выполняется равенство $AC_1^2=B_1C_1^2+AB_1^2; 6+6=12.$

Значит, $\Delta AC_1B_1$ - прямоугольный равнобедренный, $\angle AC_1B_1 =45^{\circ}$ .

б) Найдем V цилиндра:

$V=\pi R^2\cdot h=\pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2 =4\pi.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение задачи №14 с настоящего ЕГЭ 2018» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Решение задачи №14 с настоящего ЕГЭ 2018

Это полезно