Решение задачи №14 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка $C_1$ , причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^{\circ},~AB=\sqrt{2},~ CC_1=2.$

а)Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^{\circ}$ .

б)Найдите объём цилиндра.

Решение

Прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны, (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью)

Значит, угол между $AC_1$ и $BC$ равен углу $AC_1B_1$ .

$\angle ABC=90^{\circ}$ (опирается на диаметр).

Из $\Delta ABC:$

$BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}=B_1C_1; ~ AC=2\sqrt{2};$

Из $\Delta ACC_1:$

$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3};$

Из $\Delta ABB_1:$

$AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}=B_1C_1.$

Для $\Delta AC_1B_1$ выполняется равенство $AC_1^2=B_1C_1^2+AB_1^2;$

6+6=12. Значит, $\Delta AC_1B_1$ - прямоугольный равнобедренный, $\angle AC_1B_1 =45^{\circ}$ .

б) Найдем V цилиндра.

$V=\pi R^2\cdot h=\pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot 2 =4\pi.$

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

© 2009–2017, ООО «ЕГЭ-Студия». Все права защищены. Копирование материалов допускается только с разрешения владельца сайта и при наличии обратной ссылки.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить