previous arrow
next arrow
Slider

Решение задачи №14 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1 , причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB=30^{\circ},~AB=\sqrt{2},~ CC_1=2.

а)Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45^{\circ}.

б)Найдите объём цилиндра.

Решение

Прямые BC и B_1C_1 параллельны, (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью)

Значит, угол между AC_1 и BC равен углу AC_1B_1.

\angle ABC=90^{\circ} (опирается на диаметр).

Из \Delta ABC:

BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}=B_1C_1; ~ AC=2\sqrt{2};

Из \Delta ACC_1:

AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3};

Из \Delta ABB_1:

AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}=B_1C_1.

Для \Delta AC_1B_1 выполняется равенство AC_1^2=B_1C_1^2+AB_1^2;

6+6=12. Значит, \Delta AC_1B_1 - прямоугольный равнобедренный, \angle  AC_1B_1 =45^{\circ}.

б) Найдем V цилиндра.

V=\pi R^2\cdot h=\pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot  2 =4\pi.