Условие задачи
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB=BC=CD=12.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Решение
а) Докажем, что BC∥AD.
Равные дуги стягиваются равными хордами.
Дуги АВ и CD, стягиваемые равными хордами АВ и CD, равны.
Значит, ∠АСВ=∠CAD - как опирающиеся на равные дуги. Эти углы - накрестлежащие при прямых BC и AD и секущей АС.
Значит, AD∥BC.
б) Найдем AD, если АВ=ВС=CD=12, R=8.
По теореме синусов, \(\frac{AB}{sin\angle ACB}=2R;\)
\(\frac{AB}{2R}=sin\angle ACB\), отсюда \(sin\angle ACB=\frac{3}{4}\).
\(\angle BAC=\angle CAD=\angle BCA= \varphi\)- так как опираются на равные хорды.
Так как ABCD - равнобедренная трапеция, \(\angle CDA=2\cdot \angle BCA =2\varphi;\)
\(sin\angle CDA=sin 2\varphi =2sin\varphi cos\varphi.\)
По теореме синусов из треугольника CDA:
\(\displaystyle \frac{AC}{sin\angle CDA}=\frac{CD}{sin\angle CAD};\)
\(\displaystyle \frac{AC}{2sin\varphi cos\varphi }=\frac{CD}{sin\varphi};\)
\(AC=CD\cdot 2cos\varphi =24 cos\varphi. \)
По теореме косинусов из △ACD:
\(CD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cdot cos \angle ACD;\)
\(12^2=(24cos\varphi )^2+AD^2-2\cdot 24\cdot AD \cdot cos^2 \varphi. \)
\(sin \varphi =\displaystyle \frac{3}{4} = >\)
\(cos^2 \varphi =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}.\)
Обозначим \(AD=x.\)
\(12^2=24^2\cdot \frac{7}{16}+x^2-2\cdot 24 \cdot x \cdot \frac{7}{16};\)
\(x^2-21x+108=0;\)
x=12 или х =9.
Если х=12, то ABCD - квадрат (ромб, вписанный в окружность). Тогда условие R=8 не выполняется.
Ответ: AD=9.
