Условие задачи
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB=BC=CD=12.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Решение
а) Докажем, что BC∥AD.
Равные дуги стягиваются равными хордами.
Дуги АВ и CD, стягиваемые равными хордами АВ и CD, равны.
Значит, ∠АСВ=∠CAD - как опирающиеся на равные дуги. Эти углы - накрестлежащие при прямых BC и AD и секущей АС.
Значит, AD∥BC.
б) Найдем AD, если АВ=ВС=CD=12, R=8.
эж
По теореме синусов,
, отсюда
.
- так как опираются на равные хорды.
Так как ABCD - равнобедренная трапеция,
По теореме синусов из треугольника CDA:
По теореме косинусов из △ACD:
Обозначим
x=12 или х =9.
Если х=12, то ABCD - квадрат (ромб, вписанный в окружность). Тогда условие R=8 не выполняется.
Ответ: AD=9.