Решение задачи №16 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB=BC=CD=12.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение

а) Докажем, что BC∥AD.

Равные дуги стягиваются равными хордами.

Дуги АВ и CD, стягиваемые равными хордами АВ и CD, равны.

Значит, ∠АСВ=∠CAD - как опирающиеся на равные дуги. Эти углы - накрестлежащие при прямых BC и AD и секущей АС.

Значит, AD∥BC.

б) Найдем AD, если АВ=ВС=CD=12, R=8.

По теореме синусов, $\frac{AB}{sin\angle ACB}=2R;$

$\frac{AB}{2R}=sin\angle ACB$ , отсюда $sin\angle ACB=\frac{3}{4}$ .

$\angle BAC=\angle CAD=\angle BCA= \varphi$ - так как опираются на равные хорды.

Так как ABCD - равнобедренная трапеция, $\angle CDA=2\cdot \angle BCA =2\varphi;$

$sin\angle CDA=sin 2\varphi =2sin\varphi cos\varphi.$

По теореме синусов из треугольника CDA:

$\displaystyle \frac{AC}{sin\angle CDA}=\frac{CD}{sin\angle CAD};$

$\displaystyle \frac{AC}{2sin\varphi cos\varphi }=\frac{CD}{sin\varphi};$

$AC=CD\cdot 2cos\varphi =24 cos\varphi.$

По теореме косинусов из △ACD:

$CD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cdot cos \angle ACD;$

$12^2=(24cos\varphi )^2+AD^2-2\cdot 24\cdot AD \cdot cos^2 \varphi.$

$sin \varphi =\displaystyle \frac{3}{4} = >$

$cos^2 \varphi =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}.$

Обозначим $AD=x.$

$12^2=24^2\cdot \frac{7}{16}+x^2-2\cdot 24 \cdot x \cdot \frac{7}{16};$

$x^2-21x+108=0;$

x=12 или х =9.
Если х=12, то ABCD - квадрат (ромб, вписанный в окружность). Тогда условие R=8 не выполняется.

Ответ: AD=9.

Это полезно