Условие задачи
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений
\(\left\{\begin{matrix}
ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\
x^2+y=xy+x\end{matrix}\right.\)
имеет ровно четыре различных решения.
Решение
\(\left\{\begin{matrix}
ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\
x^2+y=xy+x.\end{matrix}\right.\)
Упростим второе уравнение системы:
\(x^2+y=xy+x < = > x(x-y)=x-y < = > \left[
\begin{gathered}
x=1; \\
x=y. \\
\end{gathered}
\right.\)
Исходная система равносильна совокупности двух систем:
\(\left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
x=1\\
a+ay^2-2a+5+2ay+1=0\\
\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x=y\\
2ay^2-(2a-5)y+2ay+1=0\\
\end{matrix}\right. \\
\end{gathered}
\right. < = >\)
\(< = >\left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
x=1\\
ay^2+2ay+6-a=0\\
\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x=y\\
2ay^2+5y+1=0\\
\end{matrix}\right. \\
\end{gathered}
\right. .\)
Исходная система имеет ровно 4 решения, если каждое из квадратных уравнений имеет ровно 2 различных решения и соответствующие им значения \(x\) не совпадают между собой.
Это значит, должны выполняться условия:
1) \(a\neq 0\), т.к. при а=0 оба квадратных уравнения превращаются в линейные;
2) \(\left\{\begin{matrix}
D_1>0\\
D_2>0
\end{matrix}\right.;~
\left\{\begin{matrix}
4a^2-4a(6-a)>0\\
25-8a>0
\end{matrix}\right.< = >\)
\(< = > \left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
a<0; \\
a>3; \\
\end{gathered}
\right.\\
a<\frac{25}{8}.
\end{matrix}\right.\)
\(y\neq 1\), поскольку если \(y=1\) система имеет единственное решение (1;1). Подставив \(y=1\) в любое из квадратных уравнений, найдем, что это происходит при \(2a+6=0,\) т.е.
\(a = - 3\).
Объединим все условия.
Ответ: \(a\in (-\infty ;-3)\cup (-3;0)\cup (3;\frac{25}{8}). \)
