Условие задачи
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\left\{\begin{matrix} ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x^2+y=xy+x\end{matrix}\right.\)
имеет ровно четыре различных решения.
Решение
\(\left\{\begin{matrix} ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x^2+y=xy+x.\end{matrix}\right.\)
Упростим второе уравнение системы:
\(x^2+y=xy+x \Leftrightarrow x(x-y)=x-y \Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
x=1, \\
x=y. \\
\end{gathered}
\right.\)
Исходная система равносильна совокупности двух систем:
\(\left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
x=1,\\a+ay^2-2a+5+2ay+1=0,\\ \end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix} x=y,\\ 2ay^2-(2a-5)y+2ay+1=0;\\ \end{matrix}\right. \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow\left[
\begin{gathered}
\left\{\begin{matrix}
x=1,\\ ay^2+2ay+6-a=0,\\ \end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix} x=y,\\ 2ay^2+5y+1=0.\\ \end{matrix}\right. \\
\end{gathered} \right. \)
Исходная система имеет ровно 4 решения, если каждое из квадратных уравнений имеет ровно 2 различных решения и соответствующие им значения \(x\) не совпадают между собой.
Это значит, должны выполняться условия:
1) \(a\neq 0\), т. к. при \(a=0\) оба квадратных уравнения превращаются в линейные;
2) \(\left\{\begin{matrix}
D_1>0,\\
D_2>0;
\end{matrix}\right. \;
\left\{\begin{matrix}
4a^2-4a(6-a)>0,\\
25-8a>0; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left[
\begin{gathered}
a<0, \\ a>3, \\
\end{gathered}
\right.\\
a<\displaystyle \frac{25}{8}.
\end{matrix}\right.\)
\(y\neq 1\), поскольку если \(y=1\) система имеет единственное решение \((1;1).\)
Подставив \(y=1\) в любое из квадратных уравнений, найдем, что это происходит при \(2a+6=0,\) т. е. \(a = - 3.\)
Объединим все условия.
Ответ: \(a\in (-\infty ;-3)\cup (-3;0)\cup \left (3;\displaystyle \frac{25}{8}\right ). \)
