Решение задачи №18 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\left\{\begin{matrix}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x^2+y=xy+x\end{matrix}\right.$

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

$\left\{\begin{matrix}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0,\\ x^2+y=xy+x.\end{matrix}\right.$

Упростим второе уравнение системы:

$x^2+y=xy+x < = > x(x-y)=x-y < = > \left[ \begin{gathered} x=1; \\ x=y. \\ \end{gathered} \right.$

Исходная система равносильна совокупности двух систем:

$\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x=1\\a+ay^2-2a+5+2ay+1=0\\ \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix}x=y\\2ay^2-(2a-5)y+2ay+1=0\\ \end{matrix}\right. \\ \end{gathered} \right. < = >$

$< = >\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{matrix}x=1\\ay^2+2ay+6-a=0\\ \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix}x=y\\2ay^2+5y+1=0\\ \end{matrix}\right. \\ \end{gathered} \right. .$

Исходная система имеет ровно 4 решения, если каждое из квадратных уравнений имеет ровно 2 различных решения и соответствующие им значения $x$ не совпадают между собой.

Это значит, должны выполняться условия:

1) $a\neq 0$ , т.к. при а=0 оба квадратных уравнения превращаются в линейные;

2) $\left\{\begin{matrix}D_1>0\\ D_2>0\end{matrix}\right.;~\left\{\begin{matrix}4a^2-4a(6-a)>0\\ 25-8a>0\end{matrix}\right.< = >$

$< = > \left\{\begin{matrix}\left[ \begin{gathered} a<0; \\ a>3; \\ \end{gathered} \right.\\ a<\frac{25}{8}.\end{matrix}\right.$

$y\neq 1$ , поскольку если $y=1$ система имеет единственное решение (1;1). Подставив $y=1$ в любое из квадратных уравнений, найдем, что это происходит при $2a+6=0,$ т.е.
$a = - 3$ .

Объединим все условия.

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup (-3;0)\cup (3;\frac{25}{8}).$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение задачи №18 с настоящего ЕГЭ 2018» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Решение задачи №18 с настоящего ЕГЭ 2018

Это полезно