Условие задачи
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть \(B\) — шестое по величине число, а \(S\) — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения \(S-B.\)
Решение
а) Пусть на доске написаны числа \(x_1, ~ x_2...x_{11},\) причём \(x_{1}< x_{2}< ... < x_{11}.\)
По условию, среднее арифметическое шести наименьших чисел равно 5.
Значит, \(Z_6=x_1+x_2+...+x_6=30.\)
Предположим, что \(x_1=3.\)
Поскольку числа различны, \(Z_6\geq 3+4+5+6+7+8; \ Z_6\geq 33. \)
Мы получили противоречие, и \(x_1\) не может быть равно 3.
б) Поскольку среднее арифметическое шести наибольших чисел равно 15, их сумма равна 90. Имеем:
\(x_1+x_2+...+x_6=30;\)
\(x_6+x_7+...+x_{11}=90.\)
Сложив эти равенства, получим, что \((x_1+x_2+...+x_{11})+x_6=120.\)
Обозначим \(x_1+x_2+...+x_{11} =Z_{11}.\)
Если среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9, то \(Z_{11}=99,\) и тогда \(x_6=120-99=21.\)
Значит, \(x_6+x_7+x_8+...+x_{11} \geq 21+22+...+26;\)
\(x_6+x_7+x_8+...+x_{11} \geq \frac {21+26}{2}\cdot 6\) (по формуле суммы арифметической прогрессии), \(x_6+x_7+x_8+...+x_{11} \geq 141.\)
По условию, \(x_6+x_7+x_8+...+x_{11} =90. \)
Мы снова получили противоречие, и среднее арифметическое всех 11 чисел не может быть равно 9.
в) Пусть \(x_6=B, ~ \frac{x_1+x_2+...+x_{11}}{11}=S.\)
Найдем наибольшее значение выражения S-B.
По условию,
\(x_1+x_2+...+x_5+B=30;\)
\(B+x_7+...+x_{11}=90;\)
\(x_1+x_2+...+x_{11}=11S\).
Отсюда \(S-B=\frac{120-12B}{11}.\)
В самом начале решения задачи мы записали, что \(x_1<x_2<x_3<...<x_{11}.\)
Перейдем от строгих неравенств к нестрогим (это один из приёмов, помогающих в решении задачи 19).
\(B>x_5 => B \geq x_5+1,\)
\(x_5 \geq x_4+1,\) тогда \( B \geq x_5+1\geq x_4+2.\)
Получим:
\(x_5\leq B-1;\)
\(x_4\leq B-2;\)
\(x_3\leq B-3;\)
\(x_2\leq B-4;\)
\(x_1\leq B-5;\)
тогда \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\leq 5B-15;\)
\(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+B \leq 6B-15;\)
\(6B-15 \geq 30;\)
\(6B \geq 45;\)
\(B \geq \frac{15}{2}.\)
Поскольку В - целое, \(B \geq 8.\) Это оценка.
Приведём пример для B=8, написав на доске числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40. Все условия выполнены.
