Условие задачи
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S – B.
Решение
а) Пусть на доске написаны числа \(x_1, ~ x_2...x_{11},\) причём \(x_1< x_2<...
\(x_5 \geq x_4+1,\) тогда \( B \geq x_5+1\geq x_4+2.\)
Получим:
\(x_5\leq B-1;\)
\(x_4\leq B-2;\)
\(x_3\leq B-3;\)
\(x_2\leq B-4;\)
\(x_1\leq B-5;\)
тогда \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\leq 5B-15;\)
\(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+B \leq 6B-15;\)
\(6B-15 \geq 30;\)
\(6B \geq 45;\)
\(B \geq \frac{15}{2}.\)
Поскольку В - целое, \(B \geq 8.\) Это оценка.
Приведём пример для B=8, написав на доске числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40. Все условия выполнены.
