Условие задачи
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S – B.
Решение
а) Пусть на доске написаны числа причём
По условию, среднее арифметическое шести наименьших чисел равно 5.
Значит,
Предположим, что
Поскольку числа различны,
Мы получили противоречие, и не может быть равно 3.
б) Поскольку среднее арифметическое шести наибольших чисел равно 15, их сумма равна 90. Имеем:
Сложив эти равенства, получим, что
Обозначим
Если среднее арифметическое всех 11 чисел равно 9, то и тогда
Значит,
(по формуле суммы арифметической прогрессии),
По условию,
Мы снова получили противоречие, и среднее арифметическое всех 11 чисел не может быть равно 9.
в) Пусть
Найдем наибольшее значение выражения S-B.
По условию,
.
Отсюда
В самом начале решения задачи мы записали, что
Перейдем от строгих неравенств к нестрогим (это один из приёмов, помогающих в решении задачи 19).
тогда
Получим:
тогда
Поскольку В - целое, Это оценка.
Приведём пример для B=8, написав на доске числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40. Все условия выполнены.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение задачи №19 с настоящего ЕГЭ 2018» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 05.09.2023