Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=Ry8KbpFfXmk\&t=12615s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова
К окружности радиуса 1,2, вписанной в треугольник АВC, проведены касательные, причем длины отрезков ND = 1,5; EF = 2,5; МК = 1.
Найдите площадь шестиугольника NDEFKM.
Решение:
Пусть L, P и S — точки касания вписанной окружности со сторонами АC, ВC и AB, Т — точка касания с отрезком ND.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
NL = NT, DT = DP, значит, ND = NL + DP, и длина ломаной линии LNDP в два раза больше, чем ND.
Аналогично, длина ломаной LMKS равна 2MK, длина ломаной SFEP равна 2FЕ.
Значит, периметр шестиугольника
Легко доказать, что площадь описанного многоугольника находится как S = pr, где р — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
Площадь шестиугольника NDEFKM равна
Ответ: 6
2. Анна Малкова
В основании прямой треугольной призмы лежит треугольник со сторонами AB = 13, BC = 14, AC = 15, боковое ребро призмы равно 12. Найдите объем треугольной пирамиды
Решение:
Треугольная пирамида получится, если от призмы отрезать пирамиды
(внизу) и
(вверху). Объем каждой из пирамид
и
равен
то есть
объема призмы.
Тогда
(по формуле Герона),
— полупериметр основания,
Ответ: 336
3. Анна Малкова
Учебный курс по английскому языку включает 6 видеоуроков, причем переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих. Известно, что через месяц после старта курса первый урок посмотрели 100% обучающихся на курсе, второй — 64%, а каждый следующий — в 2 раза меньше учащихся, чем предыдущий. Найдите вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Решение: Вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки, равна вероятности того, что он посмотрел шестой видеоурок (так как переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих). Вероятность посмотреть третий урок равна 64 : 2 = 32%, четвертый — 16%, пятый 8%, шестой 4%.
Ответ: 0,04
4. Татьяна Сиротина
Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».
С какой вероятностью письмо, попавшее в папку «Входящие», не является спамом? Результат округлите до сотых.
* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.
Решение:
Письмо может оказаться в папке «Входящие» в двух случаях:
если это — не спам и почтовая программа это распознала
это спам, и почтовая программа его пропустила.
Вероятности этих событий равны соответственно
и
Применим формулу полной вероятности. Получим: — вероятность того, что письмо попало во «Входящие»,
Обозначим за х вероятность того, что письмо, оказавшееся в папке «Входящие», не является спамом.
Тогда вероятность того, что письмо попало в папку «Входящие» и не является спамом, равна 0,285 х.
С другой стороны, эта вероятность равна
Получим: отсюда
Ответ: 0,87
5. Татьяна Сиротина
Решите уравнение:
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.
Решение:
Ответ: 1.
6. Ольга Чемезова
Найдите значение выражения:
Решение:
Ответ: 5
7. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции
в точке
Решение:
Производная функции в точке
равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции
в этой точке.
- касательная к
В точке производная отрицательная,
т.к. функция
— убывает в этой точке.
— угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.
Угол — тупой, а смежный с ним угол
— острый.
Ответ: -0,375
8. ФИПИ
При температуре рельс имеет длину
м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону
где
— коэффициент теплового расширения,
— температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение:
м;
;
мм
м
Ответ: 25
9. Александра Антонова
Студент Василий и его друг Иван хотят создать совместный бизнес. Если Иван в качестве стартового капитала вложит в бизнес 40% имеющихся у него денег, а Василий — 45% своих денег, то общая сумма составит 43 тыс. рублей. Если же Иван внесет 45% имеющихся у него денег, а Василий — 40% своих денег, то общая сумма составит 42 тыс. рублей. Найдите, какой суммой денег располагает Василий. Ответ выразите в рублях.
Решение:
Пусть х тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Ивана, у тысяч рублей — сумма денег, которой располагал Василий. Составим систему уравнений:
Умножим оба уравнения на 100.
Вычтем из первого уравнения второе: отсюда
Подставив в первое уравнение, получим:
тысяч рублей. Отсюда
тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Василия.
Как же эта задача связана с темой «Растворы, смеси и сплавы»? - Здесь, конечно, не смешивают жидкости, не сплавляют металлы, но математическая модель, согласитесь, очень похожа. Стартовый капитал (как сплав) будет состоять из денег Ивана и денег Василия, взятых в некотором соотношении.
Ответ: 60000
10. На рисунке изображен график функции
Найдите у(19).
Решение: Найдем значения параметров и
в формуле функции
Это сложная функция.
Ее формулу можно записать в виде
График функции получен с помощью элементарных преобразований из графика функции в следующем порядке
Сдвиг на вправо;
Зеркальное отражение графика относительно оси
Растяжение по вертикальной оси в 2 раза.
Сравнив вид функции на рисунке с графиком функции находим, что
График проходит через точку Подставив координаты этой точки в формулу функции, получаем:
Формула функции: тогда
Ответ: 8
11. ФИПИ
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Покажем короткий способ решения задачи.
Число е — иррациональное. А ответ в заданиях Части 1 ЕГЭ — это целое число или конечная десятичная дробь.
Выражение может принимать рациональное значение, если показатель равен нулю, то есть
Конечно, это читерство. Но оно помогает сэкономить время на экзамене.
Покажем второй способ. По формуле производной произведения,
Выражение положительно при любом х,
Найдем знаки производной на отрезке [-29; -27].
При х = -28 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «минус». Это точка максимума. Наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в этой точке.
Ответ: 4
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Александра Антонова
а) Решите уравнение
б) Найдите все его решения на отрезке [0; 3].
Решение:
Решим второе уравнение совокупности. Разделим обе его части на Мы можем это сделать, так как если
то и
а таких углов не может быть.
Получим:
Отсюда:
Получим:
б) Найдем решения, принадлежащие отрезку с помощью единичной окружности. Для этого отметим данный отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.
Данному отрезку принадлежат точки:
Ответ: а) б)
13. Анна Малкова
В трапеции ABCD с большим основанием АD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. В четырехугольной пирамиде SABCD все боковые грани наклонены к плоскости АВC под углом 45 градусов.
а) Докажите, что вершина S равноудалена от прямых АВ, ВC и CD.
б) Найдите объем пирамиды SABCD, если CD = 18, а расстояние от S до CD равно 6√2.
Решение:
а) Боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, значит, вершина S проецируется в точку O — центр вписанной окружности основания.
OH; OE; OF — радиусы окружности,
по теореме о трех перпендикулярах;
— расстояние от т.
до
по катету и острому углу
б)
Тогда
так как трапеция
описана вокруг окружности,
Ответ: 360
14. ФИПИ
Решите неравенство
Решение:
Преобразуем неравенство:
Область определения неравенства задается условием Найдем нули множителей:
Применим метод интервалов, получим ответ: или
Ответ:
15. Александра Антонова
У столяра Джузеппе есть 185 поленьев. Из 7 поленьев он может сделать табурет, из 10 поленьев — стол, а из 20 поленьев — сундук. На рынке табурет можно продать за 8 монет, стол за 12 монет, а сундук за 25 монет. Джузеппе покупает поленья у лесорубов, а стоимость собственного труда не учитывает. Какое наибольшее количество монет может выручить Джузеппе при условии, что вся его продукция находит спрос?
Решение
Запишем данные задачи в таблицу:
Продукция | Сколько штук | Цена | Расход поленьев | Получено денег за каждое потраченное полено |
Табуреты | x | 8 | 7 | |
Столы | y | 12 | 10 | |
Сундуки | z | 25 | 20 |
Делая сундуки, Джузеппе может получить больше денег за каждое потраченное полено. Этот вид продукции оказывается наиболее выгодным, поэтому для максимизации выручки Джузеппе должен сделать как можно больше сундуков.
185 : 20=9,25; Джузеппе может сделать не менее 9 сундуков.
Если он сделает 9 сундуков, остается 185-180=5 поленьев, из которых ничего нельзя сделать. В этом случае Джузеппе выручит монет.
Если Джузеппе сделает 8 сундуков и получит за них 200 монет, остается 185-160=25 поленьев. Вот варианты того, что из них можно сделать:
1 столик и 1 табурет (20 монет);
или 2 стол (24 монеты);
или 3 табуретки (24 монеты);
или 1 стол и 2 табурета (28 монет);
Наиболее выгоден последний случай. Поэтому 28+200=228 монет, и это больше, чем если Джузеппе изготовит 9 сундуков.
Дальнейшее уменьшение числа сундуков невыгодно для Джузеппе.
Заметим, что именно Джузеппе был столяром, которому однажды попалось говорящее полено. А Папа Карло был шарманщиком.
Ответ: 228
16. Анна Малкова
Биссектриса АМ, высота BH и медиана СN остроугольного треугольника АВC пересекаются в одной точке, HC = 2АH,
а) Докажите, что CМ 2 BМ.
б) Найдите BМ, если АB = 10.
Решение:
а) Пусть
тогда из
по свойству биссектрисы треугольника,
б)
по теореме косинусов из
Ответ:
17. При каких значениях параметра р система уравнений
имеет ровно 4 решения?
Решение:
Умножим обе части первых двух уравнений на 3. Применим формулу:
Получим:
Сделав замену получим:
Решим систему из двух первых уравнений с двумя переменными
Сложим уравнения:
Подставим во второе уравнение:
Подставим в третье уравнение, получим:
Ответ:
18. ФИПИ
На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 4, 5, 6, 7 и 8 (45678, 45687 и т. д.).
а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?
б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?
в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.
Решение:
В каждом из чисел на доске по одному разу встречаются цифры: 4; 5; 6; 7; 8.
а) Предположим, что
Так как следовательно,
- т.е. оканчивается на 5.
Также значит, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных позициях числа А, равны, или их разность кратна 11.
Да, может такое быть может. Вот пример:
Есть и другие примеры:
б) Предположим, что
Если то
- т.е. оканчивается на 5.
Запишем число А в виде
А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5.
Также
А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5 = 100 (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5 =
=101 (100 а + 10 b + c) - (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5. Очевидно, 101 (100 а + 10 b + c) делится на 101.
Значит, 10 d + 5- (100 а + 10 b + c) делится на 101.
Тогда и число 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) делится на 101, причем это число — положительное и трехзначное. 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) = 101 k.
В числе 101 последняя цифра 1. Число 101k оканчивается на k, где k принимает значения от 1 до 9.
Цифры a, b, c, d выбираем из 4, 6, 7 и 8.
с = 4, 6, 7 или 8.
Тогда k = 9, 1, 2 или 3.
Если k = 9, то а = 9, противоречие с условием.
Если то
тоже противоречие. Значит, число А не может делиться на 505.
в) Пусть
Число A = делится на 11, если второе слагаемое делится на 11, т.е.
Мы знаем также, что а, b, с, d и f — это 4, 5, 6, 7, 8, их сумма равна 30.
Значит,
Поскольку принимает значения от 9 до 15, получаем, что
делится на 11, только если
другие случаи не подходят. Значит,
и
— это 7 и 8, остальные цифры — это 4, 5, 6.
Среди чисел такого вида наибольшим является 68574.
Ответ: 68574
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «ЕГЭ-2022 Вариант 5, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 23.09.2023