ЕГЭ-2022 Вариант 5, решения

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=Ry8KbpFfXmk\&t=12615s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Анна Малкова

К окружности радиуса 1,2, вписанной в треугольник АВC, проведены касательные, причем длины отрезков ND = 1,5; EF = 2,5; МК = 1.

Найдите площадь шестиугольника NDEFKM.

Решение:

Пусть L, P и S — точки касания вписанной окружности со сторонами АC, ВC и AB, Т — точка касания с отрезком ND.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

NL = NT, DT = DP, значит, ND = NL + DP, и длина ломаной линии LNDP в два раза больше, чем ND.

Аналогично, длина ломаной LMKS равна 2MK, длина ломаной SFEP равна 2FЕ.

Значит, периметр шестиугольника $P=2\cdot (ND+EF+MK)=10.$

Легко доказать, что площадь описанного многоугольника находится как S = pr, где р — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Площадь шестиугольника NDEFKM равна $5\cdot 1,2=6.$

Ответ: 6

2. Анна Малкова

В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник со сторонами AB = 13, BC = 14, AC = 15, боковое ребро призмы равно 12. Найдите объем треугольной пирамиды $A_1BCB_1.$

Решение:

Треугольная пирамида $A_1BCB_1$ получится, если от призмы отрезать пирамиды $A_1ABC$ (внизу) и $A_1B_1C_1C$ (вверху). Объем каждой из пирамид $A_1ABC$ и $A_1B_1C_1C$ равен то есть $\displaystyle \frac{1}{3}$ объема призмы.

Тогда

(по формуле Герона),

$\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр основания,

$S_{ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=$

$=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84,$

$\displaystyle V_{A_1BCB_1}=\frac{1}{3}\cdot 84\cdot 12=84\cdot 4=336.$

Ответ: 336

3. Анна Малкова

Учебный курс по английскому языку включает 6 видеоуроков, причем переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих. Известно, что через месяц после старта курса первый урок посмотрели 100% обучающихся на курсе, второй — 64%, а каждый следующий — в 2 раза меньше учащихся, чем предыдущий. Найдите вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Решение: Вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки, равна вероятности того, что он посмотрел шестой видеоурок (так как переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих). Вероятность посмотреть третий урок равна 64 : 2 = 32%, четвертый — 16%, пятый 8%, шестой 4%.

Ответ: 0,04

4. Татьяна Сиротина

Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».

С какой вероятностью письмо, попавшее в папку «Входящие», не является спамом? Результат округлите до сотых.

* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.

Решение:

Письмо может оказаться в папке «Входящие» в двух случаях:

если это — не спам и почтовая программа это распознала

это спам, и почтовая программа его пропустила.

Вероятности этих событий равны соответственно

$0,25\cdot 0,99\$ и $0,75\cdot 0,05.$

Применим формулу полной вероятности. Получим: $P=0,25\cdot 0,99\ + 0,75\cdot 0,05\ = 0,25\cdot (\ 0,99+3\cdot 0,05)=0,285$ — вероятность того, что письмо попало во «Входящие»,

Обозначим за х вероятность того, что письмо, оказавшееся в папке «Входящие», не является спамом.

Тогда вероятность того, что письмо попало в папку «Входящие» и не является спамом, равна 0,285 х.

С другой стороны, эта вероятность равна $0,25\cdot 0,99.$

Получим: $0,25\cdot 0,99=\ 0,25\cdot 1,14x;$ отсюда $\displaystyle x=\frac{99}{114}=\frac{33}{38}\approx 0,87.\$

Ответ: 0,87

5. Татьяна Сиротина

Решите уравнение:

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.

$9^x+9=2\cdot 3^{x+1}$

Решение:

${\left(3^x\right)}^2+9-2\cdot 3^x\cdot 3=0$

${\left(3^x-3\right)}^2=0$

$3^x=3$

$x=1$

Ответ: 1.

6. Ольга Чемезова

Найдите значение выражения:

$\displaystyle {15}^{\frac{1}{{{log}_7 15\ }}}+\left({{log}_4 3\ }+{{log}_4 8\ }\right)\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}\ }$

Решение:

$\displaystyle {15}^{\frac{1}{{{log}_7 15\ }}}+\left({{log}_4 3\ }+{{log}_4 8\ }\right)\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}\ }={15}^{{{log}_{15} 7\ }}+{{log}_4 24\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}=\ }\ }$

$\displaystyle = 7+ \frac{log_{24} \frac{1}{16}}{log_{24}4}=7-log_4 \frac{1}{16}=7-2=5$

Ответ: 5

7. На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0.$

Решение:

Производная функции $f\left(x\right)\$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции $f\left(x\right)\$ в этой точке.
$f$

$y=kx+b$ - касательная к $f\left(x\right),$

В точке $x_0$ производная отрицательная, $f$ т.к. функция $f\left(x\right)$ — убывает в этой точке.

$\alpha$ — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол $\alpha$ — тупой, а смежный с ним угол $\varphi$ — острый.

$\displaystyle tg\alpha =-tg\varphi =-\frac{3}{8}=-0,375$

Ответ: -0,375

8. ФИПИ

При температуре $0\ {\rm{}^\circ\!C}$ рельс имеет длину $l_0=10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l\left(t{}^\circ \right)=l_0\left(1+\alpha \cdot t{}^\circ \right),$ где $\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}\ {\left({\rm{}^\circ\!C}\right)}^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t{}^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение:

$l_0=10$ м; $\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}{\left(C{}^\circ \right)}^{-1}$

$l=l_0\left(1+\alpha t{}^\circ \right)$ ; $l=l_0+3$ мм $=10+3\cdot {10}^{-3}$ м

$10+3\cdot {10}^{-3}=10\cdot \left(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t\right),$

$10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t,$

$\displaystyle t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25$

Ответ: 25

9. Александра Антонова

Студент Василий и его друг Иван хотят создать совместный бизнес. Если Иван в качестве стартового капитала вложит в бизнес 40% имеющихся у него денег, а Василий — 45% своих денег, то общая сумма составит 43 тыс. рублей. Если же Иван внесет 45% имеющихся у него денег, а Василий — 40% своих денег, то общая сумма составит 42 тыс. рублей. Найдите, какой суммой денег располагает Василий. Ответ выразите в рублях.

Решение:

Пусть х тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Ивана, у тысяч рублей — сумма денег, которой располагал Василий. Составим систему уравнений:

Умножим оба уравнения на 100.

Вычтем из первого уравнения второе: $5(y-x)=100,$ отсюда $y-x=20,$ $y=x+20.$ Подставив в первое уравнение, получим: $x=\ 40$ тысяч рублей. Отсюда $y=40+20=\ 60$ тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Василия.

Как же эта задача связана с темой «Растворы, смеси и сплавы»? - Здесь, конечно, не смешивают жидкости, не сплавляют металлы, но математическая модель, согласитесь, очень похожа. Стартовый капитал (как сплав) будет состоять из денег Ивана и денег Василия, взятых в некотором соотношении.

Ответ: 60000

10. На рисунке изображен график функции $y={{log}_c \left({\left(x-a\right)}^2\right)\ }$

Найдите у(19).

Решение: Найдем значения параметров $a$ и $c$ в формуле функции $y={{log}_c {\left(x-a\right)}^2\ }.$

Это сложная функция.

Ее формулу $y={{log}_c {\left(x-a\right)}^2\ }$ можно записать в виде $y=2{{log}_c \left|x-a\right|\ }.$

График функции получен с помощью элементарных преобразований из графика функции $y={{log}_c x\ }$ в следующем порядке

Сдвиг на $a\textgreater 0$ вправо;

Зеркальное отражение графика относительно оси $x=a.$

Растяжение по вертикальной оси в 2 раза.

Сравнив вид функции на рисунке с графиком функции $y={{log}_c x\ },\$ находим, что $a=3.$

График проходит через точку $(5;2).$ Подставив координаты этой точки в формулу функции, получаем:

$2{{log}_c \left|5-3\right|\ }=2;$

${{log}_c 2\ }=1;$

$c=2.$

Формула функции: $y={{log}_2 {\left(x-3\right)}^2\ },$ тогда $y\left(19\right)={{log}_2 {16}^2\ }=2\cdot 4=8.$

Ответ: 8

11. ФИПИ

Найдите наибольшее значение функции $y={\left(x+30\right)}^2e^{-28-x}$ на отрезке $[-29;\ -27].$

Покажем короткий способ решения задачи.

Число е — иррациональное. А ответ в заданиях Части 1 ЕГЭ — это целое число или конечная десятичная дробь.

Выражение $e^{-28-x}$ может принимать рациональное значение, если показатель равен нулю, то есть $-28-x=0;\ x=-28.$

$y_{max}=y\left(-28\right)={\left(-28+30\right)}^2\cdot e^0=4.$

Конечно, это читерство. Но оно помогает сэкономить время на экзамене.

Покажем второй способ. По формуле производной произведения,

$y^\prime={\left(u\cdot v\right)}^\prime=u^\prime\cdot v+u\cdot v^\prime.$

$y^\prime=2\left(x+30\right)\cdot e^{-28-x}-{\left(x+30\right)}^2\cdot e^{-28-x}=$

$=2(x+30)(-x-28)\cdot e^{-28-x}.$

Выражение $e^{-28-x}$ положительно при любом х,

Найдем знаки производной на отрезке [-29; -27].

При х = -28 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «минус». Это точка максимума. Наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в этой точке.

$y_{max}=y\left(-28\right)={\left(-28+30\right)}^2\cdot e^0=4.$

Ответ: 4

Часть 2. Задания с развернутым ответом

12. Александра Антонова

а) Решите уравнение ${cos}^2(\pi -\ x)\ +\ sin2x =\ 0$

б) Найдите все его решения на отрезке [0; 3 $\pi$ ].

Решение:

${cos}^2\left(\pi -\ x\right)+\ sin2x =\ 0;\ \ {cos}^2x\ +2\ sinx\cdot cosx =\ 0;$

Решим второе уравнение совокупности. Разделим обе его части на $\ cosx\ne 0.$ Мы можем это сделать, так как если $cosx=0,$ то и $sin x\ =\ 0,$ а таких углов не может быть.

Получим:

$1+\ 2tgx=0.$ Отсюда: $\displaystyle tgx\ =-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \ x=\ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi n,\ n\in Z.$

Получим:

б) Найдем решения, принадлежащие отрезку $[0;3\pi ],$ с помощью единичной окружности. Для этого отметим данный отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Данному отрезку принадлежат точки:

$\displaystyle x_1=\frac{\pi }{2};\ \ \ x_2=\pi -arctg\frac{1}{2};$

$\displaystyle x_3=\frac{3\pi }{2};\ \ x_4=2\pi -arctg\frac{1}{2};$

$\displaystyle x_5=\frac{5\pi }{2};\ \ x_6=3\pi - arctg\frac{1}{2}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z, \ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi n,\ n\in Z$ б) $\displaystyle \ \frac{\pi }{2};\ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi ;\ \frac{3\pi }{2};\ \ -arctg\ \frac{1}{2}+2\pi ;\ \frac{5\pi }{2};\ -arctg\frac{1}{2}\ +3\pi .$

13. Анна Малкова

В трапеции ABCD с большим основанием АD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. В четырехугольной пирамиде SABCD все боковые грани наклонены к плоскости АВC под углом 45 градусов.

а) Докажите, что вершина S равноудалена от прямых АВ, ВC и CD.

б) Найдите объем пирамиды SABCD, если CD = 18, а расстояние от S до CD равно 6√2.

Решение:

а) Боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, значит, вершина S проецируется в точку O — центр вписанной окружности основания.

OH; OE; OF — радиусы окружности, $OH\bot AB,$ $OE\bot BC,$ $OF\bot CD\Rightarrow SH\bot AB,$ $SE\bot BC,$ $SF\bot CD$ по теореме о трех перпендикулярах; $SH,\ SE,\ SF$ — расстояние от т. $S$ до $AB,\ BC,\ CD.$

$\vartriangle SOH=\vartriangle SOE=\vartriangle SOF$ по катету и острому углу $\Rightarrow SH=SE=SF.$

б)

$\displaystyle \vartriangle SOH: \angle SHO=45{}^\circ \Rightarrow SO=OH=r=\frac{SH}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6.$

Тогда $AB=2r=12,$ $CD=18,$ так как трапеция $ABCD$ описана вокруг окружности, $AB+CD=AD+BC=18+12=30;$

$\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)\cdot \ AB=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 12=180;$

$\displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 180\cdot 6=360.$

Ответ: 360

14. ФИПИ

Решите неравенство

$\left(5\cdot {0,2}^{x+0,5}-0,2\cdot 5^{x+0,5}\right)\left({{log}^2_{0,2} \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0.$

Решение:

Преобразуем неравенство:

$\left(5\cdot {0,2}^{x+0,5}-0,2\cdot 5^{x+0,5}\right)\left({{log}^2_{0,2} \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0\Leftrightarrow \left(5^{1-x}-5^x\right)\left({{log}^2_5 \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0.$

Область определения неравенства задается условием $\displaystyle x\textgreater -\frac{1}{2}.$ Найдем нули множителей:

$\displaystyle 5^{1-x}=5^x\Leftrightarrow 1-x=x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$

Применим метод интервалов, получим ответ: $\displaystyle -\frac{1}{2}\textless x\textless \frac{1}{2}$ или $\displaystyle \frac{1}{2}\textless x\textless \frac{49}{2}.$

Ответ: $\displaystyle \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{49}{2}\right).$

15. Александра Антонова

У столяра Джузеппе есть 185 поленьев. Из 7 поленьев он может сделать табурет, из 10 поленьев — стол, а из 20 поленьев — сундук. На рынке табурет можно продать за 8 монет, стол за 12 монет, а сундук за 25 монет. Джузеппе покупает поленья у лесорубов, а стоимость собственного труда не учитывает. Какое наибольшее количество монет может выручить Джузеппе при условии, что вся его продукция находит спрос?

Решение

Запишем данные задачи в таблицу:

Продукция	Сколько штук	Цена	Расход поленьев	Получено денег за каждое потраченное полено
Табуреты	x	8	7	$1\frac{1}{7}$
Столы	y	12	10	$1\frac{1}{5}$
Сундуки	z	25	20	$1\frac{1}{4}$

Делая сундуки, Джузеппе может получить больше денег за каждое потраченное полено. Этот вид продукции оказывается наиболее выгодным, поэтому для максимизации выручки Джузеппе должен сделать как можно больше сундуков.

185 : 20=9,25; Джузеппе может сделать не менее 9 сундуков.

Если он сделает 9 сундуков, остается 185-180=5 поленьев, из которых ничего нельзя сделать. В этом случае Джузеппе выручит $9\cdot 25=225$ монет.

Если Джузеппе сделает 8 сундуков и получит за них 200 монет, остается 185-160=25 поленьев. Вот варианты того, что из них можно сделать:

1 столик и 1 табурет (20 монет);

или 2 стол (24 монеты);

или 3 табуретки (24 монеты);

или 1 стол и 2 табурета (28 монет);

Наиболее выгоден последний случай. Поэтому 28+200=228 монет, и это больше, чем если Джузеппе изготовит 9 сундуков.

Дальнейшее уменьшение числа сундуков невыгодно для Джузеппе.

Заметим, что именно Джузеппе был столяром, которому однажды попалось говорящее полено. А Папа Карло был шарманщиком.

Ответ: 228

16. Анна Малкова

Биссектриса АМ, высота BH и медиана СN остроугольного треугольника АВC пересекаются в одной точке, HC = 2АH, $\displaystyle {sin \angle BAM\ }=\frac{1}{\surd 5}.$

а) Докажите, что CМ $\textless$ 2 BМ.

б) Найдите BМ, если АB = 10.

Решение:

$O=AM\cap BH\cap CN, HC=2AH$

а) Пусть $\angle BAM=\angle CAM=\varphi ,$ $AN=BN=x,$ тогда из $\vartriangle ABH$ $\displaystyle \frac{AH}{AB}={cos 2\varphi };$ $AH=2x{cos 2\varphi , }$ $HC=4x{cos 2\varphi };$ $AC=6x{cos 2\varphi }$ по свойству биссектрисы треугольника, $\displaystyle \frac{CM}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{6x{cos 2\varphi }}{2x}=3{{cos}2 \varphi };$

$\displaystyle {sin \varphi \ }=\frac{1}{\sqrt{5}}, {{cos}2 \varphi =1-2{{sin}^2 \varphi =1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5};\ }\ }$

$\displaystyle \frac{CM}{BM}=3\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{5}\textless 2.$

б) $\displaystyle BM=\frac{5}{14}BC;$ $AB=10,$ $x=5,$ $\displaystyle AC=6\cdot 5\cdot {cos 2\varphi \ }=6\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=18;$ по теореме косинусов из $\vartriangle ABC,$ $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot {cos 2\varphi \ }=$

$\displaystyle =100+324-2\cdot 10\cdot 18\cdot \frac{3}{5}=100+324-216=208$

$\displaystyle BC=\sqrt{208}=2\sqrt{52}=4\sqrt{13}, BM=\frac{5}{14}\cdot 4\sqrt{13}=\frac{10\sqrt{13}}{7}.$

Ответ: $\displaystyle \frac{10\sqrt{13}}{7}$

17. При каких значениях параметра р система уравнений

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\sqrt{x^2}-\frac{1}{3} \\\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^2}+\frac{1}{3} \\x^2+y^2=p-9+6y \end{array}\right.$

имеет ровно 4 решения?

Решение:

Умножим обе части первых двух уравнений на 3. Применим формулу:

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|.$

Получим:

$\left\{ \begin{array}{c}2\left|y-3\right|=3\left|x\right|-1 \\3\left|y-3\right|=2\left|x\right|+1 \\x^2+y^2-6y+9=p \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}2\left|y-3\right|-3\left|x\right|=-1 \\3\left|y-3\right|-2\left|x\right|=1 \\x^2+{\left(y-3\right)}^2=p \end{array}\right.\Leftrightarrow$

Сделав замену $y-3=t,$ получим:

$\left\{ \begin{array}{c}2\left|t\right|-3\left|x\right|=-1 \\3\left|t\right|-2\left|x\right|=1 \\x^2+t^2=p \end{array}\right.$

Решим систему из двух первых уравнений с двумя переменными

$\left\{ \begin{array}{c}2\left|t\right|-3\left|x\right|=-1 \\3\left|t\right|-2\left|x\right|=1 \end{array}\right.,$

Подставим в третье уравнение, получим: $p=2$

Ответ: $p=2$

18. ФИПИ

На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 4, 5, 6, 7 и 8 (45678, 45687 и т. д.).

а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?

б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?

в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.

Решение:

В каждом из чисел на доске по одному разу встречаются цифры: 4; 5; 6; 7; 8.

а) Предположим, что $A\vdots 55,$ $55=5\cdot 11.$

Так как $A\vdots 55,$ следовательно, $A\vdots 5$ - т.е. оканчивается на 5.

Также $A\vdots 11,$ значит, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных позициях числа А, равны, или их разность кратна 11.

Да, может такое быть может. Вот пример:

$47685\div 55=867$

Есть и другие примеры:

$67485\div 55=1227$

$48675\div 55=885$

$68475\div 55=1245$

б) Предположим, что $A\vdots 505;\ \ \ \ \ \ \ 505=5\cdot 101.$

Если $A\vdots 505,$ то $A\vdots 5$ - т.е. оканчивается на 5.

Запишем число А в виде $\overline{abcd5}.$

А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5.

Также $A\vdots 101.$

А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5 = 100 (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5 =

=101 (100 а + 10 b + c) - (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5. Очевидно, 101 (100 а + 10 b + c) делится на 101.

Значит, 10 d + 5- (100 а + 10 b + c) делится на 101.

Тогда и число 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) делится на 101, причем это число — положительное и трехзначное. 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) = 101 k.

В числе 101 последняя цифра 1. Число 101k оканчивается на k, где k принимает значения от 1 до 9.

Цифры a, b, c, d выбираем из 4, 6, 7 и 8.

с = 4, 6, 7 или 8.

Тогда k = 9, 1, 2 или 3.

Если k = 9, то а = 9, противоречие с условием.

Если $k\le 3,$ то $a\le 3.$ тоже противоречие. Значит, число А не может делиться на 505.

в) Пусть $\overline{abcdf}=a\cdot {10}^4+b\cdot {10}^3+c\cdot {10}^2+d\cdot 10+f=$

$=\left(9999a+1001b+99c+11d\right)+a-b+c-d+f=$

$=11\cdot \left(909a+91b+9c+d\right)+\left(a-b+c-d+f\right).$

Число A = $\overline{abcdf}$ делится на 11, если второе слагаемое делится на 11, т.е.

$\left(a-b+c-d+f\right)\vdots 11.\$

Мы знаем также, что а, b, с, d и f — это 4, 5, 6, 7, 8, их сумма равна 30.

Значит, $a+b+c+d+f=30,$

$a-b+c-d+f=30-2\left(b+d\right).$

Поскольку $b+d$ принимает значения от 9 до 15, получаем, что

$a-b+c-d+f$ делится на 11, только если $b+d=15,\$ другие случаи не подходят. Значит, $b$ и $d$ — это 7 и 8, остальные цифры — это 4, 5, 6.

Среди чисел такого вида наибольшим является 68574.

Ответ: 68574

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «ЕГЭ-2022 Вариант 5, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 23.09.2023

ЕГЭ-2022 Вариант 5, решения

Это полезно