Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=Ry8KbpFfXmk\&t=12615s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова
К окружности радиуса 1,2, вписанной в треугольник АВC, проведены касательные, причем длины отрезков ND = 1,5; EF = 2,5; МК = 1.
Найдите площадь шестиугольника NDEFKM.
Решение:
Пусть L, P и S — точки касания вписанной окружности со сторонами АC, ВC и AB, Т — точка касания с отрезком ND.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
NL = NT, DT = DP, значит, ND = NL + DP, и длина ломаной линии LNDP в два раза больше, чем ND.
Аналогично, длина ломаной LMKS равна 2MK, длина ломаной SFEP равна 2FЕ.
Значит, периметр шестиугольника \(P=2\cdot (ND+EF+MK)=10.\)
Легко доказать, что площадь описанного многоугольника находится как S = pr, где р — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
Площадь шестиугольника NDEFKM равна \(5\cdot 1,2=6.\)
Ответ: 6
2. Анна Малкова
В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит треугольник со сторонами AB = 13, BC = 14, AC = 15, боковое ребро призмы равно 12. Найдите объем треугольной пирамиды \(A_1BCB_1.\)
Решение:
Треугольная пирамида \(A_1BCB_1\) получится, если от призмы отрезать пирамиды \(A_1ABC\) (внизу) и \(A_1B_1C_1C\) (вверху). Объем каждой из пирамид \(A_1ABC\) и \(A_1B_1C_1C\) равен 
то есть \(\displaystyle \frac{1}{3}\) объема призмы.
Тогда
(по формуле Герона),
\(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр основания,
\(S_{ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=\)
\(=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84,\)
\(\displaystyle V_{A_1BCB_1}=\frac{1}{3}\cdot 84\cdot 12=84\cdot 4=336.\)
Ответ: 336
3. Анна Малкова
Учебный курс по английскому языку включает 6 видеоуроков, причем переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих. Известно, что через месяц после старта курса первый урок посмотрели 100% обучающихся на курсе, второй — 64%, а каждый следующий — в 2 раза меньше учащихся, чем предыдущий. Найдите вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Решение: Вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки, равна вероятности того, что он посмотрел шестой видеоурок (так как переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих). Вероятность посмотреть третий урок равна 64 : 2 = 32%, четвертый — 16%, пятый 8%, шестой 4%.
Ответ: 0,04
4. Татьяна Сиротина
Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».
С какой вероятностью письмо, попавшее в папку «Входящие», не является спамом? Результат округлите до сотых.
* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.
Решение:
Письмо может оказаться в папке «Входящие» в двух случаях:
если это — не спам и почтовая программа это распознала
это спам, и почтовая программа его пропустила.
Вероятности этих событий равны соответственно
\(0,25\cdot 0,99\ \) и \(0,75\cdot 0,05.\)
Применим формулу полной вероятности. Получим: \(P=0,25\cdot 0,99\ + 0,75\cdot 0,05\ = 0,25\cdot (\ 0,99+3\cdot 0,05)=0,285\) — вероятность того, что письмо попало во «Входящие»,
Обозначим за х вероятность того, что письмо, оказавшееся в папке «Входящие», не является спамом.
Тогда вероятность того, что письмо попало в папку «Входящие» и не является спамом, равна 0,285 х.
С другой стороны, эта вероятность равна \(0,25\cdot 0,99.\)
Получим: \(0,25\cdot 0,99=\ 0,25\cdot 1,14x;\) отсюда \(\displaystyle x=\frac{99}{114}=\frac{33}{38}\approx 0,87.\ \)
Ответ: 0,87
5. Татьяна Сиротина
Решите уравнение:
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.
\(9^x+9=2\cdot 3^{x+1}\)
Решение:
\({\left(3^x\right)}^2+9-2\cdot 3^x\cdot 3=0\)
\({\left(3^x-3\right)}^2=0\)
\(3^x=3\)
\(x=1\)
Ответ: 1.
6. Ольга Чемезова
Найдите значение выражения:
\(\displaystyle {15}^{\frac{1}{{{log}_7 15\ }}}+\left({{log}_4 3\ }+{{log}_4 8\ }\right)\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}\ }\)
Решение:
\(\displaystyle {15}^{\frac{1}{{{log}_7 15\ }}}+\left({{log}_4 3\ }+{{log}_4 8\ }\right)\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}\ }={15}^{{{log}_{15} 7\ }}+{{log}_4 24\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}=\ }\ }\)
\(\displaystyle = 7+ \frac{log_{24} \frac{1}{16}}{log_{24}4}=7-log_4 \frac{1}{16}=7-2=5\)
Ответ: 5
7. На рисунке изображены график функции \(y = f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0.\) Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0.\)
Решение:
Производная функции \(f\left(x\right)\ \)в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции \(f\left(x\right)\ \)в этой точке.
\(f'\left(x_0\right)=tg\alpha =k.\)
\(y=kx+b\) - касательная к \(f\left(x\right),\)
В точке \(x_0\) производная отрицательная, \(f'\left(x_0\right)\textless 0,\) т.к. функция \(f\left(x\right)\) — убывает в этой точке.
\(\alpha \) — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.
Угол \(\alpha \) — тупой, а смежный с ним угол \(\varphi \) — острый.
\(\displaystyle tg\alpha =-tg\varphi =-\frac{3}{8}=-0,375\)
Ответ: -0,375
8. ФИПИ
При температуре \(0\ {\rm{}^\circ\!C}\) рельс имеет длину \(l_0=10\) м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l\left(t{}^\circ \right)=l_0\left(1+\alpha \cdot t{}^\circ \right),\) где \(\alpha =1,2\cdot {10}^{-5}\ {\left({\rm{}^\circ\!C}\right)}^{-1}\) — коэффициент теплового расширения, \(t{}^\circ \) — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение:
\(l_0=10\) м; \( \alpha =1,2\cdot {10}^{-5}{\left(C{}^\circ \right)}^{-1}\)
\(l=l_0\left(1+\alpha t{}^\circ \right)\) ; \(l=l_0+3\) мм \(=10+3\cdot {10}^{-3}\) м
\(10+3\cdot {10}^{-3}=10\cdot \left(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t\right),\)
\(10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t,\)
\(\displaystyle t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25\)
Ответ: 25
9. Александра Антонова
Студент Василий и его друг Иван хотят создать совместный бизнес. Если Иван в качестве стартового капитала вложит в бизнес 40% имеющихся у него денег, а Василий — 45% своих денег, то общая сумма составит 43 тыс. рублей. Если же Иван внесет 45% имеющихся у него денег, а Василий — 40% своих денег, то общая сумма составит 42 тыс. рублей. Найдите, какой суммой денег располагает Василий. Ответ выразите в рублях.
Решение:
Пусть х тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Ивана, у тысяч рублей — сумма денег, которой располагал Василий. Составим систему уравнений:
Умножим оба уравнения на 100.
Вычтем из первого уравнения второе: \(5(y-x)=100,\) отсюда \(y-x=20,\) \(y=x+20.\) Подставив в первое уравнение, получим: \(x=\ 40\) тысяч рублей. Отсюда \(y=40+20=\ 60\) тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Василия.
Как же эта задача связана с темой «Растворы, смеси и сплавы»? - Здесь, конечно, не смешивают жидкости, не сплавляют металлы, но математическая модель, согласитесь, очень похожа. Стартовый капитал (как сплав) будет состоять из денег Ивана и денег Василия, взятых в некотором соотношении.
Ответ: 60000
10. На рисунке изображен график функции \(y={{log}_c \left({\left(x-a\right)}^2\right)\ }\)
Найдите у(19).
Решение: Найдем значения параметров \(a\) и \(c\) в формуле функции \(y={{log}_c {\left(x-a\right)}^2\ }.\)
Это сложная функция.
Ее формулу \(y={{log}_c {\left(x-a\right)}^2\ }\) можно записать в виде \(y=2{{log}_c \left|x-a\right|\ }.\)
График функции получен с помощью элементарных преобразований из графика функции \(y={{log}_c x\ }\) в следующем порядке
Сдвиг на \(a\textgreater 0\) вправо;
Зеркальное отражение графика относительно оси \(x=a.\)
Растяжение по вертикальной оси в 2 раза.
Сравнив вид функции на рисунке с графиком функции \(y={{log}_c x\ },\ \) находим, что \(a=3.\)
График проходит через точку \((5;2).\) Подставив координаты этой точки в формулу функции, получаем:
\(2{{log}_c \left|5-3\right|\ }=2;\)
\({{log}_c 2\ }=1;\)
\(c=2.\)
Формула функции: \(y={{log}_2 {\left(x-3\right)}^2\ },\) тогда \(y\left(19\right)={{log}_2 {16}^2\ }=2\cdot 4=8.\)
Ответ: 8
11. ФИПИ
Найдите наибольшее значение функции \(y={\left(x+30\right)}^2e^{-28-x}\) на отрезке \([-29;\ -27].\)
Покажем короткий способ решения задачи.
Число е — иррациональное. А ответ в заданиях Части 1 ЕГЭ — это целое число или конечная десятичная дробь.
Выражение \(e^{-28-x}\) может принимать рациональное значение, если показатель равен нулю, то есть \(-28-x=0;\ x=-28.\)
\(y_{max}=y\left(-28\right)={\left(-28+30\right)}^2\cdot e^0=4. \)
Конечно, это читерство. Но оно помогает сэкономить время на экзамене.
Покажем второй способ. По формуле производной произведения,
\(y^\prime={\left(u\cdot v\right)}^\prime=u^\prime\cdot v+u\cdot v^\prime.\)
\(y^\prime=2\left(x+30\right)\cdot e^{-28-x}-{\left(x+30\right)}^2\cdot e^{-28-x}=\)
\(=2(x+30)(-x-28)\cdot e^{-28-x}.\)
Выражение \(e^{-28-x}\) положительно при любом х,
Найдем знаки производной на отрезке [-29; -27].
При х = -28 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «минус». Это точка максимума. Наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в этой точке.
\(y_{max}=y\left(-28\right)={\left(-28+30\right)}^2\cdot e^0=4. \)
Ответ: 4
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Александра Антонова
а) Решите уравнение \({cos}^2(\pi -\ x)\ +\ sin2x =\ 0\)
б) Найдите все его решения на отрезке [0; 3\(\pi \)].
Решение:
\({cos}^2\left(\pi -\ x\right)+\ sin2x =\ 0;\ \ {cos}^2x\ +2\ sinx\cdot cosx =\ 0; \)
Решим второе уравнение совокупности. Разделим обе его части на\(\ cosx\ne 0.\) Мы можем это сделать, так как если \(cosx=0,\) то и \(sin x\ =\ 0,\) а таких углов не может быть.
Получим:
\(1+\ 2tgx=0.\) Отсюда: \(\displaystyle tgx\ =-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \ x=\ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi n,\ n\in Z.\)
Получим:
б) Найдем решения, принадлежащие отрезку \([0;3\pi ],\) с помощью единичной окружности. Для этого отметим данный отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.
Данному отрезку принадлежат точки:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi }{2};\ \ \ x_2=\pi -arctg\frac{1}{2};\)
\(\displaystyle x_3=\frac{3\pi }{2};\ \ x_4=2\pi -arctg\frac{1}{2};\)
\(\displaystyle x_5=\frac{5\pi }{2};\ \ x_6=3\pi - arctg\frac{1}{2}.\)
Ответ: а) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z, \ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi n,\ n\in Z\) б) \( \displaystyle \ \frac{\pi }{2};\ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi ;\ \frac{3\pi }{2};\ \ -arctg\ \frac{1}{2}+2\pi ;\ \frac{5\pi }{2};\ -arctg\frac{1}{2}\ +3\pi .\)
13. Анна Малкова
В трапеции ABCD с большим основанием АD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. В четырехугольной пирамиде SABCD все боковые грани наклонены к плоскости АВC под углом 45 градусов.
а) Докажите, что вершина S равноудалена от прямых АВ, ВC и CD.
б) Найдите объем пирамиды SABCD, если CD = 18, а расстояние от S до CD равно 6√2.
Решение:
а) Боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, значит, вершина S проецируется в точку O — центр вписанной окружности основания.
OH; OE; OF — радиусы окружности, \(OH\bot AB,\) \(OE\bot BC,\) \(OF\bot CD\Rightarrow SH\bot AB,\) \(SE\bot BC,\) \(SF\bot CD\) по теореме о трех перпендикулярах; \(SH,\ SE,\ SF\) — расстояние от т. \(S\) до \(AB,\ BC,\ CD.\)
\(\vartriangle SOH=\vartriangle SOE=\vartriangle SOF\) по катету и острому углу \(\Rightarrow SH=SE=SF.\)
б)
\(\displaystyle \vartriangle SOH: \angle SHO=45{}^\circ \Rightarrow SO=OH=r=\frac{SH}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6.\)
Тогда \(AB=2r=12,\) \(CD=18,\) так как трапеция \(ABCD\) описана вокруг окружности, \(AB+CD=AD+BC=18+12=30;\)
\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)\cdot \ AB=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 12=180;\)
\(\displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 180\cdot 6=360.\)
Ответ: 360
14. ФИПИ
Решите неравенство
\(\left(5\cdot {0,2}^{x+0,5}-0,2\cdot 5^{x+0,5}\right)\left({{log}^2_{0,2} \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0.\)
Решение:
Преобразуем неравенство:
\(\left(5\cdot {0,2}^{x+0,5}-0,2\cdot 5^{x+0,5}\right)\left({{log}^2_{0,2} \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0\Leftrightarrow \left(5^{1-x}-5^x\right)\left({{log}^2_5 \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0.\)
Область определения неравенства задается условием \(\displaystyle x\textgreater -\frac{1}{2}.\) Найдем нули множителей:
\(\displaystyle 5^{1-x}=5^x\Leftrightarrow 1-x=x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\)
Применим метод интервалов, получим ответ: \(\displaystyle -\frac{1}{2}\textless x\textless \frac{1}{2}\) или \(\displaystyle \frac{1}{2}\textless x\textless \frac{49}{2}.\)
Ответ: \(\displaystyle \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{49}{2}\right).\)
15. Александра Антонова
У столяра Джузеппе есть 185 поленьев. Из 7 поленьев он может сделать табурет, из 10 поленьев — стол, а из 20 поленьев — сундук. На рынке табурет можно продать за 8 монет, стол за 12 монет, а сундук за 25 монет. Джузеппе покупает поленья у лесорубов, а стоимость собственного труда не учитывает. Какое наибольшее количество монет может выручить Джузеппе при условии, что вся его продукция находит спрос?
Решение
Запишем данные задачи в таблицу:
| Продукция | Сколько штук | Цена | Расход поленьев | Получено денег за каждое потраченное полено |
| Табуреты | x | 8 | 7 | \(1\frac{1}{7}\) |
| Столы | y | 12 | 10 | \(1\frac{1}{5}\) |
| Сундуки | z | 25 | 20 | \(1\frac{1}{4}\) |
Делая сундуки, Джузеппе может получить больше денег за каждое потраченное полено. Этот вид продукции оказывается наиболее выгодным, поэтому для максимизации выручки Джузеппе должен сделать как можно больше сундуков.
185 : 20=9,25; Джузеппе может сделать не менее 9 сундуков.
Если он сделает 9 сундуков, остается 185-180=5 поленьев, из которых ничего нельзя сделать. В этом случае Джузеппе выручит \(9\cdot 25=225\) монет.
Если Джузеппе сделает 8 сундуков и получит за них 200 монет, остается 185-160=25 поленьев. Вот варианты того, что из них можно сделать:
1 столик и 1 табурет (20 монет);
или 2 стол (24 монеты);
или 3 табуретки (24 монеты);
или 1 стол и 2 табурета (28 монет);
Наиболее выгоден последний случай. Поэтому 28+200=228 монет, и это больше, чем если Джузеппе изготовит 9 сундуков.
Дальнейшее уменьшение числа сундуков невыгодно для Джузеппе.
Заметим, что именно Джузеппе был столяром, которому однажды попалось говорящее полено. А Папа Карло был шарманщиком.
Ответ: 228
16. Анна Малкова
Биссектриса АМ, высота BH и медиана СN остроугольного треугольника АВC пересекаются в одной точке, HC = 2АH, \(\displaystyle {sin \angle BAM\ }=\frac{1}{\surd 5}.\)
а) Докажите, что CМ \(\textless \) 2 BМ.
б) Найдите BМ, если АB = 10.
Решение:
\(O=AM\cap BH\cap CN, HC=2AH\)
а) Пусть \(\angle BAM=\angle CAM=\varphi ,\) \(AN=BN=x,\) тогда из \(\vartriangle ABH\) \(\displaystyle \frac{AH}{AB}={cos 2\varphi };\) \(AH=2x{cos 2\varphi , }\) \(HC=4x{cos 2\varphi };\) \(AC=6x{cos 2\varphi }\) по свойству биссектрисы треугольника, \(\displaystyle \frac{CM}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{6x{cos 2\varphi }}{2x}=3{{cos}2 \varphi };\)
\(\displaystyle {sin \varphi \ }=\frac{1}{\sqrt{5}}, {{cos}2 \varphi =1-2{{sin}^2 \varphi =1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5};\ }\ }\)
\(\displaystyle \frac{CM}{BM}=3\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{5}\textless 2.\)
б) \(\displaystyle BM=\frac{5}{14}BC;\) \(AB=10,\) \(x=5,\) \(\displaystyle AC=6\cdot 5\cdot {cos 2\varphi \ }=6\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=18;\) по теореме косинусов из \(\vartriangle ABC,\) \(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot {cos 2\varphi \ }=\)
\(\displaystyle =100+324-2\cdot 10\cdot 18\cdot \frac{3}{5}=100+324-216=208\)
\(\displaystyle BC=\sqrt{208}=2\sqrt{52}=4\sqrt{13}, BM=\frac{5}{14}\cdot 4\sqrt{13}=\frac{10\sqrt{13}}{7}.\)
Ответ: \( \displaystyle \frac{10\sqrt{13}}{7}\)
17. При каких значениях параметра р система уравнений
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\sqrt{x^2}-\frac{1}{3} \\
\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^2}+\frac{1}{3} \\
x^2+y^2=p-9+6y \end{array}
\right. \)
имеет ровно 4 решения?
Решение:
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
\frac{2}{3}\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\sqrt{x^2}-\frac{1}{3} \\
\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^2}+\frac{1}{3} \\
x^2+y^2=p-9+6y \end{array}
\right.\)
Умножим обе части первых двух уравнений на 3. Применим формулу:
\(\sqrt{a^2}=\left|a\right|.\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2\left|y-3\right|=3\left|x\right|-1 \\
3\left|y-3\right|=2\left|x\right|+1 \\
x^2+y^2-6y+9=p \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
2\left|y-3\right|-3\left|x\right|=-1 \\
3\left|y-3\right|-2\left|x\right|=1 \\
x^2+{\left(y-3\right)}^2=p \end{array}
\right.\Leftrightarrow \)
Сделав замену \(y-3=t,\) получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2\left|t\right|-3\left|x\right|=-1 \\
3\left|t\right|-2\left|x\right|=1 \\
x^2+t^2=p \end{array}
\right.\)
Решим систему из двух первых уравнений с двумя переменными
\(\left\{ \begin{array}{c}
2\left|t\right|-3\left|x\right|=-1 \\
3\left|t\right|-2\left|x\right|=1 \end{array}
\right.,\)
Сложим уравнения: \(5\left|t\right|-5\left|x\right|=0\Leftrightarrow \left|t\right|=\left|x\right|.\)
Подставим во второе уравнение: \(3\left|x\right|-2\left|x\right|=1\Leftrightarrow \left|x\right|=\left|t\right|=1\)
Подставим в третье уравнение, получим: \(p=2\)
Ответ: \(p=2\)
18. ФИПИ
На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 4, 5, 6, 7 и 8 (45678, 45687 и т. д.).
а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?
б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?
в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.
Решение:
В каждом из чисел на доске по одному разу встречаются цифры: 4; 5; 6; 7; 8.
а) Предположим, что \(A\vdots 55,\) \(55=5\cdot 11.\)
Так как \(A\vdots 55,\) следовательно, \(A\vdots 5\) - т.е. оканчивается на 5.
Также \(A\vdots 11,\) значит, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных позициях числа А, равны, или их разность кратна 11.
Да, может такое быть может. Вот пример:
\(47685\div 55=867\)
Есть и другие примеры:
\(67485\div 55=1227\)
\(48675\div 55=885\)
\(68475\div 55=1245\)
б) Предположим, что \(A\vdots 505;\ \ \ \ \ \ \ 505=5\cdot 101.\)
Если \(A\vdots 505,\) то \(A\vdots 5\) - т.е. оканчивается на 5.
Запишем число А в виде \(\overline{abcd5}.\)
А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5.
Также \(A\vdots 101.\)
А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5 = 100 (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5 =
=101 (100 а + 10 b + c) - (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5. Очевидно, 101 (100 а + 10 b + c) делится на 101.
Значит, 10 d + 5- (100 а + 10 b + c) делится на 101.
Тогда и число 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) делится на 101, причем это число — положительное и трехзначное. 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) = 101 k.
В числе 101 последняя цифра 1. Число 101k оканчивается на k, где k принимает значения от 1 до 9.
Цифры a, b, c, d выбираем из 4, 6, 7 и 8.
с = 4, 6, 7 или 8.
Тогда k = 9, 1, 2 или 3.
Если k = 9, то а = 9, противоречие с условием.
Если \(k\le 3,\) то \(a\le 3.\) тоже противоречие. Значит, число А не может делиться на 505.
в) Пусть \(\overline{abcdf}=a\cdot {10}^4+b\cdot {10}^3+c\cdot {10}^2+d\cdot 10+f=\)
\(=\left(9999a+1001b+99c+11d\right)+a-b+c-d+f=\)
\(=11\cdot \left(909a+91b+9c+d\right)+\left(a-b+c-d+f\right).\)
Число A = \(\overline{abcdf}\) делится на 11, если второе слагаемое делится на 11, т.е.
\(\left(a-b+c-d+f\right)\vdots 11.\ \)
Мы знаем также, что а, b, с, d и f — это 4, 5, 6, 7, 8, их сумма равна 30.
Значит, \(a+b+c+d+f=30,\)
\(a-b+c-d+f=30-2\left(b+d\right).\)
Поскольку \(b+d\) принимает значения от 9 до 15, получаем, что
\(a-b+c-d+f\) делится на 11, только если \(b+d=15,\ \) другие случаи не подходят. Значит, \(b\) и \(d\) — это 7 и 8, остальные цифры — это 4, 5, 6.
Среди чисел такого вида наибольшим является 68574.
Ответ: 68574
