previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2022 Вариант 5, решения

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=Ry8KbpFfXmk\&t=12615s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Татьяна Сиротина

Решите уравнение:

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.

9^x+9=2\cdot 3^{x+1}

Решение:

{\left(3^x\right)}^2+9-2\cdot 3^x\cdot 3=0

{\left(3^x-3\right)}^2=0

3^x=3

x=1

Ответ: 1.

2. Анна Малкова

Учебный курс по английскому языку включает 6 видеоуроков, причем переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих. Известно, что через месяц после старта курса первый урок посмотрели 100% обучающихся на курсе, второй — 64%, а каждый следующий — в 2 раза меньше учащихся, чем предыдущий. Найдите вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Решение: Вероятность того, что случайно выбранный учащийся курса посмотрел все видеоуроки, равна вероятности того, что он посмотрел шестой видеоурок (так как переход к следующему уроку возможен только после просмотра предыдущих). Вероятность посмотреть третий урок равна 64 : 2 = 32%, четвертый — 16%, пятый 8%, шестой 4%.

Ответ: 0,04

3. Анна Малкова

К окружности радиуса 1,2, вписанной в треугольник АВC, проведены касательные, причем длины отрезков ND = 1,5; EF = 2,5; МК = 1.

Найдите площадь шестиугольника NDEFKM.

Решение:

Пусть L, P и S — точки касания вписанной окружности со сторонами АC, ВC и AB, Т — точка касания с отрезком ND.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

NL = NT, DT = DP, значит, ND = NL + DP, и длина ломаной линии LNDP в два раза больше, чем ND.

Аналогично, длина ломаной LMKS равна 2MK, длина ломаной SFEP равна 2FЕ.

Значит, периметр шестиугольника P=2\cdot (ND+EF+MK)=10.

Легко доказать, что площадь описанного многоугольника находится как S = pr, где р — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Площадь шестиугольника NDEFKM равна 5\cdot 1,2=6.

Ответ: 6

4. Ольга Чемезова

Найдите значение выражения:

\displaystyle {15}^{\frac{1}{{{log}_7 15\ }}}+\left({{log}_4 3\ }+{{log}_4 8\ }\right)\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}\ }

Решение:

\displaystyle {15}^{\frac{1}{{{log}_7 15\ }}}+\left({{log}_4 3\ }+{{log}_4 8\ }\right)\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}\ }={15}^{{{log}_{15} 7\ }}+{{log}_4 24\cdot {{log}_{24} \frac{1}{16}=\ }\ }

\displaystyle = 7+ \frac{log_{24} \frac{1}{16}}{log_{24}4}=7-log_4 \frac{1}{16}=7-2=5

Ответ: 5

5. Анна Малкова

В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит треугольник со сторонами AB = 13, BC = 14, AC = 15, боковое ребро призмы равно 12. Найдите объем треугольной пирамиды A_1BCB_1.

Решение:

Треугольная пирамида A_1BCB_1 получится, если от призмы отрезать пирамиды A_1ABC (внизу) и A_1B_1C_1C (вверху). Объем каждой из пирамид A_1ABC и A_1B_1C_1C равен  то есть \displaystyle \frac{1}{3} объема призмы.

Тогда

 (по формуле Герона),

\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2} — полупериметр основания,

S_{ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=

=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84,

\displaystyle V_{A_1BCB_1}=\frac{1}{3}\cdot 84\cdot 12=84\cdot 4=336.

Ответ: 336

6. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение:

Производная функции f\left(x\right)\ в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции f\left(x\right)\ в этой точке.
f

y=kx+b - касательная к f\left(x\right),

В точке x_0 производная отрицательная, f т.к. функция f\left(x\right) — убывает в этой точке.

\alpha — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол \alpha — тупой, а смежный с ним угол \varphi — острый.

\displaystyle tg\alpha =-tg\varphi =-\frac{3}{8}=-0,375

Ответ: -0,375

7. ФИПИ

При температуре 0\ {\rm{}^\circ\!C} рельс имеет длину l_0=10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l\left(t{}^\circ \right)=l_0\left(1+\alpha \cdot t{}^\circ \right), где \alpha =1,2\cdot {10}^{-5}\ {\left({\rm{}^\circ\!C}\right)}^{-1} — коэффициент теплового расширения, t{}^\circ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение:

l_0=10 м; \alpha =1,2\cdot {10}^{-5}{\left(C{}^\circ \right)}^{-1}

l=l_0\left(1+\alpha t{}^\circ \right) ; l=l_0+3 мм =10+3\cdot {10}^{-3} м

10+3\cdot {10}^{-3}=10\cdot \left(1+1,2\cdot {10}^{-5}\cdot t\right),

10+3\cdot {10}^{-3}=10+12\cdot {10}^{-5}\cdot t,

\displaystyle t=\frac{3\cdot {10}^{-3}}{12\cdot {10}^{-5}}=\frac{1}{4}\cdot {10}^2=\frac{100}{4}=25

Ответ: 25

8. Александра Антонова

Студент Василий и его друг Иван хотят создать совместный бизнес. Если Иван в качестве стартового капитала вложит в бизнес 40% имеющихся у него денег, а Василий — 45% своих денег, то общая сумма составит 43 тыс. рублей. Если же Иван внесет 45% имеющихся у него денег, а Василий — 40% своих денег, то общая сумма составит 42 тыс. рублей. Найдите, какой суммой денег располагает Василий. Ответ выразите в рублях.

Решение:

Пусть х тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Ивана, у тысяч рублей — сумма денег, которой располагал Василий. Составим систему уравнений:

Умножим оба уравнения на 100.

Вычтем из первого уравнения второе: 5(y-x)=100, отсюда y-x=20, y=x+20. Подставив в первое уравнение, получим: x=\ 40 тысяч рублей. Отсюда y=40+20=\ 60 тысяч рублей — сумма денег, имеющаяся у Василия.

Как же эта задача связана с темой «Растворы, смеси и сплавы»? - Здесь, конечно, не смешивают жидкости, не сплавляют металлы, но математическая модель, согласитесь, очень похожа. Стартовый капитал (как сплав) будет состоять из денег Ивана и денег Василия, взятых в некотором соотношении.

Ответ: 60000

9. На рисунке изображен график функции y={{log}_c \left({\left(x-a\right)}^2\right)\ }

Найдите у(19).

Решение: Найдем значения параметров a и c в формуле функции y={{log}_c {\left(x-a\right)}^2\ }.

Это сложная функция.

Ее формулу y={{log}_c {\left(x-a\right)}^2\ } можно записать в виде y=2{{log}_c \left|x-a\right|\ }.

График функции получен с помощью элементарных преобразований из графика функции y={{log}_c x\ } в следующем порядке

Сдвиг на a\textgreater 0 вправо;

Зеркальное отражение графика относительно оси x=a.

Растяжение по вертикальной оси в 2 раза.

Сравнив вид функции на рисунке с графиком функции y={{log}_c x\ },\ находим, что a=3.

График проходит через точку (5;2). Подставив координаты этой точки в формулу функции, получаем:

2{{log}_c \left|5-3\right|\ }=2;

{{log}_c 2\ }=1;

c=2.

Формула функции: y={{log}_2 {\left(x-3\right)}^2\ }, тогда y\left(19\right)={{log}_2 {16}^2\ }=2\cdot 4=8.

Ответ: 8

10. Татьяна Сиротина

Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».

С какой вероятностью письмо, попавшее в папку «Входящие», не является спамом? Результат округлите до сотых.

* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.

Решение:

Письмо может оказаться в папке «Входящие» в двух случаях:

если это — не спам и почтовая программа это распознала

это спам, и почтовая программа его пропустила.

Вероятности этих событий равны соответственно

0,25\cdot 0,99\ и 0,75\cdot 0,05.

Применим формулу полной вероятности. Получим: P=0,25\cdot 0,99\ + 0,75\cdot 0,05\ = 0,25\cdot (\ 0,99+3\cdot 0,05)=0,285 — вероятность того, что письмо попало во «Входящие»,

Обозначим за х вероятность того, что письмо, оказавшееся в папке «Входящие», не является спамом.

Тогда вероятность того, что письмо попало в папку «Входящие» и не является спамом, равна 0,285 х.

С другой стороны, эта вероятность равна 0,25\cdot 0,99.

Получим: 0,25\cdot 0,99=\ 0,25\cdot 1,14x; отсюда \displaystyle x=\frac{99}{114}=\frac{33}{38}\approx 0,87.\

Ответ: 0,87

11. ФИПИ

Найдите наибольшее значение функции y={\left(x+30\right)}^2e^{-28-x} на отрезке [-29;\ -27].

Покажем короткий способ решения задачи.

Число е — иррациональное. А ответ в заданиях Части 1 ЕГЭ — это целое число или конечная десятичная дробь.

Выражение e^{-28-x} может принимать рациональное значение, если показатель равен нулю, то есть -28-x=0;\ x=-28.

y_{max}=y\left(-28\right)={\left(-28+30\right)}^2\cdot e^0=4.

Конечно, это читерство. Но оно помогает сэкономить время на экзамене.

Покажем второй способ. По формуле производной произведения,

y^\prime={\left(u\cdot v\right)}^\prime=u^\prime\cdot v+u\cdot v^\prime.

y^\prime=2\left(x+30\right)\cdot e^{-28-x}-{\left(x+30\right)}^2\cdot e^{-28-x}=

=2(x+30)(-x-28)\cdot e^{-28-x}.

Выражение e^{-28-x} положительно при любом х,

Найдем знаки производной на отрезке [-29; -27].

При х = -28 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «минус». Это точка максимума. Наибольшее значение функции на данном отрезке достигается в этой точке.

y_{max}=y\left(-28\right)={\left(-28+30\right)}^2\cdot e^0=4.

Ответ: 4

Часть 2. Задания с развернутым ответом

12. Александра Антонова

а) Решите уравнение {cos}^2(\pi -\ x)\ +\ sin2x =\ 0

б) Найдите все его решения на отрезке [0; 3\pi ].

Решение:

{cos}^2\left(\pi -\ x\right)+\ sin2x =\ 0;\ \ {cos}^2x\ +2\ sinx\cdot cosx =\ 0;

Решим второе уравнение совокупности. Разделим обе его части на\ cosx\ne 0. Мы можем это сделать, так как если cosx=0, то и sin x\ =\ 0, а таких углов не может быть.

Получим:

1+\ 2tgx=0. Отсюда: \displaystyle tgx\ =-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \ x=\ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi n,\ n\in Z.

Получим:

б) Найдем решения, принадлежащие отрезку [0;3\pi ], с помощью единичной окружности. Для этого отметим данный отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Данному отрезку принадлежат точки:

\displaystyle x_1=\frac{\pi }{2};\ \ \ x_2=\pi -arctg\frac{1}{2};

\displaystyle x_3=\frac{3\pi }{2};\ \ x_4=2\pi -arctg\frac{1}{2};

\displaystyle x_5=\frac{5\pi }{2};\ \ x_6=3\pi - arctg\frac{1}{2}.

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z, \ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi n,\ n\in Z б) \displaystyle \ \frac{\pi }{2};\ -arctg\ \frac{1}{2}+\pi ;\ \frac{3\pi }{2};\ \ -arctg\ \frac{1}{2}+2\pi ;\ \frac{5\pi }{2};\ -arctg\frac{1}{2}\ +3\pi .

13. Анна Малкова

В трапеции ABCD с большим основанием АD боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям. В четырехугольной пирамиде SABCD все боковые грани наклонены к плоскости АВC под углом 45 градусов.

а) Докажите, что вершина S равноудалена от прямых АВ, ВC и CD.

б) Найдите объем пирамиды SABCD, если CD = 18, а расстояние от S до CD равно 6√2.

Решение:

а) Боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, значит, вершина S проецируется в точку O — центр вписанной окружности основания.

OH; OE; OF — радиусы окружности, OH\bot AB, OE\bot BC, OF\bot CD\Rightarrow SH\bot AB, SE\bot BC, SF\bot CD по теореме о трех перпендикулярах; SH,\ SE,\ SF — расстояние от т. S до AB,\ BC,\ CD.

\vartriangle SOH=\vartriangle SOE=\vartriangle SOF по катету и острому углу \Rightarrow SH=SE=SF.

б)

\displaystyle \vartriangle SOH: \angle SHO=45{}^\circ \Rightarrow SO=OH=r=\frac{SH}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6.

Тогда AB=2r=12, CD=18, так как трапеция ABCD описана вокруг окружности, AB+CD=AD+BC=18+12=30;

\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)\cdot \ AB=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 12=180;

\displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 180\cdot 6=360.

Ответ: 360

14. ФИПИ

Решите неравенство

\left(5\cdot {0,2}^{x+0,5}-0,2\cdot 5^{x+0,5}\right)\left({{log}^2_{0,2} \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0.

Решение:

Преобразуем неравенство:

\left(5\cdot {0,2}^{x+0,5}-0,2\cdot 5^{x+0,5}\right)\left({{log}^2_{0,2} \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0\Leftrightarrow \left(5^{1-x}-5^x\right)\left({{log}^2_5 \left(x+0,5\right)\ }-2{{log}_5 \left(x+0,5\right)\ }\right)\textgreater 0.

Область определения неравенства задается условием \displaystyle x\textgreater -\frac{1}{2}. Найдем нули множителей:

\displaystyle 5^{1-x}=5^x\Leftrightarrow 1-x=x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.

Применим метод интервалов, получим ответ: \displaystyle -\frac{1}{2}\textless x\textless \frac{1}{2} или \displaystyle \frac{1}{2}\textless x\textless \frac{49}{2}.

Ответ: \displaystyle \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{49}{2}\right).

15. Александра Антонова

У столяра Джузеппе есть 185 поленьев. Из 7 поленьев он может сделать табурет, из 10 поленьев — стол, а из 20 поленьев — сундук. На рынке табурет можно продать за 8 монет, стол за 12 монет, а сундук за 25 монет. Джузеппе покупает поленья у лесорубов, а стоимость собственного труда не учитывает. Какое наибольшее количество монет может выручить Джузеппе при условии, что вся его продукция находит спрос?

Решение

Запишем данные задачи в таблицу:

Продукция Сколько штук Цена Расход поленьев Получено денег за каждое потраченное полено
Табуреты x 8 7 1\frac{1}{7}
Столы y 12 10 1\frac{1}{5}
Сундуки z 25 20 1\frac{1}{4}

Делая сундуки, Джузеппе может получить больше денег за каждое потраченное полено. Этот вид продукции оказывается наиболее выгодным, поэтому для максимизации выручки Джузеппе должен сделать как можно больше сундуков.

185 : 20=9,25; Джузеппе может сделать не менее 9 сундуков.

Если он сделает 9 сундуков, остается 185-180=5 поленьев, из которых ничего нельзя сделать. В этом случае Джузеппе выручит 9\cdot 25=225 монет.

Если Джузеппе сделает 8 сундуков и получит за них 200 монет, остается 185-160=25 поленьев. Вот варианты того, что из них можно сделать:

1 столик и 1 табурет (20 монет);

или 2 стол (24 монеты);

или 3 табуретки (24 монеты);

или 1 стол и 2 табурета (28 монет);

Наиболее выгоден последний случай. Поэтому 28+200=228 монет, и это больше, чем если Джузеппе изготовит 9 сундуков.

Дальнейшее уменьшение числа сундуков невыгодно для Джузеппе.

Заметим, что именно Джузеппе был столяром, которому однажды попалось говорящее полено. А Папа Карло был шарманщиком.

Ответ: 228

16. Анна Малкова

Биссектриса АМ, высота BH и медиана СN остроугольного треугольника АВC пересекаются в одной точке, HC = 2АH, \displaystyle {sin \angle BAM\ }=\frac{1}{\surd 5}.

а) Докажите, что CМ \textless 2 BМ.

б) Найдите BМ, если АB = 10.

Решение:

O=AM\cap BH\cap CN, HC=2AH

а) Пусть \angle BAM=\angle CAM=\varphi , AN=BN=x, тогда из \vartriangle ABH \displaystyle \frac{AH}{AB}={cos 2\varphi  }; AH=2x{cos 2\varphi , } HC=4x{cos 2\varphi  }; AC=6x{cos 2\varphi } по свойству биссектрисы треугольника, \displaystyle \frac{CM}{BM}=\frac{AC}{AB}=\frac{6x{cos 2\varphi  }}{2x}=3{{cos}2 \varphi  };

\displaystyle {sin \varphi \ }=\frac{1}{\sqrt{5}}, {{cos}2 \varphi =1-2{{sin}^2 \varphi =1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5};\ }\ }

\displaystyle \frac{CM}{BM}=3\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{5}\textless 2.

б) \displaystyle BM=\frac{5}{14}BC; AB=10, x=5, \displaystyle AC=6\cdot 5\cdot {cos 2\varphi \ }=6\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=18; по теореме косинусов из \vartriangle ABC, BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot {cos 2\varphi \ }=

\displaystyle =100+324-2\cdot 10\cdot 18\cdot \frac{3}{5}=100+324-216=208

\displaystyle BC=\sqrt{208}=2\sqrt{52}=4\sqrt{13}, BM=\frac{5}{14}\cdot 4\sqrt{13}=\frac{10\sqrt{13}}{7}.

Ответ: \displaystyle \frac{10\sqrt{13}}{7}

17. При каких значениях параметра р система уравнений

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\sqrt{x^2}-\frac{1}{3} \\\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^2}+\frac{1}{3} \\x^2+y^2=p-9+6y \end{array}\right.

имеет ровно 4 решения?

Решение:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}\frac{2}{3}\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\sqrt{x^2}-\frac{1}{3} \\\sqrt{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^2}+\frac{1}{3} \\x^2+y^2=p-9+6y \end{array}\right.

Умножим обе части первых двух уравнений на 3. Применим формулу:

\sqrt{a^2}=\left|a\right|.

Получим:

\left\{ \begin{array}{c}2\left|y-3\right|=3\left|x\right|-1 \\3\left|y-3\right|=2\left|x\right|+1 \\x^2+y^2-6y+9=p \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}2\left|y-3\right|-3\left|x\right|=-1 \\3\left|y-3\right|-2\left|x\right|=1 \\x^2+{\left(y-3\right)}^2=p \end{array}\right.\Leftrightarrow

Сделав замену y-3=t, получим:

\left\{ \begin{array}{c}2\left|t\right|-3\left|x\right|=-1 \\3\left|t\right|-2\left|x\right|=1 \\x^2+t^2=p \end{array}\right.

Решим систему из двух первых уравнений с двумя переменными

\left\{ \begin{array}{c}2\left|t\right|-3\left|x\right|=-1 \\3\left|t\right|-2\left|x\right|=1 \end{array}\right.,

Сложим уравнения: 5\left|t\right|-5\left|x\right|=0\Leftrightarrow \left|t\right|=\left|x\right|.

Подставим во второе уравнение: 3\left|x\right|-2\left|x\right|=1\Leftrightarrow \left|x\right|=\left|t\right|=1

Подставим в третье уравнение, получим: p=2

Ответ: p=2

18. ФИПИ

На доске написаны все пятизначные числа, в десятичной записи которых по одному разу встречаются цифры 4, 5, 6, 7 и 8 (45678, 45687 и т. д.).

а) Есть ли среди них число, которое делится на 55?

б) Есть ли среди них число, которое делится на 505?

в) Найдите наибольшее из этих чисел, делящееся на 11.

Решение:

В каждом из чисел на доске по одному разу встречаются цифры: 4; 5; 6; 7; 8.

а) Предположим, что A\vdots 55, 55=5\cdot 11.

Так как A\vdots 55, следовательно, A\vdots 5 - т.е. оканчивается на 5.

Также A\vdots 11, значит, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных позициях числа А, равны, или их разность кратна 11.

Да, может такое быть может. Вот пример:

47685\div 55=867

Есть и другие примеры:

67485\div 55=1227

48675\div 55=885

68475\div 55=1245

б) Предположим, что A\vdots 505;\ \ \ \ \ \ \ 505=5\cdot 101.

Если A\vdots 505, то A\vdots 5 - т.е. оканчивается на 5.

Запишем число А в виде \overline{abcd5}.

А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5.

Также A\vdots 101.

А = 10000 а + 1000 b + 100 c + 10 d + 5 = 100 (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5 =

=101 (100 а + 10 b + c) - (100 а + 10 b + c) + 10 d + 5. Очевидно, 101 (100 а + 10 b + c) делится на 101.

Значит, 10 d + 5- (100 а + 10 b + c) делится на 101.

Тогда и число 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) делится на 101, причем это число — положительное и трехзначное. 100 а + 10 b + c - (10 d + 5) = 101 k.

В числе 101 последняя цифра 1. Число 101k оканчивается на k, где k принимает значения от 1 до 9.

Цифры a, b, c, d выбираем из 4, 6, 7 и 8.

с = 4, 6, 7 или 8.

Тогда k = 9, 1, 2 или 3.

Если k = 9, то а = 9, противоречие с условием.

Если k\le 3, то a\le 3. тоже противоречие. Значит, число А не может делиться на 505.

в) Пусть \overline{abcdf}=a\cdot {10}^4+b\cdot {10}^3+c\cdot {10}^2+d\cdot 10+f=

=\left(9999a+1001b+99c+11d\right)+a-b+c-d+f=

=11\cdot \left(909a+91b+9c+d\right)+\left(a-b+c-d+f\right).

Число A = \overline{abcdf} делится на 11, если второе слагаемое делится на 11, т.е.

\left(a-b+c-d+f\right)\vdots 11.\

Мы знаем также, что а, b, с, d и f — это 4, 5, 6, 7, 8, их сумма равна 30.

Значит, a+b+c+d+f=30,

a-b+c-d+f=30-2\left(b+d\right).

Поскольку b+d принимает значения от 9 до 15, получаем, что

a-b+c-d+f делится на 11, только если b+d=15,\ другие случаи не подходят. Значит, b и d — это 7 и 8, остальные цифры — это 4, 5, 6.

Среди чисел такого вида наибольшим является 68574.

Ответ: 68574