previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2022 Вариант 6, решения

Вариант 6

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=vHRkJiQvnIw\&t=11679s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Татьяна Сиротина

Решите уравнение:

{\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)}^{-x^2-\displaystyle \frac{3}{2}}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4^x}

Решение:

2^{x^2+\displaystyle \frac{3}{2}}=2^{-2x+\displaystyle \frac{1}{2}}

x^2+\displaystyle \frac{3}{2}=-2x+\displaystyle \frac{1}{2}

x^2+2x+1=0

{\left(x+1\right)}^2=0

x=-1

2. Арлен Близаров

Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии Кончиты. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу, равна 0,1 в отдельно взятый вечер. Какие шансы, что Хуан Гарсия завоюет сердце Сесилии Кончиты, если её соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?

Решение:

Вероятность получить красную розу в отдельно взятый вечер равна 0,1. Хуан Гарсия, если повезет, получит ее в первый вечер. Тогда он приглашает Кончиту на свидание и больше под окном не бренчит. Хуан Гарсия может получить красную розу во второй, в третий или в четвертый вечер, причем вероятности каждого из этих событий разные.

Вероятность того, что Хуан Гарсия так и не добился взаимности Сесилии Кончиты, равна

P_1=0,9\cdot 0,9\cdot 0,9\cdot 0,9=0,6561.

Вычитая из единицы это число, получим вероятность благоприятного исхода для Хуана Гарсии: 1-0,6561=0,3439.

Ответ: 0,3439

3. Анна Малкова В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны \sqrt{6} и 2\sqrt{3} соответственно. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника АВС: {AB}^2={AC}^2+{BC}^2\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{6+12}=\sqrt{18}

Найдем высоту, проведенную к гипотенузе, через площадь треугольника

S_{\triangle ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}AC\cdot BC=\displaystyle \frac{1}{2}AB\cdot h\Rightarrow

h=\displaystyle \frac{AC\cdot BC}{AB}=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{18}}=\displaystyle \frac{2\sqrt{18}}{\sqrt{18}}=2

Ответ: 2

4. Анна Малкова

Вычислите: \sqrt{{1013}^2-16{\cdot 253}^2}

Решение:

Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right)

\sqrt{{1013}^2-16\cdot {253}^2}=\sqrt{{1013}^2-{\left(4\cdot 253\right)}^2}=

=\sqrt{\left(1013-1012\right)\left(1013+1012\right)}=\sqrt{2025}=45

Ответ: 45

5. Анна Малкова

Найдите объем детали, изображенной на рисунке, если диаметр основания цилиндра равен 10, высота равна \displaystyle \frac{4}{\pi }, а диаметр цилиндрического отверстия равен 4.

Решение:

Так как диаметр основания равен 10, его радиус равен 5. Радиус цилиндрического отверстия равен 2.

Объем цилиндра V = \pi R^2h.

Мы видим, что из большого цилиндра вырезан меньший, и объем детали равен

V = \pi R^2h- \pi r^2h=\ \pi h\left(5^2-2^2\right)=\pi \frac{4\cdot 21}{\pi}=84 .

Разделив на \pi , получим ответ.

Ответ: 84

6. Анна Малкова

Прямая y=7x+b касается графика функции f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4, причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Запишем условие касания:

\left\{ \begin{array}{c}f\left(x\right)=kx+b \\f

\left\{ \begin{array}{c}2x^3-x^2+3x-4=7x+b \\6x^2-2x+3=7 \end{array}\right.

Начнем со второго уравнения

6x^2-2x-4=0

D=b^2-4ac=4+4\cdot 6\cdot 4=4\cdot 25={10}^2x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\displaystyle \frac{2\pm 10}{12}

x_1=1;\ \ x_2=-\displaystyle \frac{2}{3}

Т.к. x_0\textgreater 0, то x_0=1.

Найдем b, подставив x_0\ в первое уравнение:

2x^3-x^2+3x-4=7x+b, отсюда

b=-7.

Ответ: -7.

7. ФИПИ

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=30\ см.

Расстояние d_1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d_2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \displaystyle \frac{1}{d_1 }+\displaystyle \frac{1}{d_2 }=\displaystyle \frac{1}{f} Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Фокусное расстояние линзы известно. Но какое же значение d_2 (расстояние от линзы до экрана) надо подставлять в формулу? Нам надо найти наименьшее расстояние от лампочки до линзы d_1. Если d_1 — наименьшее, то обратная величина \displaystyle \frac{1}{d_1} будет наибольшей. Поскольку \displaystyle \frac{1}{f} — константа, второе слагаемое \displaystyle \frac{1}{d_2\ }\ в формуле линзы должно быть наименьшим, а обратная ему величина d_2 — наибольшей, то есть равной 180. Подставим данные в формулу:

\displaystyle \frac{1}{d_1}+\displaystyle \frac{1}{180}=\displaystyle \frac{1}{30},

d_1=36.

Ответ: 36.

8. Александра Антонова

Василий поссорился с Машей, и они с одинаковыми скоростями пошли по улице в противоположных направлениях. Через 10 минут Василий повернул назад и, увеличив скорость в три раза, стал догонять Машу (чтобы помириться). Через сколько минут Василий догнал Машу?

Решение:

Пусть x — скорости Василия и Маши, когда они двигались в противоположных направлениях. За 10 минут расстояние между Василием и Машей стало равно 10x + 10x = 20x.

Затем Василий повернул назад со скоростью 3x. За время, равное t, Василий смог догнать Машу. Составим таблицу:

v t S
Маша x t xt
Василий 3x t 3xt

С того момента, как Василий повернул назад, до момента их встречи Василий прошел на 20х больше, чем Маша, то есть 3xt-xt=20x.\

Отсюда 2xt=20x,\; t=10 минут.

Ответ: 10.

9. Графики функций \ f\left(x\right)=3{\left(x+1\right)}^2 и g(x) пересекаются в точках А и В. По данным рисунка найдите абсциссу точки В.

Решение:

Запишем формулу функции y=g(x).

Ее график — квадратичная парабола g\left(x\right)=a_{\ }x^2+b_{\ }x+c_{\ };

g\left(-2\right)=3;

g\left(-4\right)=-5, то есть

\left\{ \begin{array}{c}a_{\ }\cdot {\left(-2\right)}^2+b_{\ }\cdot \left(-2\right)+c_{\ }=3 \\a_{\ }\cdot {\left(-4\right)}^2+b_{\ }\cdot \left(-4\right)+c_{\ }=-5 \end{array}\right.

\left\{ \begin{array}{c}4a_{\ }-2b_{\ }+c_{\ }=3 \\16a_{\ }-4b_{\ }+c_{\ }=-5 \end{array}\right.

Вычитаем из первого уравнения второе:

-12a_{\ }+2b_{\ }=8, то есть.

-6a_{\ }+b_{\ }=4.

Так как x=-4 — абсцисса вершины параболы,

-\displaystyle \frac{b_{\ }}{2a_{\ }}=-4,

b_{\ }=8a_{\ .}

Получим:

\left\{ \begin{array}{c}-6a_{\ }+8a_{\ }=4 \\b_{\ }=8a_{\ } \end{array}\right.

\left\{ \begin{array}{c}a_{\ }=2 \\b_{\ }=16 \end{array}\right.

Подставив в уравнение 4a_{\ }-2b_{\ }+c_{\ }=3, получаем:

8-32+c_{\ }=3;

c_{\ }=27.

Значит, y=2x^2+16x+27.

Найдем точки пересечения графиков f(x) и g(x).

Для этих точек: f\left(x\right)=g(x)

3x^2+6x+3=2x^2+16x+27;

x^2-10x-24=0;

D=100+96=196;

\sqrt{D}=14

x=-2 или x=12.

Абсцисса точки A равна -2 (как и показано на рисунке). Тогда абсцисса точки B равно 12.

Ответ: 12.

10. Татьяна Сиротина

Барон Мюнхгаузен в 80% случаев рассказывает небылицу. Если его рассказ — выдумка, то в 60% случаев ему не верят. А, если его рассказ правдив, то ему верят в 95% случаев.

Однажды Барон рассказал историю о том, как он первый раз влюбился. Слушатели не поверили. С какой вероятностью эта история была правдой? Ответ округлите до сотых.

Решение:

Ситуация, при которой слушатели не поверят Барону Мюнхгаузену, может сложиться в результате следующих событий: рассказ действительно небылица и слушатели не поверили рассказчику или рассказ — правда, но слушатели не поверили.

Вероятности этих событий равны соответственно 0,8\cdot 0,6=0,48\ и 0,2\cdot 0,05=0,01.

События «слушатели поверили Барону Мюнхгаузену» и «слушатели ему не поверили» образуют полную группу (они несовместны, и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим: P=0,48+0,01=0,49

Вероятность того, что слушатели не поверили Барону Мюнхгаузену, равна 0,49. Это мы нашли в пункте (а).

Обозначим за х вероятность того, что рассказ Мюнхгаузена о его первой влюбленности был правдив при условии, что слушатели ему не поверили.

Тогда 0,49 х — вероятность того, что слушатели не поверили, но при этом рассказ был правдой.

С другой стороны, эта вероятность равна 0,2\cdot 0,05. Получим: 0,2\cdot 0,05=0,49x;\ \ x=\displaystyle \frac{1}{49}\ \approx 0,02.

Ответ:

0,02

11. Найдите наименьшее значение функции y=3{cos x-\pi x+\pi ^2\ } на отрезке \left[-2\pi ;\ \pi \right].

Решение:

y

y ; -3{sin x\ }=\pi \Leftrightarrow \ \ {sin x\ }=-\displaystyle \frac{\pi }{3}\ \Leftrightarrow x\in \emptyset , так как -\displaystyle \frac{\pi }{3}\textless -1

-3{sin x\ }-\pi \textless 0 при любом x, то есть y , а это означает, что y\left(x\right) - убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка \left[-2\pi ;\ \pi \right].

y_{min}=y\left(\pi \right)=-3

Ответ: -3

Часть 2. Задания с развернутым ответом

12. Анна Малкова

а) Решите уравнение: 2{{sin^3 x\ }}^{\ }-5{sin x+3=cos^2 x\ }

б) Найдите все его корни на отрезке [-3\pi ; 1]

Решение:

Из основного тригонометрического тождества: {cos}^2x=1-{sin}^2x.

2sin^3x -5sinx+3=1-{sin}^2x

Замена: sinx=t;\ \ \left|t\right|\le 1

2t^3+t^2-5t+2=0.

Разложим левую часть на множители.

Подберем целый корень уравнения среди делителей свободного члена, то есть среди делителей числа 2.

Целые делители числа 2 — это \pm 1;\pm 2.

t=1 подходит.

t=1 — корень уравнения 2t^3+t^2-5t+2=0.

Это означает, что многочлен 2t^3+t^2-5t+2 делиться на \left(t-1\right) без остатка.

Можно разделить уголком:

или можно вынести \left(t-1\right) за скобки.

2t^3+t^2-5t+2=2t^3-2t^2+3t^2-3t-2t+2=

=2t^2\left(t-1\right)+3t\left(t-1\right)-2\left(t-1\right)=\left(t-1\right)\left(2t^2+3t-2\right)

Получили: \left(t-1\right)\left({2t}^2+3t-2\right)=0\Leftrightarrow \left(t-1\right)\left(t-0,5\right)\left(t+2\right).

t=-2\ \ - не подходит т.к. \left|t\right|\le 1.

Получили: \left[ \begin{array}{c}t=1 \\t=0,5 \end{array}\right. .

Вернемся к переменной x.

\left[ \begin{array}{c}sinx=1 \\sinx=\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}\right.

Получили: \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k;\ \ \displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k;\ \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi k;\ k\in Z.

\left[ \begin{array}{c}x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k \\x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k \\x=\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi k \end{array}\ k\in Z\right.

б). Отберём корни уравнения на отрезке \left[-3\pi ;1\right] c помощью единичной окружности. Для этого отметим на единичной окружности данный отрезок и найденные серии решений.

Нарисуем две окружности. На одной отметим отрезок \left[-3\pi ;-\pi \right], на другой \left[-\pi ;1\right].

Вспомним, что 1рад = 57{}^\circ \textgreater \displaystyle \frac{\pi }{6}.

Мы видим, что отрезку \left[-3\pi ;1\right] принадлежат корни:

x_1=-2\pi +\displaystyle \frac{\pi }{6}=-\displaystyle \frac{11\pi }{6}; x_2=-2\pi +\displaystyle \frac{\pi }{2}=-\displaystyle \frac{3\pi }{2}

x_3=-2\pi +\displaystyle \frac{5\pi }{6}=-\displaystyle \frac{7\pi }{6}; x_4=\displaystyle \frac{\pi }{6} .

Ответ: а) \displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k;\ \ \displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k;\ \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi k;\ k\in Z\ \ \

б) -\displaystyle \frac{11\pi }{6};\ -\displaystyle \frac{3\pi }{2};-\displaystyle \frac{7\pi }{6};\ \ \displaystyle \frac{\pi }{6}\ .\ \ \ \ \

13. Анна Малкова

В треугольной пирамиде АВСS с вершиной S боковые ребра равны 12, углы АSB и ВSC равны 45{}^\circ, угол ASC равен 60{}^\circ.

Точки Е, F, K лежат на ребрах AS, BS, CS так, что SE = 6, SF = 8, SK = 4.

а) Докажите, что плоскость EFK делит пирамиду на многогранники, объемы которых относятся как 1 : 8.

б) Найдите угол между плоскостями SFE и SFK. Ответ запишите в градусах.

Решение:

SABC - треугольная пирамида, в которой боковые ребра SA=SB=SC=12

AE=ES=6 т.е. E — середина SA

\ SF\ =\ 8\Rightarrow FB=4.

\ SK\ =\ 4\Rightarrow KC=8.

Плоскость \left(EFK\right) отрезает от пирамиды «верхушку», и нужно найти отношение объемов полученных частей.

Воспользуемся формулой:

\displaystyle \frac{V_{SEFK}}{V_{SABC}}=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}\cdot \displaystyle \frac{SK}{SC}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \displaystyle \frac{8}{12}\cdot \displaystyle \frac{4}{12}=\displaystyle \frac{1}{9}\Rightarrow

V_{SEFK}=\displaystyle \frac{1}{9}V_{SABC}\Rightarrow V_{ABCKFE}=\displaystyle \frac{8}{9}V_{SABC}\Rightarrow

\displaystyle \frac{V_{SEFK}}{V_{ABCKFE}}=\displaystyle \frac{1}{8}.

Докажем формулу, с помощь которой нашли это отношение:

Треугольники SEF и SAB имеют по равному углу \varphi , отношение их площадей равно:

\displaystyle \frac{S_{\triangle SEF}}{S_{\triangle SAB}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot SE\cdot SF\cdot sin\varphi }{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot SA\cdot SB\cdot sin\varphi }=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}.

По формуле объема пирамиды, 

Пусть h — расстояние от точки K до плоскости \left(SEF\right) .

Пусть KK_1 — перпендикуляр из точки К на плоскость \left(SEF\right).

h=KK_1 — высота пирамиды SEFK, в основании которой лежит \triangle SEF.

Построим прямую SK_1 в плоскости \left(SAB\right).

SK_1 - проекция SK на \left(SAB\right).

Точка С лежит на прямой SK. Тогда её проекция будет лежать на прямой SK_1.

Точка C_1 — проекция точки С на плоскость \left(SAB\right), C_1\in SK_1, значит,

CC_1\bot \left(SAB\right).\

Получили:

\left. \begin{array}{c}KK_1\bot \left(\ SAB\right) \\CC_1\bot \left(SAB\right) \end{array}\right]\Rightarrow CC_1\parallel KK_1.

Мы получили подобные треугольники.

\triangle SKK_1\sim \triangle SCC_1 по двум углам, \displaystyle \frac{KK_1}{CC_1}=\displaystyle \frac{SK}{SC}.

V_{SABC}=\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SAB}\cdot CC_1

V_{SEFK}=\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SEF}\cdot KK_1

\displaystyle \frac{V_{SEFK}}{V_{SABC}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SEF}\cdot KK_1}{\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SAB}\cdot CC_1}=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}\cdot \displaystyle \frac{KK_1}{CC_1}=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}\cdot \displaystyle \frac{SK}{SC}, что и требовалось доказать.

б). Найдем угол между плоскостями \left(SFE\right) и \left(SFK\right).\ Это то же самое, что угол между плоскостями \left(SAB\right) и \left(SBC\right).

\triangle SAB=\triangle SBC по двум сторонам и углу.

Построим AH\bot SB, соединим H и C.

\triangle ASH=\triangle CSH по двум сторонам и углу. Отсюда AH=HC, значит,

\angle SHC=90{}^\circ .

Получили, что CH\ — высота \triangle SBC,

тогда \angle AHC — угол между плоскостями \ \left(SAB\right) И \left(SBC\right).

\triangle AHC; AC=12, так как \triangle ASC правильный.

\triangle SAH — прямоугольный и равнобедренный \Rightarrow

AH=\displaystyle \frac{12}{\sqrt{2}} .

AH=CH=\displaystyle \frac{12}{\sqrt{2}}\ ;\ \ AC=12\ \Rightarrow \triangle AHC - равнобедренный и прямоугольный, для него выполняется теорема Пифагора. Получили \angle H=90{}^\circ

Ответ: 90{}^\circ

14. ФИПИ

Решите неравенство:

{{log}_3 \displaystyle \frac{1}{x}\ }+{{log}_3 \left(x^2+3x-9\right)\le {{log}_3 \left(x^2+3x+\displaystyle \frac{1}{x}-10\right).\ }\ }

Решение.

{{log}_3 \displaystyle \frac{1}{x}\ }+{{log}_3 \left(x^2+3x-9\right)\le {{log}_3 \left(x^2+3x+\displaystyle \frac{1}{x}-10\right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x\textgreater 0 \\x^2+3x-9\textgreater 0 \\x^2+3x+\displaystyle \frac{1}{x}-10\textgreater 0 \\0\textless \displaystyle \frac{x^2+3x-9}{x}\le \displaystyle \frac{x^3+3x^2-10+1}{x} \end{array}\right.\ }\ }

(третье неравенство следует из остальных)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x\textgreater 0 \\x^2+3x-9\textgreater 0 \\x^2+3x-9\le x^3+3x^2-10x+1 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x\textgreater 0 \\x^2+3x-9\textgreater 0 \\x^3+2x^2-13x+10\ge 0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x\textgreater 0 \\x^2+3x-9\textgreater 0 \\\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge 0 \end{array}\right.\right.\right.

x^3+2x^2-13x+10=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)

x=1 корень

3 неравенства с учётом x\textgreater 0:

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}0\textless x\le 1 \\x\ge 2 \end{array}\right. \\\left[ \begin{array}{c}x\textless \displaystyle \frac{-3-3\sqrt{5}}{2} \\x\textgreater \displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2} \end{array}\right. \end{array}\right.
\displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2}\textgreater 1;\displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2}\textless 2

Ответ: \left[2;\ +\infty \right)

15. В 2015 году Федор взял в кредит сумму S на 6 лет под 25% годовых, причем вначале банк начисляет проценты, затем Федор переводит в банк определенную сумму денег. По условиям кредита, в 2016, 2017, 2018 и 2019 годах после очередной выплаты сумма долга ежегодно уменьшается на 1/10 первоначальной величины, выплаты 2020 и 2021 годов равны. Всего Федор выплатил 250 тысяч рублей. Найдите S.

Решение:

Составим схему погашения кредита в 2016 — 2019 годах

Первые выплаты:

z_1=kS-0,9S

z_2=0,9kS-0,8S

z_3=0,8kS-0,7S

z_4=0,7kS-0,6S

Сумма выплат за 4 года:

z_1+z_2+z_3+z_4=kS\left(1+0,9+0,8+0,7\right)-S\left(0,9+0,8+0,7+0,6\right)=

=kS\cdot 3,4-3S

k=1+\displaystyle \frac{p}{100}=1,25=\displaystyle \frac{5}{4}

z_1+z_2+z_3+z_4=S\cdot \left(3,4\cdot \displaystyle \frac{5}{4}-3\right)=S\cdot \left(\displaystyle \frac{17}{4}-3\right)=\displaystyle \frac{5}{4}S

Пусть выплаты 2020 и 2021 года равны x

\left(0,6kS-x\right)\cdot k-x=0

0,6k^2S-x\left(k+1\right)=0

x=\displaystyle \frac{0,6k^2S}{k+1}=\displaystyle \frac{3\cdot 4\cdot 25}{5\cdot 9\cdot 16}\cdot S=\displaystyle \frac{5}{12}S

Выплаты за 2020 и 2021 годы: 2x=\displaystyle \frac{5}{6}S

Всего выплачено:

B=\left(\displaystyle \frac{5}{4}+\displaystyle \frac{5}{6}\right)S=\displaystyle \frac{5}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}\right)S=\displaystyle \frac{25}{12}S

\displaystyle \frac{25}{12}S=250 тыс.рублей

S=120 тыс. рублей

Ответ: 120 тыс. рублей

16. ФИПИ

Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (\angle A=90^\circ) и AK=2AN. Точка B — середина стороны KN.

а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.

б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P, LP = 2. Найдите PM.

Решение:

Дан квадрат KLNM и прямоугольный треугольник KAN.

\angle A=90{}^\circ ; AK=2AN.

Точка В — середина KN.

Докажем, что BM\parallel AN.

Точка В — середина KN\Rightarrow NM=2KB,AK=2AN, поэтому \triangle KAN\sim \triangle MNB по прямому углу и двум сторонам.

Отсюда \angle ANB=\angle NBM как соответственные,

Рассмотрим прямые AN и BM и секущую BN.

\angle ANB=\angle NBM - накрест лежащие, значит

\Rightarrow AN\parallel BM, что и требовалось доказать.

б) AO\cap ML=P, LP=2. Найдем PM.

О — точка пересечения диагоналей квадрата KLNM,

\triangle ONK прямоугольный и равнобедренный.

\angle O=90{}^\circ ,\ \angle ONK=45{}^\circ .\

Четырехугольник ANOK можно вписать в окружность, так как

\angle A+\angle O=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ .

Пусть Q=AO\cap NK,

\angle ONK=\angle OAK — вписанные, опираются на дугу OK.

\angle ONK=\angle OAK=45{}^\circ \Rightarrow \angle QAN=90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ ,

\left. \begin{array}{c}\angle OAK=45{}^\circ \\\angle QAN=45{}^\circ \end{array}\right\}\Rightarrow AQ - биссектриса \triangle KAN

По свойству биссектрисы угла треугольника,

\displaystyle \frac{NQ}{KQ}=\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{AN}{AK}\Rightarrow KQ=2NQ.

\triangle QON=\triangle POL (по стороне и двум углам),

PL=NQ=2, QK=4

\triangle QOK=\triangle POM\Rightarrow PM=4.

Ответ: 4

17. МГУ

При каких значениях параметра а система уравнений

\left\{ \begin{array}{c}y^2-\left(2a+1\right)y+a^2+a-2=0 \\\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2}=3 \end{array}\right.

имеет единственное решение?

Решение:

Решим систему графически в координатах \left(x;y\right).

Первое уравнение:

y^2-\left(2a+1\right)y+a^2+a-2=0; раскроем скобки и сгруппируем слагаемые.

y^2-2ay-y+a^2+a-2=0\Leftrightarrow {\left(y-a\right)}^2-\left(y-a\right)-2=0

Замена y-a=z,

z^2-z-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}z=2 \\z=-1 \end{array}\right..

Вернемся к переменный а и у.

\left[ \begin{array}{c}y-a=2 \\y-a=-1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}y=a+2 \\y=a-1 \end{array}\right.

График первого уравнения — две горизонтальные прямые, расстояние между которыми равно 3.

Второе уравнение — это уравнение отрезка.

Вспомним, что уравнение вида

\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(x-b\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-d\right)}^2}=\sqrt{{\left(c-a\right)}^2+{\left(d-b\right)}^2} задает отрезок \left[MN\right]. Здесь P\left(x;y\right) — любая точка этого отрезка,

M\left(a;b\right) и N\left(c;d\right) - концы отрезка. В нашем случае

\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2}=3

Концы отрезка — точки A\left(a;0\right) и B\left(a;3\right).

Второе уравнение задает множество отрезков \left[AB\right], двигающихся вдоль оси X параллельно оси Y, длиной \left|AB\right|=3.

Система имеет единственное решение, если только одна из горизонтальных прямых y=a+2;\ \ y=a-1 пересекает отрезок, а другая прямая не пересекает.

Возможны случаи:

\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}0\le a-1\le 3 \\a+2\textgreater 3 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}0\le a+2\le 3 \\a-1\textless 0 \end{array}\right. \end{array}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}1\le a\le 4 \\a\textgreater 1 \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}-2\le a\le 1 \\a\textless 1 \end{array}\right. \end{array}\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}1\textless a\le 4 \\-2\le a\textless 1 \end{array}\right.

Ответ: a\in [-2;1)\cup (1;4] .

18. Студент Василий выбирает для Маши букет в День Святого Валентина. Красная роза стоит 220 рублей, розовая 190 рублей. Василий хочет, чтобы число розовых и красных роз в букете отличалось не больше, чем на 3. Всего у Василия с собой 2900 рублей.

а) Может ли Василий купить для Маши 11 роз?

б) Может ли Василий купить букет из 15 роз?

в) Какое наибольшее количество роз может быть в букете, если это число нечетно?

Решение

Вопросы пунктов а), б) и в) похожи. Поэтому сделаем «заготовку» сразу для всех пунктов задачи.

Пусть x — количество красных роз, y - количество розовых. Тогда

\ 220x+190y\le 2900

22x+19y\le 290

Число красных роз отличается от числа розовых не больше, чем на 3. Значит,

| y -  x | \leq 3, то есть -3\le y-x\le 3.

Мы получили систему неравенств

\left\{ \begin{array}{c}22x+19y\le 290, \\-3\le y-x\le 3 \end{array}\right.

В каждом из пунктов (а), (б) и (в) задается вопрос о том, сколько всего роз можно купить в данных условиях. Обозначим k = x + y — число роз. Выразим отсюда y = k — x и получим систему неравенств с переменными х и k.

\left\{ \begin{array}{c}19k+3x\le 290, \\\displaystyle \frac{k-3}{2}\le x\le \displaystyle \frac{k+3}{2} \end{array}\right.

а) Пусть k = 11. Получим: \left\{ \begin{array}{c}x\le 27, \\\ 4\le x\le 7, \end{array}\right. можно.

Пример: Возьмем x = 7 и y = 4. Букет будет стоить 2300 рублей.

б) Пусть k = 15. Получим: \left\{ \begin{array}{c}3x\le 5, \\\ 6\le x\le 9. \end{array}\right.

Эта система не имеет решений. Значит, 15 роз Василий не купит.

в) Мы получили, что 11 роз купить можно, а 15 нельзя, причем число роз нечетно. Проверим, можно ли купить букет из 13 роз.

При k = 13 получим: \left\{ \begin{array}{c}x\le 14 \frac{1}{3}, \\\ 5\le x\le 8. \end{array}\right., так как x \in Z, то \left\{\begin{matrix}x\leq 14\\ 5\leq x \leq 8\end{matrix}\right.

Возьмем x = 8, y =5.

Букет будет стоить: 8 \cdot 220 + 5 \cdot 190 = 2710 рублей.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 13