Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=vHRkJiQvnIw\&t=11679s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны \(\sqrt{6}\) и \(2\sqrt{3}\) соответственно. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Решение:
По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника АВС: \({AB}^2={AC}^2+{BC}^2\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(\sqrt{6}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{6+12}=\sqrt{18}\)
Найдем высоту, проведенную к гипотенузе, через площадь треугольника
\(S_{\triangle ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}AC\cdot BC=\displaystyle \frac{1}{2}AB\cdot h\Rightarrow \)
\(h=\displaystyle \frac{AC\cdot BC}{AB}=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{18}}=\displaystyle \frac{2\sqrt{18}}{\sqrt{18}}=2\)
Ответ: 2
2. Анна Малкова
Найдите объем детали, изображенной на рисунке, если диаметр основания цилиндра равен 10, высота равна \(\displaystyle \frac{4}{\pi }\), а диаметр цилиндрического отверстия равен 4.
Решение:
Так как диаметр основания равен 10, его радиус равен 5. Радиус цилиндрического отверстия равен 2.
Объем цилиндра V = \(\pi R^2h\).
Мы видим, что из большого цилиндра вырезан меньший, и объем детали равен
\(V = \pi R^2h- \pi r^2h=\ \pi h\left(5^2-2^2\right)=\pi \frac{4\cdot 21}{\pi}=84 \).
Разделив на \(\pi \), получим ответ.
Ответ: 84
3. Арлен Близаров
Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии Кончиты. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу, равна 0,1 в отдельно взятый вечер. Какие шансы, что Хуан Гарсия завоюет сердце Сесилии Кончиты, если её соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?
Решение:
Вероятность получить красную розу в отдельно взятый вечер равна 0,1. Хуан Гарсия, если повезет, получит ее в первый вечер. Тогда он приглашает Кончиту на свидание и больше под окном не бренчит. Хуан Гарсия может получить красную розу во второй, в третий или в четвертый вечер, причем вероятности каждого из этих событий разные.
Вероятность того, что Хуан Гарсия так и не добился взаимности Сесилии Кончиты, равна
\(P_1=0,9\cdot 0,9\cdot 0,9\cdot 0,9=0,6561.\)
Вычитая из единицы это число, получим вероятность благоприятного исхода для Хуана Гарсии: \(1-0,6561=0,3439.\)
Ответ: 0,3439
4. Татьяна Сиротина
Барон Мюнхгаузен в 80% случаев рассказывает небылицу. Если его рассказ — выдумка, то в 60% случаев ему не верят. А, если его рассказ правдив, то ему верят в 95% случаев.
Однажды Барон рассказал историю о том, как он первый раз влюбился. Слушатели не поверили. С какой вероятностью эта история была правдой? Ответ округлите до сотых.
Решение:
Ситуация, при которой слушатели не поверят Барону Мюнхгаузену, может сложиться в результате следующих событий: рассказ действительно небылица и слушатели не поверили рассказчику или рассказ — правда, но слушатели не поверили.
Вероятности этих событий равны соответственно \(0,8\cdot 0,6=0,48\ \) и \(0,2\cdot 0,05=0,01.\)
События «слушатели поверили Барону Мюнхгаузену» и «слушатели ему не поверили» образуют полную группу (они несовместны, и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим: \(P=0,48+0,01=0,49\)
Вероятность того, что слушатели не поверили Барону Мюнхгаузену, равна 0,49. Это мы нашли в пункте (а).
Обозначим за х вероятность того, что рассказ Мюнхгаузена о его первой влюбленности был правдив при условии, что слушатели ему не поверили.
Тогда 0,49 х — вероятность того, что слушатели не поверили, но при этом рассказ был правдой.
С другой стороны, эта вероятность равна \(0,2\cdot 0,05\). Получим: \(0,2\cdot 0,05=0,49x;\ \ x=\displaystyle \frac{1}{49}\ \approx 0,02.\)
Ответ: 0,02
5. Татьяна Сиротина
Решите уравнение:
\({\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)}^{-x^2-\displaystyle \frac{3}{2}}=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4^x}\)
Решение:
\(2^{x^2+\displaystyle \frac{3}{2}}=2^{-2x+\displaystyle \frac{1}{2}}\)
\(x^2+\displaystyle \frac{3}{2}=-2x+\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(x^2+2x+1=0\)
\({\left(x+1\right)}^2=0\)
\(x=-1\)
6. Анна Малкова
Вычислите: \(\sqrt{{1013}^2-16{\cdot 253}^2}\)
Решение:
Применяем формулу разности квадратов \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right)\)
\(\sqrt{{1013}^2-16\cdot {253}^2}=\sqrt{{1013}^2-{\left(4\cdot 253\right)}^2}=\)
\(=\sqrt{\left(1013-1012\right)\left(1013+1012\right)}=\sqrt{2025}=45\)
Ответ: 45
7. Анна Малкова
Прямая \(y=7x+b\) касается графика функции \(f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4\), причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.
Запишем условие касания:
\(\left\{ \begin{array}{c}
f\left(x\right)=kx+b \\
f'=k \end{array}
\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
2x^3-x^2+3x-4=7x+b \\
6x^2-2x+3=7 \end{array}
\right.\)
Начнем со второго уравнения
\(6x^2-2x-4=0\)
\(D=b^2-4ac=4+4\cdot 6\cdot 4=4\cdot 25={10}^2x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\displaystyle \frac{2\pm 10}{12}\)
\(x_1=1;\ \ x_2=-\displaystyle \frac{2}{3}\)
Т.к. \(x_0\textgreater 0\), то \(x_0=1\).
Найдем \(b,\) подставив \(x_0\ \) в первое уравнение:
\(2x^3-x^2+3x-4=7x+b,\) отсюда
\(b=-7.\)
Ответ: -7.
8. ФИПИ
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f=30\ \) см.
Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\displaystyle \frac{1}{d_1 }+\displaystyle \frac{1}{d_2 }=\displaystyle \frac{1}{f}\) Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение:
Фокусное расстояние линзы известно. Но какое же значение \(d_2\) (расстояние от линзы до экрана) надо подставлять в формулу? Нам надо найти наименьшее расстояние от лампочки до линзы \(d_1\). Если \(d_1\) — наименьшее, то обратная величина \(\displaystyle \frac{1}{d_1}\) будет наибольшей. Поскольку \(\displaystyle \frac{1}{f}\) — константа, второе слагаемое \(\displaystyle \frac{1}{d_2\ }\ \) в формуле линзы должно быть наименьшим, а обратная ему величина \(d_2\) — наибольшей, то есть равной 180. Подставим данные в формулу:
\(\displaystyle \frac{1}{d_1}+\displaystyle \frac{1}{180}=\displaystyle \frac{1}{30},\)
\(d_1=36. \)
Ответ: 36.
9. Александра Антонова
Василий поссорился с Машей, и они с одинаковыми скоростями пошли по улице в противоположных направлениях. Через 10 минут Василий повернул назад и, увеличив скорость в три раза, стал догонять Машу (чтобы помириться). Через сколько минут Василий догнал Машу?
Решение:
Пусть x — скорости Василия и Маши, когда они двигались в противоположных направлениях. За 10 минут расстояние между Василием и Машей стало равно 10x + 10x = 20x.
Затем Василий повернул назад со скоростью 3x. За время, равное t, Василий смог догнать Машу. Составим таблицу:
v | t | S | |
Маша | x | t | xt |
Василий | 3x | t | 3xt |
С того момента, как Василий повернул назад, до момента их встречи Василий прошел на 20х больше, чем Маша, то есть \(3xt-xt=20x.\ \)
Отсюда \(2xt=20x,\; t=10\) минут.
Ответ: 10.
10. Графики функций \(\ f\left(x\right)=3{\left(x+1\right)}^2\) и g(x) пересекаются в точках А и В. По данным рисунка найдите абсциссу точки В.
Решение:
Запишем формулу функции \(y=g(x)\).
Ее график — квадратичная парабола \(g\left(x\right)=a_{\ }x^2+b_{\ }x+c_{\ };\)
\(g\left(-2\right)=3;\)
\(g\left(-4\right)=-5,\) то есть
\(\left\{ \begin{array}{c}
a_{\ }\cdot {\left(-2\right)}^2+b_{\ }\cdot \left(-2\right)+c_{\ }=3 \\
a_{\ }\cdot {\left(-4\right)}^2+b_{\ }\cdot \left(-4\right)+c_{\ }=-5 \end{array}
\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
4a_{\ }-2b_{\ }+c_{\ }=3 \\
16a_{\ }-4b_{\ }+c_{\ }=-5 \end{array}
\right.\)
Вычитаем из первого уравнения второе:
\(-12a_{\ }+2b_{\ }=8,\) то есть.
\(-6a_{\ }+b_{\ }=4.\)
Так как \(x=-4\) — абсцисса вершины параболы,
\(-\displaystyle \frac{b_{\ }}{2a_{\ }}=-4,\)
\(b_{\ }=8a_{\ .}\)
Получим:
\(\left\{ \begin{array}{c}
-6a_{\ }+8a_{\ }=4 \\
b_{\ }=8a_{\ } \end{array}
\right.\)
\(\left\{ \begin{array}{c}
a_{\ }=2 \\
b_{\ }=16 \end{array}
\right.\)
Подставив в уравнение \(4a_{\ }-2b_{\ }+c_{\ }=3,\) получаем:
\(8-32+c_{\ }=3;\)
\(c_{\ }=27. \)
Значит, \(y=2x^2+16x+27.\)
Найдем точки пересечения графиков \(f(x)\) и \(g(x)\).
Для этих точек: \(f\left(x\right)=g(x)\)
\(3x^2+6x+3=2x^2+16x+27;\)
\(x^2-10x-24=0;\)
\(D=100+96=196;\)
\(\sqrt{D}=14\)
\(x=-2\) или \(x=12.\)
Абсцисса точки A равна -2 (как и показано на рисунке). Тогда абсцисса точки B равно 12.
Ответ: 12.
11. Найдите наименьшее значение функции \(y=3{cos x-\pi x+\pi ^2\ }\) на отрезке \(\left[-2\pi ;\ \pi \right]\).
Решение:
\(y'=-3{sin x\ }-\pi \)
\(y'=0\) ; \(-3{sin x\ }=\pi \Leftrightarrow \ \ {sin x\ }=-\displaystyle \frac{\pi }{3}\ \Leftrightarrow x\in \emptyset \) , так как \(-\displaystyle \frac{\pi }{3}\textless -1\)
\(-3{sin x\ }-\pi \textless 0\) при любом x, то есть \(y'\textless 0\) , а это означает, что \(y\left(x\right)\) - убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка \(\left[-2\pi ;\ \pi \right]\).
\(y_{min}=y\left(\pi \right)=-3\)
Ответ: -3
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Анна Малкова
а) Решите уравнение: \(2{{sin^3 x\ }}^{\ }-5{sin x+3=cos^2 x\ }\)
б) Найдите все его корни на отрезке [-3\(\pi \); 1]
Решение:
Из основного тригонометрического тождества: \({cos}^2x=1-{sin}^2x\).
\(2sin^3x -5sinx+3=1-{sin}^2x\)
Замена: \(sinx=t;\ \ \left|t\right|\le 1\)
\(2t^3+t^2-5t+2=0.\)
Разложим левую часть на множители.
Подберем целый корень уравнения среди делителей свободного члена, то есть среди делителей числа 2.
Целые делители числа 2 — это \(\pm 1;\pm 2.\)
\(t=1\) подходит.
\(t=1\) — корень уравнения \(2t^3+t^2-5\)\(t+2=0.\)
Это означает, что многочлен \(2t^3+t^2-5t+2\) делиться на \(\left(t-1\right)\) без остатка.
Можно разделить уголком:
или можно вынести \(\left(t-1\right)\) за скобки.
\(2t^3+t^2-5t+2=2t^3-2t^2+3t^2-3t-2t+2=\)
\(=2t^2\left(t-1\right)+3t\left(t-1\right)-2\left(t-1\right)=\left(t-1\right)\left(2t^2+3t-2\right)\)
Получили: \(\left(t-1\right)\left({2t}^2+3t-2\right)=0\Leftrightarrow \left(t-1\right)\left(t-0,5\right)\left(t+2\right).\)
\(t=-2\ \ \) - не подходит т.к. \(\left|t\right|\le 1\).
Получили: \(\left[ \begin{array}{c}
t=1 \\
t=0,5 \end{array}
\right.\) .
Вернемся к переменной \(x.\)
\(\left[ \begin{array}{c}
sinx=1 \\
sinx=\displaystyle \frac{1}{2} \end{array}
\right.\)
Получили: \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k;\ \ \displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k;\ \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi k;\ k\in Z.\)
\(\left[ \begin{array}{c}
x=\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k \\
x=\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k \\
x=\displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi k \end{array}
\ k\in Z\right.\)
б). Отберём корни уравнения на отрезке \(\left[-3\pi ;1\right]\) c помощью единичной окружности. Для этого отметим на единичной окружности данный отрезок и найденные серии решений.
Нарисуем две окружности. На одной отметим отрезок \(\left[-3\pi ;-\pi \right]\), на другой \(\left[-\pi ;1\right]\).
Вспомним, что 1рад = \(57{}^\circ \textgreater \displaystyle \frac{\pi }{6}\).
Мы видим, что отрезку \(\left[-3\pi ;1\right]\) принадлежат корни:
\(x_1=-2\pi +\displaystyle \frac{\pi }{6}=-\displaystyle \frac{11\pi }{6}; x_2=-2\pi +\displaystyle \frac{\pi }{2}=-\displaystyle \frac{3\pi }{2}\)
\(x_3=-2\pi +\displaystyle \frac{5\pi }{6}=-\displaystyle \frac{7\pi }{6}; x_4=\displaystyle \frac{\pi }{6} .\)
Ответ: а) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}+2\pi k;\ \ \displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi k;\ \displaystyle \frac{5\pi }{6}+2\pi k;\ k\in Z\ \ \ \)
б) \(-\displaystyle \frac{11\pi }{6}\);\(\ -\displaystyle \frac{3\pi }{2};-\displaystyle \frac{7\pi }{6};\ \ \displaystyle \frac{\pi }{6}\ .\ \ \ \ \ \)
13. Анна Малкова
В треугольной пирамиде АВСS с вершиной S боковые ребра равны 12, углы АSB и ВSC равны 45\({}^\circ\), угол ASC равен 60\({}^\circ\).
Точки Е, F, K лежат на ребрах AS, BS, CS так, что SE = 6, SF = 8, SK = 4.
а) Докажите, что плоскость EFK делит пирамиду на многогранники, объемы которых относятся как 1 : 8.
б) Найдите угол между плоскостями SFE и SFK. Ответ запишите в градусах.
Решение:
\(SABC\) - треугольная пирамида, в которой боковые ребра \(SA=SB=SC=12\)
\(AE=ES=6\) т.е. E — середина SA
\(\ SF\ =\ 8\Rightarrow FB=4.\)
\(\ SK\ =\ 4\Rightarrow KC=8.\)
Плоскость \(\left(EFK\right)\) отрезает от пирамиды «верхушку», и нужно найти отношение объемов полученных частей.
Воспользуемся формулой:
\(\displaystyle \frac{V_{SEFK}}{V_{SABC}}=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}\cdot \displaystyle \frac{SK}{SC}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \displaystyle \frac{8}{12}\cdot \displaystyle \frac{4}{12}=\displaystyle \frac{1}{9}\Rightarrow \)
\(V_{SEFK}=\displaystyle \frac{1}{9}V_{SABC}\Rightarrow V_{ABCKFE}=\displaystyle \frac{8}{9}V_{SABC}\Rightarrow \)
\(\displaystyle \frac{V_{SEFK}}{V_{ABCKFE}}=\displaystyle \frac{1}{8}.\)
Докажем формулу, с помощь которой нашли это отношение:
Треугольники \(SEF\) и \(SAB\) имеют по равному углу \(\varphi \), отношение их площадей равно:
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle SEF}}{S_{\triangle SAB}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot SE\cdot SF\cdot sin\varphi }{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot SA\cdot SB\cdot sin\varphi }=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}.\)
Пусть h — расстояние от точки \(K\) до плоскости \(\left(SEF\right)\) .
Пусть \(KK_1\) — перпендикуляр из точки К на плоскость \(\left(SEF\right).\)
\(h=KK_1\) — высота пирамиды \(SEFK\), в основании которой лежит \(\triangle SEF\).
Построим прямую \(SK_1\) в плоскости \(\left(SAB\right)\).
\(SK_1\) - проекция \(SK\) на \(\left(SAB\right)\).
Точка С лежит на прямой \(SK\). Тогда её проекция будет лежать на прямой \(SK_1\).
Точка \(C_1\) — проекция точки С на плоскость \(\left(SAB\right)\), \(C_1\in SK_1,\) значит,
\(CC_1\bot \left(SAB\right).\ \)
Получили:
\(\left. \begin{array}{c}
KK_1\bot \left(\ SAB\right) \\
CC_1\bot \left(SAB\right) \end{array}
\right]\Rightarrow CC_1\parallel KK_1.\)
Мы получили подобные треугольники.
\(\triangle SKK_1\sim \triangle SCC_1\) по двум углам, \(\displaystyle \frac{KK_1}{CC_1}=\displaystyle \frac{SK}{SC}\).
\(V_{SABC}=\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SAB}\cdot CC_1\)
\(V_{SEFK}=\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SEF}\cdot KK_1\)
\(\displaystyle \frac{V_{SEFK}}{V_{SABC}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SEF}\cdot KK_1}{\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle SAB}\cdot CC_1}=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}\cdot \displaystyle \frac{KK_1}{CC_1}=\displaystyle \frac{SE}{SA}\cdot \displaystyle \frac{SF}{SB}\cdot \displaystyle \frac{SK}{SC}\), что и требовалось доказать.
б). Найдем угол между плоскостями \(\left(SFE\right)\) и \(\left(SFK\right).\ \) Это то же самое, что угол между плоскостями \(\left(SAB\right)\) и \(\left(SBC\right)\).
\(\triangle SAB=\triangle SBC\) по двум сторонам и углу.
Построим \(AH\bot SB\), соединим \(H\) и \(C\).
\(\triangle ASH=\triangle CSH\) по двум сторонам и углу. Отсюда \(AH=HC,\) значит,
\(\angle SHC=90{}^\circ .\)
Получили, что \(CH\ \)— высота \(\triangle SBC\),
тогда \(\angle AHC\) — угол между плоскостями \(\ \left(SAB\right)\) И \(\left(SBC\right)\).
\(\triangle AHC;\) \(AC=12,\) так как \( \triangle ASC\) правильный.
\(\triangle SAH\) — прямоугольный и равнобедренный \(\Rightarrow \)
\(AH=\displaystyle \frac{12}{\sqrt{2}} . \)
\(AH=CH=\displaystyle \frac{12}{\sqrt{2}}\ ;\ \ AC=12\ \Rightarrow \triangle AHC\) - равнобедренный и прямоугольный, для него выполняется теорема Пифагора. Получили \(\angle H=90{}^\circ \)
Ответ: \(90{}^\circ \)
14. ФИПИ
Решите неравенство:
\({{log}_3 \displaystyle \frac{1}{x}\ }+{{log}_3 \left(x^2+3x-9\right)\le {{log}_3 \left(x^2+3x+\displaystyle \frac{1}{x}-10\right).\ }\ }\)
Решение.
\({{log}_3 \displaystyle \frac{1}{x}\ }+{{log}_3 \left(x^2+3x-9\right)\le {{log}_3 \left(x^2+3x+\displaystyle \frac{1}{x}-10\right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x\textgreater 0 \\
x^2+3x-9\textgreater 0 \\
x^2+3x+\displaystyle \frac{1}{x}-10\textgreater 0 \\
0\textless \displaystyle \frac{x^2+3x-9}{x}\le \displaystyle \frac{x^3+3x^2-10+1}{x} \end{array}
\right.\ }\ }\)
(третье неравенство следует из остальных)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x\textgreater 0 \\
x^2+3x-9\textgreater 0 \\
x^2+3x-9\le x^3+3x^2-10x+1 \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x\textgreater 0 \\
x^2+3x-9\textgreater 0 \\
x^3+2x^2-13x+10\ge 0 \end{array}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x\textgreater 0 \\
x^2+3x-9\textgreater 0 \\
\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge 0 \end{array}
\right.\right.\right.\)
\(x^3+2x^2-13x+10=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\)
\(x=1\) корень
3 неравенства с учётом \(x\textgreater 0:\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
0\textless x\le 1 \\
x\ge 2 \end{array}
\right. \\
\left[ \begin{array}{c}
x\textless \displaystyle \frac{-3-3\sqrt{5}}{2} \\
x\textgreater \displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2} \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
\(\displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2}\textgreater 1;\displaystyle \frac{3\sqrt{5}-3}{2}\textless 2\)
Ответ: \(\left[2;\ +\infty \right)\)
15. В 2015 году Федор взял в кредит сумму S на 6 лет под 25% годовых, причем вначале банк начисляет проценты, затем Федор переводит в банк определенную сумму денег. По условиям кредита, в 2016, 2017, 2018 и 2019 годах после очередной выплаты сумма долга ежегодно уменьшается на 1/10 первоначальной величины, выплаты 2020 и 2021 годов равны. Всего Федор выплатил 250 тысяч рублей. Найдите S.
Решение:
Составим схему погашения кредита в 2016 — 2019 годах
Первые выплаты:
\(z_1=kS-0,9S\)
\(z_2=0,9kS-0,8S\)
\(z_3=0,8kS-0,7S\)
\(z_4=0,7kS-0,6S\)
Сумма выплат за 4 года:
\(z_1+z_2+z_3+z_4=kS\left(1+0,9+0,8+0,7\right)-S\left(0,9+0,8+0,7+0,6\right)=\)
\(=kS\cdot 3,4-3S\)
\(k=1+\displaystyle \frac{p}{100}=1,25=\displaystyle \frac{5}{4}\)
\(z_1+z_2+z_3+z_4=S\cdot \left(3,4\cdot \displaystyle \frac{5}{4}-3\right)=S\cdot \left(\displaystyle \frac{17}{4}-3\right)=\displaystyle \frac{5}{4}S\)
Пусть выплаты 2020 и 2021 года равны x
\(\left(0,6kS-x\right)\cdot k-x=0\)
\(0,6k^2S-x\left(k+1\right)=0\)
\(x=\displaystyle \frac{0,6k^2S}{k+1}=\displaystyle \frac{3\cdot 4\cdot 25}{5\cdot 9\cdot 16}\cdot S=\displaystyle \frac{5}{12}S\)
Выплаты за 2020 и 2021 годы: \(2x=\displaystyle \frac{5}{6}S\)
Всего выплачено:
\(B=\left(\displaystyle \frac{5}{4}+\displaystyle \frac{5}{6}\right)S=\displaystyle \frac{5}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}\right)S=\displaystyle \frac{25}{12}S\)
\(\displaystyle \frac{25}{12}S=250\) тыс.рублей
S=120 тыс. рублей
Ответ: 120 тыс. рублей
16. ФИПИ
Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (\(\angle A=90^\circ\)) и AK=2AN. Точка B — середина стороны KN.
а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.
б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P, LP = 2. Найдите PM.
Решение:
Дан квадрат \(KLNM\) и прямоугольный треугольник \(KAN\).
\(\angle A=90{}^\circ ; AK=2AN.\)
Точка В — середина \(KN\).
Докажем, что \(BM\parallel AN\).
Точка В — середина \(KN\Rightarrow NM=2KB,AK=2AN\), поэтому \(\triangle KAN\sim \triangle MNB\) по прямому углу и двум сторонам.
Отсюда \(\angle ANB=\angle NBM\) как соответственные,
Рассмотрим прямые \(AN\) и \(BM\) и секущую \(BN\).
\(\angle ANB=\angle NBM\) - накрест лежащие, значит
\(\Rightarrow AN\parallel BM\), что и требовалось доказать.
б) \(AO\cap ML\)=P, LP=2. Найдем PM.
О — точка пересечения диагоналей квадрата \(KLNM,\)
\(\triangle ONK\) прямоугольный и равнобедренный.
\(\angle O=90{}^\circ ,\ \angle ONK=45{}^\circ .\ \)
Четырехугольник \(ANOK\) можно вписать в окружность, так как
\(\angle A+\angle O=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ .\)
Пусть \(Q=AO\cap NK,\)
\(\angle ONK=\angle OAK\) — вписанные, опираются на дугу OK.
\(\angle ONK=\angle OAK=45{}^\circ \Rightarrow \angle QAN=90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ ,\)
\(\left. \begin{array}{c}
\angle OAK=45{}^\circ \\
\angle QAN=45{}^\circ \end{array}
\right\}\Rightarrow \) AQ - биссектриса \(\triangle KAN\)
По свойству биссектрисы угла треугольника,
\(\displaystyle \frac{NQ}{KQ}=\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{AN}{AK}\Rightarrow KQ=2NQ.\)
\(\triangle QON=\triangle POL\) (по стороне и двум углам),
\(PL=NQ=2, QK=4\)
\(\triangle QOK=\triangle POM\Rightarrow PM=4.\)
Ответ: 4
17. МГУ
При каких значениях параметра а система уравнений
\(\left\{ \begin{array}{c}
y^2-\left(2a+1\right)y+a^2+a-2=0 \\
\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2}=3 \end{array}
\right.\)
имеет единственное решение?
Решение:
Решим систему графически в координатах \(\left(x;y\right).\)
Первое уравнение:
\(y^2-\left(2a+1\right)y+a^2+a-2=0;\) раскроем скобки и сгруппируем слагаемые.
\(y^2-2ay-y+a^2+a-2=0\Leftrightarrow {\left(y-a\right)}^2-\left(y-a\right)-2=0\)
Замена \(y-a=z\),
\(z^2-z-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
z=2 \\
z=-1 \end{array}
\right.\).
Вернемся к переменный а и у.
\(\left[ \begin{array}{c}
y-a=2 \\
y-a=-1 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
y=a+2 \\
y=a-1 \end{array}
\right.\)
График первого уравнения — две горизонтальные прямые, расстояние между которыми равно 3.
Второе уравнение — это уравнение отрезка.
Вспомним, что уравнение вида
\(\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(x-b\right)}^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-d\right)}^2}=\sqrt{{\left(c-a\right)}^2+{\left(d-b\right)}^2}\) задает отрезок \(\left[MN\right].\) Здесь \(P\left(x;y\right)\) — любая точка этого отрезка,
\(M\left(a;b\right)\) и \(N\left(c;d\right)\) - концы отрезка. В нашем случае
\(\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2}=3\)
Концы отрезка — точки \(A\left(a;0\right)\) и \(B\left(a;3\right).\)
Второе уравнение задает множество отрезков \(\left[AB\right]\), двигающихся вдоль оси \(X\) параллельно оси Y, длиной \(\left|AB\right|=3\).
Система имеет единственное решение, если только одна из горизонтальных прямых \(y=a+2;\ \ y=a-1\) пересекает отрезок, а другая прямая не пересекает.
Возможны случаи:
\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
0\le a-1\le 3 \\
a+2\textgreater 3 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
0\le a+2\le 3 \\
a-1\textless 0 \end{array}
\right. \end{array}
\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
1\le a\le 4 \\
a\textgreater 1 \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
-2\le a\le 1 \\
a\textless 1 \end{array}
\right. \end{array}
\Leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c}
1\textless a\le 4 \\
-2\le a\textless 1 \end{array}
\right.\)
Ответ: \(a\in [-2;1)\cup (1;4]\) .
18. Студент Василий выбирает для Маши букет в День Святого Валентина. Красная роза стоит 220 рублей, розовая 190 рублей. Василий хочет, чтобы число розовых и красных роз в букете отличалось не больше, чем на 3. Всего у Василия с собой 2900 рублей.
а) Может ли Василий купить для Маши 11 роз?
б) Может ли Василий купить букет из 15 роз?
в) Какое наибольшее количество роз может быть в букете, если это число нечетно?
Решение
Вопросы пунктов а), б) и в) похожи. Поэтому сделаем «заготовку» сразу для всех пунктов задачи.
Пусть x — количество красных роз, y - количество розовых. Тогда
\(\ 220x+190y\le 2900\)
\(22x+19y\le 290\)
Число красных роз отличается от числа розовых не больше, чем на 3. Значит,
\(| y - x | \leq 3\), то есть \(-3\le y-x\le 3.\)
Мы получили систему неравенств
\(\left\{ \begin{array}{c}
22x+19y\le 290, \\
-3\le y-x\le 3 \end{array}
\right.\)
В каждом из пунктов (а), (б) и (в) задается вопрос о том, сколько всего роз можно купить в данных условиях. Обозначим k = x + y — число роз. Выразим отсюда y = k — x и получим систему неравенств с переменными х и k.
\(\left\{ \begin{array}{c}
19k+3x\le 290, \\
\displaystyle \frac{k-3}{2}\le x\le \displaystyle \frac{k+3}{2} \end{array}
\right.\)
а) Пусть k = 11. Получим: \(\left\{ \begin{array}{c}
x\le 27, \\
\ 4\le x\le 7, \end{array}
\right.\) можно.
Пример: Возьмем x = 7 и y = 4. Букет будет стоить 2300 рублей.
б) Пусть k = 15. Получим: \(\left\{ \begin{array}{c}
3x\le 5, \\
\ 6\le x\le 9. \end{array}
\right.\)
Эта система не имеет решений. Значит, 15 роз Василий не купит.
в) Мы получили, что 11 роз купить можно, а 15 нельзя, причем число роз нечетно. Проверим, можно ли купить букет из 13 роз.
При k = 13 получим: \(\left\{ \begin{array}{c}
x\le 14 \frac{1}{3}, \\
\ 5\le x\le 8. \end{array}
\right.\), так как \( x \in Z\), то \(
\left\{\begin{matrix}
x\leq 14\\ 5\leq x \leq 8
\end{matrix}\right.\)
Возьмем x = 8, y =5.
Букет будет стоить: \(8 \cdot 220 + 5 \cdot 190 = 2710\) рублей.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 13