Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=vHRkJiQvnIw\&t=11679s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова В прямоугольном треугольнике АВС катеты АС и ВС равны и
соответственно. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Решение:
По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника АВС:
Найдем высоту, проведенную к гипотенузе, через площадь треугольника
Ответ: 2
2. Анна Малкова
Найдите объем детали, изображенной на рисунке, если диаметр основания цилиндра равен 10, высота равна , а диаметр цилиндрического отверстия равен 4.
Решение:
Так как диаметр основания равен 10, его радиус равен 5. Радиус цилиндрического отверстия равен 2.
Объем цилиндра V = .
Мы видим, что из большого цилиндра вырезан меньший, и объем детали равен
.
Разделив на , получим ответ.
Ответ: 84
3. Арлен Близаров
Каждый вечер Хуан Гарсия играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии Кончиты. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу, равна 0,1 в отдельно взятый вечер. Какие шансы, что Хуан Гарсия завоюет сердце Сесилии Кончиты, если её соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?
Решение:
Вероятность получить красную розу в отдельно взятый вечер равна 0,1. Хуан Гарсия, если повезет, получит ее в первый вечер. Тогда он приглашает Кончиту на свидание и больше под окном не бренчит. Хуан Гарсия может получить красную розу во второй, в третий или в четвертый вечер, причем вероятности каждого из этих событий разные.
Вероятность того, что Хуан Гарсия так и не добился взаимности Сесилии Кончиты, равна
Вычитая из единицы это число, получим вероятность благоприятного исхода для Хуана Гарсии:
Ответ: 0,3439
4. Татьяна Сиротина
Барон Мюнхгаузен в 80% случаев рассказывает небылицу. Если его рассказ — выдумка, то в 60% случаев ему не верят. А, если его рассказ правдив, то ему верят в 95% случаев.
Однажды Барон рассказал историю о том, как он первый раз влюбился. Слушатели не поверили. С какой вероятностью эта история была правдой? Ответ округлите до сотых.
Решение:
Ситуация, при которой слушатели не поверят Барону Мюнхгаузену, может сложиться в результате следующих событий: рассказ действительно небылица и слушатели не поверили рассказчику или рассказ — правда, но слушатели не поверили.
Вероятности этих событий равны соответственно и
События «слушатели поверили Барону Мюнхгаузену» и «слушатели ему не поверили» образуют полную группу (они несовместны, и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим:
Вероятность того, что слушатели не поверили Барону Мюнхгаузену, равна 0,49. Это мы нашли в пункте (а).
Обозначим за х вероятность того, что рассказ Мюнхгаузена о его первой влюбленности был правдив при условии, что слушатели ему не поверили.
Тогда 0,49 х — вероятность того, что слушатели не поверили, но при этом рассказ был правдой.
С другой стороны, эта вероятность равна . Получим:
Ответ: 0,02
5. Татьяна Сиротина
Решите уравнение:
Решение:
6. Анна Малкова
Вычислите:
Решение:
Применяем формулу разности квадратов
Ответ: 45
7. Анна Малкова
Прямая касается графика функции
, причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.
Запишем условие касания:
Начнем со второго уравнения
Т.к. , то
.
Найдем подставив
в первое уравнение:
отсюда
Ответ: -7.
8. ФИПИ
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см.
Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние
от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
Решение:
Фокусное расстояние линзы известно. Но какое же значение (расстояние от линзы до экрана) надо подставлять в формулу? Нам надо найти наименьшее расстояние от лампочки до линзы
. Если
— наименьшее, то обратная величина
будет наибольшей. Поскольку
— константа, второе слагаемое
в формуле линзы должно быть наименьшим, а обратная ему величина
— наибольшей, то есть равной 180. Подставим данные в формулу:
Ответ: 36.
9. Александра Антонова
Василий поссорился с Машей, и они с одинаковыми скоростями пошли по улице в противоположных направлениях. Через 10 минут Василий повернул назад и, увеличив скорость в три раза, стал догонять Машу (чтобы помириться). Через сколько минут Василий догнал Машу?
Решение:
Пусть x — скорости Василия и Маши, когда они двигались в противоположных направлениях. За 10 минут расстояние между Василием и Машей стало равно 10x + 10x = 20x.
Затем Василий повернул назад со скоростью 3x. За время, равное t, Василий смог догнать Машу. Составим таблицу:
v | t | S | |
Маша | x | t | xt |
Василий | 3x | t | 3xt |
С того момента, как Василий повернул назад, до момента их встречи Василий прошел на 20х больше, чем Маша, то есть
Отсюда минут.
Ответ: 10.
10. Графики функций и g(x) пересекаются в точках А и В. По данным рисунка найдите абсциссу точки В.
Решение:
Запишем формулу функции .
Ее график — квадратичная парабола
то есть
Вычитаем из первого уравнения второе:
то есть.
Так как — абсцисса вершины параболы,
Получим:
Подставив в уравнение получаем:
Значит,
Найдем точки пересечения графиков и
.
Для этих точек:
или
Абсцисса точки A равна -2 (как и показано на рисунке). Тогда абсцисса точки B равно 12.
Ответ: 12.
11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
.
Решение:
;
, так как
при любом x, то есть
, а это означает, что
- убывает, наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка
.
Ответ: -3
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Анна Малкова
а) Решите уравнение:
б) Найдите все его корни на отрезке [-3; 1]
Решение:
Из основного тригонометрического тождества: .
Замена:
Разложим левую часть на множители.
Подберем целый корень уравнения среди делителей свободного члена, то есть среди делителей числа 2.
Целые делители числа 2 — это
подходит.
— корень уравнения
Это означает, что многочлен делиться на
без остатка.
Можно разделить уголком:
или можно вынести за скобки.
Получили:
- не подходит т.к.
.
Получили: .
Вернемся к переменной
Получили:
б). Отберём корни уравнения на отрезке c помощью единичной окружности. Для этого отметим на единичной окружности данный отрезок и найденные серии решений.
Нарисуем две окружности. На одной отметим отрезок , на другой
.
Вспомним, что 1рад = .
Мы видим, что отрезку принадлежат корни:
Ответ: а)
б) ;
13. Анна Малкова
В треугольной пирамиде АВСS с вершиной S боковые ребра равны 12, углы АSB и ВSC равны 45, угол ASC равен 60
.
Точки Е, F, K лежат на ребрах AS, BS, CS так, что SE = 6, SF = 8, SK = 4.
а) Докажите, что плоскость EFK делит пирамиду на многогранники, объемы которых относятся как 1 : 8.
б) Найдите угол между плоскостями SFE и SFK. Ответ запишите в градусах.
Решение:
- треугольная пирамида, в которой боковые ребра
т.е. E — середина SA
Плоскость отрезает от пирамиды «верхушку», и нужно найти отношение объемов полученных частей.
Воспользуемся формулой:
Докажем формулу, с помощь которой нашли это отношение:
Треугольники и
имеют по равному углу
, отношение их площадей равно:
Пусть h — расстояние от точки до плоскости
.
Пусть — перпендикуляр из точки К на плоскость
— высота пирамиды
, в основании которой лежит
.
Построим прямую в плоскости
.
- проекция
на
.
Точка С лежит на прямой . Тогда её проекция будет лежать на прямой
.
Точка — проекция точки С на плоскость
,
значит,
Получили:
Мы получили подобные треугольники.
по двум углам,
.
, что и требовалось доказать.
б). Найдем угол между плоскостями и
Это то же самое, что угол между плоскостями
и
.
по двум сторонам и углу.
Построим , соединим
и
.
по двум сторонам и углу. Отсюда
значит,
Получили, что — высота
,
тогда — угол между плоскостями
И
.
так как
правильный.
— прямоугольный и равнобедренный
- равнобедренный и прямоугольный, для него выполняется теорема Пифагора. Получили
Ответ:
14. ФИПИ
Решите неравенство:
Решение.
(третье неравенство следует из остальных)
корень
3 неравенства с учётом
Ответ:
15. В 2015 году Федор взял в кредит сумму S на 6 лет под 25% годовых, причем вначале банк начисляет проценты, затем Федор переводит в банк определенную сумму денег. По условиям кредита, в 2016, 2017, 2018 и 2019 годах после очередной выплаты сумма долга ежегодно уменьшается на 1/10 первоначальной величины, выплаты 2020 и 2021 годов равны. Всего Федор выплатил 250 тысяч рублей. Найдите S.
Решение:
Составим схему погашения кредита в 2016 — 2019 годах
Первые выплаты:
Сумма выплат за 4 года:
Пусть выплаты 2020 и 2021 года равны x
Выплаты за 2020 и 2021 годы:
Всего выплачено:
тыс.рублей
S=120 тыс. рублей
Ответ: 120 тыс. рублей
16. ФИПИ
Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный () и AK=2AN. Точка B — середина стороны KN.
а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN.
б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P, LP = 2. Найдите PM.
Решение:
Дан квадрат и прямоугольный треугольник
.
Точка В — середина .
Докажем, что .
Точка В — середина , поэтому
по прямому углу и двум сторонам.
Отсюда как соответственные,
Рассмотрим прямые и
и секущую
.
- накрест лежащие, значит
, что и требовалось доказать.
б) =P, LP=2. Найдем PM.
О — точка пересечения диагоналей квадрата
прямоугольный и равнобедренный.
Четырехугольник можно вписать в окружность, так как
Пусть
— вписанные, опираются на дугу OK.
AQ - биссектриса
По свойству биссектрисы угла треугольника,
(по стороне и двум углам),
Ответ: 4
17. МГУ
При каких значениях параметра а система уравнений
имеет единственное решение?
Решение:
Решим систему графически в координатах
Первое уравнение:
раскроем скобки и сгруппируем слагаемые.
Замена ,
.
Вернемся к переменный а и у.
График первого уравнения — две горизонтальные прямые, расстояние между которыми равно 3.
Второе уравнение — это уравнение отрезка.
Вспомним, что уравнение вида
задает отрезок
Здесь
— любая точка этого отрезка,
и
- концы отрезка. В нашем случае
Концы отрезка — точки и
Второе уравнение задает множество отрезков , двигающихся вдоль оси
параллельно оси Y, длиной
.
Система имеет единственное решение, если только одна из горизонтальных прямых пересекает отрезок, а другая прямая не пересекает.
Возможны случаи:
Ответ: .
18. Студент Василий выбирает для Маши букет в День Святого Валентина. Красная роза стоит 220 рублей, розовая 190 рублей. Василий хочет, чтобы число розовых и красных роз в букете отличалось не больше, чем на 3. Всего у Василия с собой 2900 рублей.
а) Может ли Василий купить для Маши 11 роз?
б) Может ли Василий купить букет из 15 роз?
в) Какое наибольшее количество роз может быть в букете, если это число нечетно?
Решение
Вопросы пунктов а), б) и в) похожи. Поэтому сделаем «заготовку» сразу для всех пунктов задачи.
Пусть x — количество красных роз, y - количество розовых. Тогда
Число красных роз отличается от числа розовых не больше, чем на 3. Значит,
, то есть
Мы получили систему неравенств
В каждом из пунктов (а), (б) и (в) задается вопрос о том, сколько всего роз можно купить в данных условиях. Обозначим k = x + y — число роз. Выразим отсюда y = k — x и получим систему неравенств с переменными х и k.
а) Пусть k = 11. Получим: можно.
Пример: Возьмем x = 7 и y = 4. Букет будет стоить 2300 рублей.
б) Пусть k = 15. Получим:
Эта система не имеет решений. Значит, 15 роз Василий не купит.
в) Мы получили, что 11 роз купить можно, а 15 нельзя, причем число роз нечетно. Проверим, можно ли купить букет из 13 роз.
При k = 13 получим: , так как
, то
Возьмем x = 8, y =5.
Букет будет стоить: рублей.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 13
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «ЕГЭ-2022 Вариант 6, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 25.08.2023