Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=2Bzd19z5UTA
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Анна Малкова
Четырехугольник АBCD с прямым углом B описан вокруг окружности, его диагональ АC равна 13. Известно, что АB = 5, CD = 16. Найдите AD.
Решение. Так как \(\angle B = 90{}^\circ,\) то \(\triangle ABC\) — прямоугольный, и по теореме Пифагора
\(BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12.\)
Так как четырехугольник АBCD описан вокруг окружности, то суммы его противоположных сторон равны, поэтому: АD + BC = АB + CD. Получаем АD + 12 = 5 + 16, АD = 9.
Ответ: 9
2. Ольга Чемезова
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\ \ CC_1=2,\ \ AD=4\sqrt{5},\ \ \ AB=2\sqrt{5}.\)
Найдите \(tg\ \angle C_1AC.\)
Решение:
Проведем AC и \(A_1C_1-\ \)диагонали оснований прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\)
Получим сечение \(AA_1C_1C.\)
В плоскости этого сечения построим \(\triangle \)\(C_1AC\) — прямоугольный.
Из \(\triangle \)\(C_1AC:\) \(tg\ \angle C_1AC=\displaystyle \frac{CC_1}{AC}.\) Известно, что \(CC_1=2.\) Найдем AC.
Рассмотрим \(\triangle \)\(ABC\) — прямоугольный, в котором \(BC = AD = 4\sqrt{5},\)
\(AB = 2\sqrt{5},\) по теореме Пифагора
\(AC = \sqrt{{BC}^2+{AB}^2}=\sqrt{{(4\sqrt{5})}^2+{(2\sqrt{5})}^2}=\sqrt{16\cdot 5+4\cdot 5}=\)
\(=\sqrt{5\cdot \left(16+4\right)}\ =\ \sqrt{100}=10.\)
Тогда \(tg\ \angle C_1AC=\displaystyle \frac{CC_1}{AC_1}=\displaystyle \frac{2}{10}=0,2\)
Ответ: 0,2
3. Анна Малкова
Студент Василий работает репетитором по математике. Он надеется, что хоть кто-нибудь из его учеников получит на ЕГЭ не меньше 90 баллов. Василий считает, что из его учеников на это способны четверо. Люба может получить не меньше 90 баллов с вероятностью 0,9. Антон может получить такой результат с вероятностью 0,7; Марина с вероятностью 0,5 и Костя с вероятностью 0,4. С какой вероятностью надежды Василия сбудутся?
Решение:
Составим таблицу:
| Ученики | Вероятность получить на ЕГЭ 90 баллов или больше |
Вероятность получить на ЕГЭ меньше 90 баллов |
| Люба | 0,9 | 0,1 |
| Антон | 0,7 | 0,3 |
| Марина | 0,5 | 0,5 |
| Костя | 0,4 | 0,6 |
Василия устроит вариант, если кто-то один из его четырех учеников, или двое из них, или трое, или все четверо получат на ЕГЭ не меньше 90 баллов. Его не устроит только один вариант, когда никто не получит 90 баллов. Это неблагоприятный исход. Так результаты ЕГЭ для Любы, Антона, Марины и Кости не зависят друг от друга, то вероятность неблагоприятного исхода равна
\(P_1= 0,3 \cdot 0,1\cdot 0,5 \cdot 0,6.\)
Тогда вероятность противоположного события (что хотя бы один из учеников получит не менее 90 баллов) равна:
\(P = 1-P_1 = 1 - 0,3 \cdot 0,1 \cdot 0,5 \cdot 0,6 = 0,991.\)
Ответ: 0,991
4. Анна Малкова
Студент Василий видит во сне, что только один из его учеников получил результат не меньше 90 баллов (он не понимает, кто именно). Он помнит, что Люба может получить не меньше 90 баллов с вероятностью 0,9. Антон может получить такой результат с вероятностью 0,7; Марина с вероятностью 0,5 и Костя с вероятностью 0,4. С какой вероятностью это была Люба? Ответ округлите до сотых.
Сначала найдем вероятность того, что только один их четырех учеников получил на ЕГЭ не меньше 90 баллов.
Для этого составим таблицу:
| Ученики | Вероятность получить 90 баллов или больше |
Вероятность получить меньше 90 баллов |
Вероятность того, что только этот ученик получил на ЕГЭ не меньше 90 баллов |
| Люба | 0,9 | 0,1 | \(0,9 \cdot 0,3 \cdot 0,5 \cdot 0,6\) |
| Антон | 0,7 | 0,3 | \(0,7 \cdot 0,1 \cdot 0,5 \cdot 0.6\) |
| Марина | 0,5 | 0,5 | \(0,5 \cdot 0,1 \cdot 0,3 \cdot 0,6\) |
| Костя | 0,4 | 0,6 | \(0,4 \cdot 0,1 \cdot 0,3 \cdot 0,5\) |
Так как все события независимые, найдем вероятность того, что хотя бы один из четверых получил на ЕГЭ
не меньше 90 баллов:
\(p_1=0,9\cdot 0,3\cdot 0,5\cdot 0,6+0,7\cdot 0,1\cdot 0,5\cdot 0,6+\)
\(+0,5\cdot 0,1\cdot 0,3\cdot 0,6+0,4\cdot 0,1\cdot 0,3\cdot 0,5=\)
\( = 0,5(0,9\cdot 0,3\cdot 0,6+0,7\cdot 0,1\cdot 0,6+0,1\cdot 0,3\cdot 0,6+0,4\cdot 0,1\cdot 0,3)=\)
\(\ \ \ \ =\displaystyle \frac{0,5}{1000}(9\cdot 3\cdot 6+7\cdot 6+3\cdot 6+4\cdot 3)= \displaystyle \frac{0,5\ \cdot \ 6\ \cdot \ 39}{1000} .\)
Найдем вероятность \(p_2\ \) того, что только Люба получила на ЕГЭ не меньше 90 баллов.
\(p_2=0,9\cdot 0,3\cdot 0,5\cdot 0,6=\displaystyle \frac{0,5\ \cdot \ 6\ \cdot \ 3\ \cdot \ 9}{1000} .\)
Найдем вероятность \(p_{\ }\) того, что Люба получила на ЕГЭ не меньше 90 баллов при условии, что только один ученик получил на ЕГЭ не меньше 90 баллов.
\(p_2\)= \(p_{1\ }\cdot p,\) тогда
\(p =p_2:\ p_1\ = \displaystyle \frac{0,5\ \cdot \ 6\ \cdot \ 3\ \cdot \ 9}{1000}\ :\ \displaystyle \frac{0,5\ \cdot \ 6\ \cdot \ 39}{1000}=\)
\(=\ \displaystyle \frac{0,5\ \cdot \ 6\ \cdot \ 3\ \cdot \ 9}{0,5\ \cdot \ 6\ \cdot \ 39}=\ \displaystyle \frac{9}{13}\approx 0,69\)
Ответ: 0,69
5. Решите уравнение \(\sqrt{2x-3}=x-3.\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.
Решение:
\(\sqrt{2x-3}=x-3\ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
2x-3={\left(x-3\right)}^2 \\
2x-3\ge 0 \\
x-3\ge 0 \end{array}
\right.\ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
2x-3=x^2-6x+9 \\
x-3\ge 0 \end{array}
\right.\ \Leftrightarrow \)
Ответ: 6
6. Ольга Чемезова
Вычислите: \({{log}_2 \left(17+{{log}_5 0,2}\right)}\)
Решение:
\({log}_2\left(17+{log}_50,2\right) = {log}_2\left(17+{log}_5 \displaystyle \frac{1}{5}\right)=\)
\(={log}_2\left(17-1\right)={log}_216=4.\)
Так как \({log}_5\ \displaystyle \frac{1}{5}= {log}_5\ 5^{-1}=-1,\) \({log}_2\ 16=\ {log}_2\ 2^4=4.\)
Ответ: 4
7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
Решение:
Вспомним, как связаны производная функции в точке и угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в этой точке: \(f'\left(x_0\right)=k.\)
Если касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, значит \(k=-2,\ \)так как y параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
На рисунке изображен график производной функции f(x). Значит, нужно найти количество точек, в которых производная равна — 2.
Посчитав их на графике, находим, что таких точек ровно 5.
Ответ: 5
8. Катер должен пересечь реку шириной \(L=75\ \) м и со скоростью течения u = 0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t=\displaystyle \frac{L}{u}ctg\ \alpha ,\ \) где \(\alpha \)— острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 с?
Решение:
Из формулы \(t=\displaystyle \frac{L}{U}ctg\alpha \) выражаем \(t=\displaystyle \frac{75}{0,5}ctg\alpha .\)
Так как время в пути было не больше 150 с, получим неравенство \(\displaystyle \frac{75}{0,5}ctg\alpha \le 150\);
\(ctg\alpha \le 1 ; ctg\alpha \le \ ctg45{}^\circ .\)
Функция y = \(ctgx\) является монотонно убывающей для углов 0˚\(\textless \) \(\alpha \) \(\textless \) 90˚, значит, \(\alpha \ge 45{}^\circ \) и \(\alpha _{min}=45{}^\circ .\)
Ответ: 45
9. Татьяна Сиротина
В солнечный весенний день сидящая на высокой травинке бабочка заметила, что в 20 метрах от нее находится прекрасная роза. Бабочка полетела к розе, но через 5 метров налетел встречный ветерок и замедлил ее полет. Какой была вначале скорость бабочки, если скорость ветерка 2 м/с, а путь от травинки до розы занял 6 секунд? Ответ дайте в метрах в секунду.
Решение:
Пусть х м/с — скорость бабочки. Бабочка пролетает 5 метров со скоростью x м/с и оставшиеся 15 метров со скоростью x — 2 м/с. Получим:
\(\displaystyle \frac{5}{x}+\displaystyle \frac{15}{x-2}=6\)
\(\displaystyle \frac{20x-10}{x(x-2)}=6,\)
\(3x^2-16x+5=0.\)
Подходит только корень уравнения: x=5.
Ответ: \(x=5. \)
10. На рисунке изображён график функции вида \(f(x) = kx+b + |cx - d| ,\) где числа a, b, c и d — целые. Найдите d при условии, что d \(\textgreater \) 0.
Решение:
Расшифруем график.
Мы складываем график линейной функции \(y_1=\) kx+b и график модуля \(y_2=\left|cx\ -\ d\right|,\ \)
который сдвинут вправо (так как d \(\textgreater \) 0) и сжат или растянут. Мы складываем линейную и кусочно-линейную функции. При сложении графиков линейных функций угловой коэффициент суммы равен сумме угловых коэффициентов слагаемых.
\(x_0=2\) — точка излома графика f(x).
До точки \(x_0\) угловой коэффициент по модулю меньше, чем после точки \(x_0.\)
Значит, левее точки \(x_0\) коэффициент равен \(k_1=k-c,\) а правее точки \(x_0\) равен
\(k_2=k+c\) и с \(\textgreater 0.\)
Находим по графику, что \(k_1=-1,\) \(k_2=3.\) Получим систему \(\left\{\ \begin{array}{c}
k-c=-1 \\
k+c=3 \end{array}
\right..\)
Сложив уравнения системы, получим \(k=1.\)
Подставим \(k=1\) во второе уравнение системы, получим 1 + с = 3, откуда с = 2.
В точке излома графика \(x_0=2\ \) выполняется условие с\(x_0-d=0,\)
тогда \(c \cdot 2=d, \ 2c=d, \) а так как с = 2, то \(d = 4.\)
Если x = 0, то \(f(0) = b + |d| = b + 4.\) По графику f(0) = 5.
Получим уравнение b + 4 = 5, откуда b = 1.
Мы получили: \(k=1,\) b = 1, с = 2, \( d\) = 4, значит, график на рисунке — это y = x + 1 + \(\left|2x-4\right|.\)
Ответ: 4
11. Ольга Чемезова
Найдите точку максимума функции
\(y={ln \left(5x+1\right)\ }-2x+3.\)
Решение:
Найдем производную функции.
\(y'={\left(ln(5x+1)\ - \ 2x\ +\ 3\right)}'={\left(ln(5x+1)\right)}'+{\left(-2x\ +\ 3\right)}'=\ \displaystyle \frac{5}{5x+1}-2.\)
Мы воспользовались тем, что производная сложной функции
\(y'={\left(ln(ax+b)\right)}'=\ a\cdot \displaystyle \frac{1}{ax+b}.\)
Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю: \(y'=0.\)
\(\displaystyle \frac{5}{5x+1}-2=0; \ \ \displaystyle \frac{5-2\left(5x+1\right)}{5x+1}=0; \ \ \)
\(5-2\left(5x+1\right)=0; -10+3=0; \ \ x=0,3.\)
Найдем знаки производной слева и справа от точки экстремума.
При переходе через точку x = 0,3 производная меняет знак с плюса на минус,
значит x = 0,3 — точка максимума функции.
Ответ: 0,3
Часть 2. Задания с развернутым ответом
12. Анна Малкова
а) Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{2\left({{sin}^2 x-\sqrt{3}\ }\right)+{sin x\left(\sqrt{3}-4\right)\ }}{2{cos x-1\ }}=0\)
б) Найдите все решения уравнения на отрезке [-4\(\pi \); -2\(\pi \)].
Решение:
\(\left\{ \begin{array}{c}
2\left({{sin}^2 x-\sqrt{3}\ }\right)+{sin x\left(\sqrt{3}-4\right)=0\ } \\
{cos x\ne \displaystyle \frac{1}{2}\ } \end{array}
\right.\)
1 уравнение, замена \({sin x=t;\ }\)
\(2t^2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}t-4t=0;\ \)
\(2t^2+\left(\sqrt{3}-4\right)t-2\sqrt{3}=0;\)
Теорема Виета: \(t_1+t_2=\displaystyle \frac{4-\sqrt{3}}{2}=2-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2};\)
\(t_1 \cdot t_2=-\sqrt{3};\)
\(t_1=2;t_2=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2};\)
Вернёмся к первоначальной переменной:
\(\left[ \begin{array}{c}
{sin x=2\ } \\
{sin x=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\ } \end{array}
\right. \Leftrightarrow sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Вернёмся к системе: \(\left\{ \begin{array}{c}
{sin x=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\ } \\
{cos x\ne \displaystyle \frac{1}{2}\ } \end{array}
\right.\)
\(x=-\displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\ k\in Z.\)
б) \(-4\pi \le -\displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k\le -2\pi; \ k \in Z\)
\(-1\displaystyle \frac{2}{3}\le k\le -\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(k=-1;\)
\(x=-2\pi -\displaystyle \frac{2\pi }{3}=-\displaystyle \frac{8\pi }{3}.\)
Ответ: а) \(x = - \frac{2 \pi}{3}+2\pi k, \ k \in Z\)
б) \(- \frac{8 \pi}{3}\)
13. Анна Малкова
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка М — середина SA, N середина — SB, K середина — AD.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MNK имеет пару равных сторон.
б) Найдите расстояние между прямыми МN и SD, если AВ = 3√2, высота пирамиды SABCD равна 4.
Решение:
а) По условию: \(M\) — середина \(SA,\) \(N\) — середина \(SB,\) \(K\) — середина \(AD.\)
\(MN\parallel AB,\) как средняя линия \(\triangle SAB\)
\(MK\parallel SD,\) как средняя линия \(\triangle ASD\)
\(\left. \begin{array}{c}
MN\parallel AB\Rightarrow MN\parallel (ABC) \\
MN\in (MNT) \\
(MNT)\cap \left(ABC\right)=KT \end{array}
\right\}\Rightarrow \) по теореме о прямой и параллельной ей плоскости \(KT\parallel MN\)
Следовательно, \(KT\parallel AB,\) \(T\) — середина \(BC\Rightarrow NT\) — средняя линия \(\triangle BSC\)
\(\left. \begin{array}{c}
NT=\ \displaystyle \frac{1}{2}CS \\
MK=\ \displaystyle \frac{1}{2}SD \\
CS=SD \end{array}
\right\} \Rightarrow NT= MK\)
Сечение \(MNTK\) — равнобедренная трапеция.
б) Прямые \(MN\) и \(SD\) — скрещивающиеся прямые, лежащие в параллельных плоскостях \((MNT)\) и \((SDC).\)
\((MNT)\parallel (SCD)\) =\(\textgreater \) по признаку параллельности плоскостей \(MN\parallel CD\) и \(MK\parallel SD.\)
Расстояние между \((MNT)\) и \((SCD)\) найдем с помощью метода объемов.
Пусть \(O=AC\cap BD,\) \(O\in KT\) =\(\textgreater \) \(O\in (MNT)\)
Рассмотрим пирамиду \(OSDC\)
\(V_{OSDC}=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot S_{\triangle OCD} \cdot SO= \displaystyle \frac{1}{3}\cdot S_{\triangle SCD}\cdot d\)
где \(d\) — расстояние от точки \(O\) до плоскости \((SCD),\) то есть расстояние между \((MNT)\) и \((SCD)\) и между \(MN\) и \(SD.\)
\(\triangle OCD\) — прямоугольный равнобедренный,
\(OC=OD=\ \displaystyle \frac{CD}{\sqrt{2}}=3\)
\(S_{\triangle OCD}=\ {\displaystyle \frac{3}{2}}^2=\displaystyle \frac{9}{2}\)
Рассмотрим \(\triangle SOD\ \)— прямоугольный треугольник
Из \(\triangle SOD\): \({SD}^2={SO}^2+{OD}^2=4^2+3^2=25\)
\(SD=5\)
В \(\triangle SCD\): \(CS=SD=5\)
\(CD=AB=3\sqrt{2}\)
\(p_{\triangle SCD}=\displaystyle \frac{5+5+3\sqrt{2}}{2}=\displaystyle \frac{10+3\sqrt{2}}{2}=5+\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}\)
По формуле Герона для \(\triangle SCD\):
\(S_{\triangle SCD}=\sqrt{\left(5+\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}\right)\cdot \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot (5-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}})}=\sqrt{\displaystyle \frac{41}{2}\cdot \displaystyle \frac{9}{2}}=\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{41}\)
Тогда,
\(d=\displaystyle \frac{S_{\triangle OCD}\cdot SO}{S_{\triangle SCD}}=\ \displaystyle \frac{9\cdot 4\cdot 2}{2\cdot 3\sqrt{41}}=\displaystyle \frac{12}{\sqrt{41}}=\displaystyle \frac{12\sqrt{41}}{41}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{12\sqrt{41}}{41}\)
14. Решите неравенство \(9\cdot 2^{{{log}_3 \left(5-x\right)\ }}+2^{1+{{log}_3 x\ }}-2^{{{log}_3 \left(5x-x^2\right)\ }}\le 18.\)
При \(x\in\) ОДЗ получим:
\({{log}_3 \left(5x-x^2\right)={{log}_3 \left(x\cdot \left(5-x\right)\right)={{log}_3 x\ }+{{log}_3 \left(5-x\right)\ }\ }\ }\)
ОДЗ: \(\left\{ \begin{array}{c}
5-x\textgreater 0 \\
x\textgreater 0 \\
5x-x^2\textgreater 0 \end{array}
\Rightarrow 0\textless x\textless 5\right.\)
\(9\cdot 2^{{{log}_3 \left(5-x\right)\ }}+2\cdot 2^{{{log}_3 x\ }}-2^{{log}_3 x\ }\cdot 2^{{{log}_3 \left(5-x\right)\ }}-18\le 0\)
\(\left(2^{{{log}_3 \left(5-x\right)\ }}-2\right)\cdot \left(2^{{{log}_2 9\ }}-2^{{{log}_3 x\ }}\right)\le 0\)
Метод замены множителя;
\(h^f-h^g\)заменим на \(\left(h-1\right)\left(f-g\right).\)
\(\left({{log}_3 \left(5-x\right)-1\ }\right)\left({{log}_2 9\ }-{{log}_3 x\ }\right)\le 0;\)
\({{log}_h f\ }-1\) заменим на \(\left(h-1\right)\left(f-h\right)\)
\(\left(5-x-3\right)\left({{log}_2 9\ }-{{log}_3 x\ }\right)\le 0\)
\(\left(x-2\right)\cdot \left({{log}_2 9\ }-{{log}_3 x\ }\right)\ge 0\)
ОДЗ: \(0\textless x\textless 5;\) сравним \({{log}_2 9\ }\) и \({{log}_3 x\ }\)
При \(x\in\) ОДЗ.
Если \(0\textless x\le 1,\) то \({{log}_3 x\le 0,{{log}_2 9\textgreater 0,\ }\ }\)
Тогда \({{log}_2 9\ }-{{log}_3 x\ }\textgreater 0.\)
Если \(1\textless x\textless 5,\) то \(0\textless {{log}_3 x\ }\textless {{log}_3 5\ }\textless 2,\)
\({{log}_2 9\ }\textgreater {{log}_2 8\ }\Rightarrow {{log}_2 9\ }\textgreater 3,\)
\({{log}_2 9-{{log}_3 x\ }\textgreater 0;\ }\ \) при \(x\in\) ОДЗ
\(x-2\ge 0,\ x\ge 2;\ \) с учётом ОДЗ \(2\le x\textless 5\)
Ответ: \(x\in [2;5)\)
15. Ольга Чемезова
В марте 2017 года Иван взял кредит в банке. Банк в декабре каждого года начисляет 20% на оставшуюся сумму долга, затем необходимо выплатить часть долга. В марте 2018 года Иван оплатил только начисленные проценты. В марте 2019 года Иван оплатил половину долга, имеющегося на тот момент. В марте 2020 года он погасил долг полностью. Найдите сумму кредита, выданного Ивану, если общая сумма выплат составила 5,32 млн. руб.
Решение: Составим схему погашения кредита. Найдем В — общую сумму выплат.
\(k=1,2; \ S=?; \ B-5,32\) млн/руб
\(B=S\left(\left(k-1\right)+\displaystyle \frac{k}{2}+\displaystyle \frac{k^2}{2}\right)=S\left (\left(k-1\right)+\displaystyle \frac{k^2+k}{2} \right ) =
\newline =S\left(0,2+\displaystyle \frac{1,44+1,2}{2}\right)=1,5S\)
\(1,5S=5,32\)
\(S=3,5\) млн. руб
Ответ: 3,5 млн. руб.
16. Анна Малкова В треугольнике АBC угол C — прямой, K — середина АC, O — середина АB, прямая m проходит через точку B перпендикулярно АВ и пересекает прямую ОK в точке N. а) Докажите, что четырехугольник АNBK можно вписать в окружность. б) Отрезки CN и АB пересекаются в точке Q. Найдите ВQ : QО, если АC = 6, ВC = 8.
Решение:
а) Отрезок AN виден из точек В и K под прямым углом, значит, точки A, N, B, K лежат на одной окружности диаметром AN Четырехугольник ANBK — вписан в окружность.
б) ОК — средняя линия \(\triangle ABC,\) \(OK\parallel BC\)=\(\textgreater \) \(BC\parallel KN\)
AB и NK — хорды одной окружности по теореме о пересекающихся хордах,\(OB\cdot OA=NO\cdot OK\)
\(OK=4\) как средняя линия \(\triangle ABC\)
Из \(\triangle ABC\): \(AB=10,\) =\(\textgreater \) \(OB=OA=5\) = \(\textgreater \) \(NO=\displaystyle \frac{25}{4}\)
\(\triangle BCQ\sim \triangle ONQ\) по двум углам
\(\angle BQC=\angle NQO\) как вертикальные углы
\(\angle BCQ=\angle ONQ\) как накрест лежащие при \(BC\parallel KN\)
\(\displaystyle \frac{BQ}{QO}=\displaystyle \frac{BC}{NO}\)
\(\displaystyle \frac{BQ}{QO}=\displaystyle \frac{8\cdot 4}{25}=\displaystyle \frac{32}{25}\ \)
Ответ: 32/25
17. Найдите все положительные значения а, при которых линии \(y = a |x - 3,5 |+ a - 2\) и \(y = \displaystyle \frac{a}{2}\) ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.
Решение:
Пусть \(f(x) = a |x - 3,5 |+ a - 2 ,\) \(g(x) = \displaystyle \frac{a}{2}.\)
График функции \(f(x) = a |x - 3,5 |+ a - 2\) получается из графика функции \(y = \left|x\right|\ \) сдвигом на 3,5 вправо, на a — 2 по вертикали вверх или вниз и растяжением (сжатием) в \(a\) раз по вертикали.
При x = 3,5 — точка минимума с ординатой a — 2.
График функции \(g(x) = \displaystyle \frac{a}{2}\) — горизонтальная прямая.
\( f(x)\ge \) \(a-2.\) Найдем, при каких значениях а можно получить многоугольник.
если \(\displaystyle \frac{a}{2}\) \(\textless a-2,\) то нет точек пересечения графиков f(x) и g(x), значит многоугольника нет. Если \(\displaystyle \frac{a}{2}\) \(=a-2,\) то решением будет одна точка и многоугольника тоже нет. При \(\displaystyle \frac{a}{2}\) \(\textgreater a-2\) мы получим треугольник.
Сделаем замену x — 3,5 = t. От этого площадь треугольника не изменится.
Получаем \(f(t) = a |t |+ a - 2\) и \(g(t) = \displaystyle \frac{a}{2},\) причем \(\displaystyle \frac{a}{2}\) \(\textgreater a-2,\) отсюда \(\ a\textless 4.\)
Изобразим в одной системе координат (t, y) графики функций
\(f(t) = a |t |+ a - 2\) и \(g(t) = \displaystyle \frac{a}{2}\) при условии \(a\textless 4.\)
Эти линии ограничивают \(\triangle \)ABC, \(S_{\triangle ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}AB\cdot CH.\)
\(CH=\displaystyle \frac{a}{2}-\left(a-2\right)=2-\displaystyle \frac{a}{2}.\)
Поскольку \(\triangle \)ABC симметричен относительно оси ОУ, то
AН = BН и AB = 2 AН, тогда \(S_{\triangle ABC}=\displaystyle \frac{1}{2}\ \cdot 2AH\cdot CH=AH\cdot CH\)
Найдем абсциссу \(t_A\) точки A.
В этой точке пересекаются правая ветвь графика функции y = a |t |+ a — 2 и прямая y = \(\displaystyle \frac{a}{2},\) поэтому для \(t_A\) выполняется условие: \(at+a-2=\displaystyle \frac{a}{2}\); \(at=2+\displaystyle \frac{a}{2}-a\); \(t=\displaystyle \frac{2}{a}-\displaystyle \frac{1}{2},\)
Следовательно, \(t_A=\displaystyle \frac{2}{a}-\displaystyle \frac{1}{2}.\)
Тогда AН = \(\displaystyle \frac{2}{a}-\displaystyle \frac{1}{2}\) и \(S_{\triangle ABC}=AH\cdot CH=\left(\displaystyle \frac{2}{a}-\displaystyle \frac{1}{2}\right)\left(2-\displaystyle \frac{a}{2}\right).\)
Так как площадь треугольника не более 0,5, то получим неравенство: \(\left(\displaystyle \frac{2}{a}-\displaystyle \frac{1}{2}\right)\left(2-\displaystyle \frac{a}{2}\right)\) \(\le \)\(\ \displaystyle \frac{1}{2}\)
Умножим обе части неравенства на 4: \(\left(\displaystyle \frac{4}{a}-1\right)\left(4-a\right)\le 2.\ \)
Умножим обе части неравенства на положительное \(a\) и получим: \(\left(4-a\right)\left(4-a\right)\le 2a,\)
\(a^2-10a+16\le 0;\ \)
\((a-2)(a-8)\le 0.\) Решив неравенство методом интервалов, получаем, что \(2\le a\le 8.\)
С учетом условия \(a\textless 4,\) окончательно получим \(2\le a\textless 4.\)
Ответ: \(a\in [2;4)\)
18. В наборе 70 гирек массой 1, 2, ..., 70 граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.
а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами 11 г, 15 г, 19 г?
б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться 9,5 грамма?
в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?
Решение:
Заметим, что правильнее говорить не о «весах», а о массах гирек. Именно они измеряются в граммах.
а) Нет, не могла.
Предположим, что в первой кучке были три гирьки массами 11, 15 , 19 граммов.
Их средняя масса равна \(\displaystyle \frac{11+15\ +19\ }{3}=15\\) граммов, а общая масса 11 + 15 + 19 = 45 граммов.
Если добавить еще одну гирьку, их станет 4 штуки. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличится ровно на один грамм, то есть станет равной 15 + 1 = 16, а их общая масса станет 16 ∙ 4 = 64.
Значит, добавили гирьку массой 64 — 45 = 19 — противоречие, так как гирька массой 19 граммов. уже была в первой кучке. Поэтому ответ: нет, не могло быть.
б) Нет, не могло быть.
Пусть х — средняя масса гирек в первой кучке до перекладывания, и пусть их было n штук, тогда x = 9,5 и общая масса гирек в первой кучке равна 9,5 \(\cdot \) n граммов.
После перекладывания одной гирьки средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм , то есть стала 9,5 + 1 = 10,5 и гирек уже n + 1. Значит, общая масса стала
10,5 \(\cdot \) (n + 1).
Получается, что добавили гирьку массой m = 10,5 \(\cdot \) (n + 1) — 9,5n = n + 10,5 — противоречие, так как все массы целые.
Ответ: нет, не могло быть.
в) Всего 70 гирек массами \(1, 2, 3, \dots 70\) граммов. Пусть в первой кучке было n гирек и средняя масса гирек в первой кучке была x, тогда их общая масса была равна x \(\cdot \) n.
После того, как добавили одну гирьку, их стало n + 1, а их общая масса стала равна (x + 1)( n + 1).
Значит, добавили гирьку массой m = (x + 1) (n + 1) — xn = x + n + 1.
Оценим массу гирьки, которую добавили.
У нас есть условия: m = x + n + 1 и 1\(\le \) m \(\le \) 70.
Общая масса гирек в кучке \(x\cdot n \ge \) \(1 + 2 + 3 +\dots + n ,\) в правой части неравенства — сумма n членов арифметической прогрессии. Получим: x \(\cdot \) n \(\ge \) \(\displaystyle \frac{1+\ n\ \ }{2}\ \cdot \ n\ \ \)
Обе части неравенства разделим на положительное n. Так как, по условию задачи, в каждой кучке есть хотя бы одна гирька, \(n\ \ge \ 1;\ \) получим x \(\ge \) \(\displaystyle \frac{1+\ n\ \ }{2}.\)
Тогда m \(\ge \) \(\displaystyle \frac{1+\ n\ \ }{2}\ \)+ n + 1; m \(\ge \) \(\displaystyle \frac{\ 3\ \ }{2}(\) n + 1). Здесь m — масса гирьки, которую добавили, а добавить могли любое m, такое, что
1\(\le \) m \(\le \) 70.
Получили: \(\displaystyle \frac{\ 3\ \ }{2}(\) n + 1) \(\le \) m \(\le \) 70, тогда 3n + 3 \(\le \) 70 \(\cdot \) 2; 3n \(\le \) 137; n \(\le \) \(\displaystyle \frac{137}{3}\);
то есть n \(\le \) 45, так как n — целое.
Значит, n \(\le \) 45 — это оценка. Приведем пример для n = 45.
Берем гирьки \(1, 2, 3, \dots , 45 .\) Их средняя масса \((1 + 2 + 3 + \dots + 45) : 45 = \left(\displaystyle \frac{1+45}{2}\cdot 45\right):45=23\) г.
Добавили гирьку с массой \(m = \displaystyle \frac{\ 3\ \ }{2}(\) 45 + 1) = 69 г, тогда средняя масса стала
\(\displaystyle \frac{23\ \cdot \ 45+69}{46}=\displaystyle \frac{23\ \cdot \ 45+23\ \cdot 3}{46}=\displaystyle \frac{23(45+3)}{46}=\)
\(\displaystyle = \frac{23\ \cdot 48}{46}=24=23+1\) граммов.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 45
