Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=z9Ou_z7x8C0&t\&t=4552s
и https://www.youtube.com/watch?v=vdzNSD07n1A&t\&t=8s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 15 градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.
Pешение:
Пусть угол \(B\) равен 15 градусам.
Из прямоугольного треугольника \(ABC\): \(b=c \sin B,\)
Из прямоугольного треугольника \(ACH\): \(h=b \cos B.\). Получим:
\(h=c \sin B cos B=10 \sin15^{\circ}cos15^{\circ}=5\sin30^{\circ}=2,5\)
Oтвет: 2,5
2. Вектор \( \overrightarrow{AB}\) с началом в точке A(14, -1) имеет координаты (8, 1). Найдите ординату точки B.
Решение:
Пусть точка B имеет координаты \(x_B\), \(y_B\).
Тогда координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\):
\(x_B-x_A=x_B-14=8\);
\(y_B-y_A=y_B-(-1)=y_B+1=1\);
\(y_B=0\);
Ответ: 0
3. Анна Малкова
У Валентины Петровны есть два ведра для поливки огорода: одно цилиндрическое, другое в форме конуса. Радиус окружности конуса и радиус цилиндрического ведра одинаковы, а еще у цилиндрического ведра высота в 2 раза больше, чем у ведра в форме конуса. Во сколько раз больше воды помещается в цилиндрическое ведро?
Pешение:
Пусть \(h_{1}\) - высота цилиндра, тогда высота конуса \(h_2=\frac{h_1}{2}\)
Объем цилиндра ;
Объем конуса
В цилиндрическое ведро помещается в 6 раз больше воды.
Oтвет: 6
4. Анна Mалкова
В морской экскурсии участвуют 16 туристов, в том числе Андрей и Наташа. В каждой лодке 4 места для туристов, места в лодках распределяются случайным образом. С какой вероятностью Андрей и Наташа окажутся в одной лодке?
Pешение:
По условию, всего 4 лодки и в каждой по 4 места.
Пусть в одной из лодок заняла место Наташа. В этой лодке осталось еще 3 места, а всего мест для Андрея осталось 15 (16-е занято Наташей). Получаем 3 благоприятных места из 15 возможных для Андрея.
Поэтому \(p=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0,2\).
Oтвет: 0,2
5. Анна Mалкова
С какой вероятностью в случайно выбранном месяце високосного года будет 5 воскресений? Ответ округлите до сотых.
Pешение:
В году 12 месяцев. Из них 7 месяцев – такие, что в них 31 день.
4 месяца по 30 дней, и если год високосный, то в феврале 29 дней.
Каждые 28 дней, идущих подряд, – это 4 недели, и в каждых 28 идущих подряд днях ровно 4 воскресенья.
Если в месяце 31 день, то в 28 днях будет 4 воскресенья. Остается 3 дня. Вероятность того, что один из них воскресенье, равна \(\frac{3}{7}\).
Если в месяце 30 дней, то в 28 днях будет 4 воскресенья. Остается 2 дня. Вероятность того, что один из этих дней воскресенье, равна \(\frac{2}{7}\).
Если в месяце 29 дней (это високосный февраль), то это 4 недели и еще один день. Вероятность того, что этот день воскресенье, равна \(\frac{1}{7}\).
Получим: \(\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{7}+\frac{4}{12}\cdot \frac{2}{7}+\frac{1}{12}\cdot \frac{1}{7}=\frac{30}{84}=\frac{5}{14} \approx 0,36\).
Oтвет: 0,36
6. Анна Mалкова
Решите уравнение: \(\sqrt[]{24-5x}=-x\).
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите больший корень.
Pешение:
Арифметический квадратный корень из числа \(a\) - это такое число, что:
\(\sqrt{a}\geqslant 0\) и \((\sqrt[]{a})^2=a\).
Наше уравнение равносильно системе.
\(\sqrt{24-5x}=-x\)⇔\(\left\{\begin{matrix}
-x\geqslant 0 \\
24-5x\geqslant 0\\
24-5x=x^2\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{\begin{matrix}
x^2+5x-24=0\\
x\leqslant 0\end{matrix}\right.\)⇔
⇔\(\left\{\begin{matrix}
\left[\begin{array}{ccc}x=3\\x=-8
\\
\end{array}\right. \\
x\leqslant 0\end{matrix}\right.\)⇔\(x=-8\)
Oтвет: - 8
7. Внесите под корень и вычислите: \( (\sqrt{3}-2)\sqrt[]{7+4\sqrt{3}} \).
Pешение:
Заметим, что \( \sqrt{3}\) < \(2 \). Результат получится отрицательный.
\((\sqrt{3}-2)\sqrt{7+4\sqrt{3}}=-(2-\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\)
\(= -\sqrt{(2-\sqrt{3})^2(7+4\sqrt{3})}=-\sqrt{(4-4\sqrt{3}+3)(7+4\sqrt{3})}=\)
\(= -\sqrt{(7-4 \sqrt{3})(7+4 \sqrt{3})}=-\sqrt{7^2-(4\sqrt{3})^2}=-\sqrt{49-48}=\)
\(=-1\)
Oтвет: -1
8. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на отрезке
[-4,5; 3,5]. Найдите количество точек максимума функции f(x) на данном отрезке.
Pешение:
Что такое точка максимума?
Точка максимума – это такая внутренняя точка области определения функции, в которой значения функции больше, чем во всех достаточно близких к ней соседних точках («горка» на графике функции).
На отрезке [-4,5; 3,5] три такие точки.
Oтвет: 3
9. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Коля бросает небольшие камешки в колодец, измеряя время их падения, и рассчитывает расстояние до воды по формуле \( h=5t^2 \), где \( h \) — расстояние в метрах, \(t\) — время падения в секундах. До дождя камушки падали 1,6 с.
На сколько поднялся уровень воды после дождя, если измеряемое время уменьшилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
Решение:
После дождя уровень воды в колодце станет выше, а расстояние до воды уменьшится. Значит, и время падения камешка уменьшится, став равным 1,4 с.
Пусть \(h_1=5\cdot 1,6^2\) — расстояние до воды до дождя, \(h_2=5\cdot 1,4^2\) — расстояние до воды после дождя.
Уровень воды поднимется на \(h_1-h_2=5\cdot 1,6^2-5 \cdot 1,4^2=5(1,6-1,4)(1,6+1,4)=3\) метра.
Oтвет: 3
10. Исаак Ньютон
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? Предполагается, что коровы поедают траву равномерно.
Pешение:
Пусть M кг – масса травы, которая уже есть на лугу. Так как трава растет одинаково густо и быстро, то за каждый день вырастает одинаковое количество травы.
Обозначим за \(x\) кг/день – скорость роста травы. Каждый день масса травы на лугу увеличивается на \(x\) килограмм.
Пусть одна корова съедает в день \(y\) кг травы. Тогда 70 коров съедят за день \(70\cdot y\) кг травы.
Представим, что 70 коров пришли на луг, на котором уже есть трава (и ее \(M\) килограмм по всему лугу). Коровы едят траву, но при этом трава продолжает расти со скоростью \(x\) кг в день. Запишем условие: 70 коров поели бы всю траву за 24 дня:
\(M+24x=24 \cdot 70 \cdot y\)
Слева в уравнении – количество выросшей на лугу травы. Справа – количество травы, скушанной коровами, и они равны друг другу.
Пусть \(n\) – количество коров, которые поели бы всю траву за 96 дней.
\(\left\{\begin{matrix}
M+24x=24\cdot 70 \cdot y \\
M+60x=60 \cdot 30 \cdot y\\
M+96x=96 \cdot n \cdot y \end{matrix}\right.\)⟺\(\left\{\begin{matrix}
M+24x=1680 \cdot y\\
M+60x=1800 \cdot y\\
M+96x=96n \cdot y \end{matrix}\right.\)
Складываем три уравнения системы: \( 3M+180x=(3480+96n)\cdot y \)
Разделим обе части уравнения на 3: \( M+60x=1160\cdot y +32ny \)
Используя полученное уравнение и второе уравнение системы, получим:
\(1160\cdot y+32ny=1800\cdot y\)
\(32n=640\)
\(n=20\)
Oтвет: 20
11. Анна Mалкова
На рисунке изображены графики функций \(f(x)=ax^2+bx+c\) и \(g(x)=kx+d\) пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Pешение:
1) Начнем с функции \(g(x)\).
\(g(x) = kx + d\)
Если \(x=0\), то \(g(x)=d\), тогда \(d=-3\) (ордината точки А, где \(g(x)\) пересекает ось ординат).
\(k\) - это тангенс угла между прямой \(y=kx+d\) и положительным направлением оси ОХ.
Берем выделенные (жирные) точки, достраиваем до прямоугольного треугольника и находим тангенс угла.
\(k=tg\alpha =\frac{16}{4}=4\)
\(g(x)= 4x-3\)
2) \(f(x)=ax^2+bx+c\)
График функции \(f(x)\) получен из графика \(y_1=x^2\) сдвинутым на \(m\) единиц по горизонтали и на \(n\) по вертикали растяжением в \(a\) раз вдоль оси ОУ.
Получили: \(f(x)=p(x-m)^2+n\)
В нашем случае: \(m=1\); \(n=-5\).
\(f(x)=a(x-1)^2-5\). Подставив \(f(0)=-3\), найдем \(a=2\).
3) Найдём точки пересечения прямой и параболы.
Получим уравнение:
\(2(x-1)^2-5=4x-3\)
\(2x^2-4x-3=4x-3\)
\(2x^2-8x=0\)
\(\left[\begin{array}{ccc}x=0\\x=4
\\
\end{array}\right. \\\)
\(x=0\) - это абcцисса точки \(A\)
\(x=4\) - это абcцисса точки \(B\)
Ответ: 4
12. Анна Малкова
Найдите наименьшее значение функции \( y=x^2-6x+11 \) на отрезке \( [-1;1]. \)
Pешение:
\(y=x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=(x-3)^2+2\),
график этой функции получен из графика функции \(y=x^2\) сдвигом на три единицы вправо и на две единицы вверх.
Данная функция на отрезке [-1; 1] монотонно убывает и поэтому наименьшее значение функции достигается в правом конце отрезка.
\(y_{min}=y(1)=6\)
Oтвет: 6
Часть 2. Задания с развернyтым ответом
13.
а) Решите уравнение \(2cos^2x+5sinx=5\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([-\frac{\pi}{2};2\pi]\)
Pешение:
\(2cos^2x+5sinx=5\)
а) Согласно основному тригонометрическому тождеству, \(\cos^2x+sin^2x=1\). Выразим \(\cos^2x\).
\(2(1-\sin^2 x)+5\sin x=5\)
\( 2-2 \sin^2 x+5 \sin x - 5 = 0 \)
\(-2\sin^2x+5\sin x-3=0\)
\(2 \sin^2 x-5\sin x +3=0\)
Сделаем замену \(\sin x=t\), \(|t|\leq 1\)
\(2t^2-5t+3=0\)
\(D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1\), \(\sqrt{D}=1\)
\(\left[\begin{array}{ccc}t_1=1\\t_2=\frac{3}{2}
\\
\end{array}\right. \\\); так как \(|t|\leq 1\), подходит только корень \(t_1=1\).
Тогда \(\sin x=1\)⟺\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\),\(n\in Z\)
б) Найдем корни уравнения на отрезке \([-\frac{\pi}{2};2\pi]\) с помощью двойного неравенства.
\(-\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n\leq 2\pi\)
Разделим обе части неравенства на \(\pi\).
\(-\frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}+2n\leq2\)
Вычтем \(\frac{1}{2}\) из обеих частей неравенства.
\(-1 \leq 2n\leq 1,5\)
Разделим на 2 обе части неравенства:
\(-0,5 \leq n\leq 0,75\)
Единственное целое решение – это \(n=0\). Тогда \(x=\frac{\pi}{2}\) – это единственный корень, который принадлежит отрезку \([-\frac{\pi}{2};2\pi]\).
Oтвет: \(\frac{\pi}{2}\)
14. Анна Малкова
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник \(ABCD\), в котором \( AB = 4 \), \(BD = 4\sqrt{2}\). Известно, что \(SB = \sqrt{11}\), \(SA = SC = 3\sqrt{3}\).
а) Докажите, что ребро \( SD \) перпендикулярно прямой \( AC \).
б) Найдите диаметр шара, описанного вокруг пирамиды \(SABCD\).
Pешение:
а) Так как по условию \(AB=4\), \( BD=4\sqrt{2}\), то прямоугольник \(ABCD\) – квадрат.
Рассмотрим \(\triangle ASB\):
\(SA=3\sqrt{3}=\sqrt{27}\) (по условию)
\(AB=4\), \(SB=\sqrt{11}\) (по условию), тогда \(SA^2=AB^2+SB^2\).
Для треугольника \(\triangle ASB\) выполняется теорема Пифагора, следовательно, он прямоугольный,
\(\angle ABS=90^{\circ}\).
Аналогично, \(\triangle BSC\)– прямоугольный, \(\angle CBS=\)90°.
Значит, \(SB\perp AB\), \(SB\perp BC\) =>\(SB\perp (ABC)\) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
\(SB\) – высота прямоугольной пирамиды \(SABCD\).
Так как \(ABCD\) – квадрат, \(AC \perp BD\) =>\(BD\) – проекция \(SD\) на плоскость (ABC). По теореме о трех перпендикулярах, \(AC\perp SD\).
б) Найдем диаметр шара, описанного вокруг пирамиды \(SABCD\)
Проведем \(AA_1\parallel SB\), \(DD_1\parallel SB\), \(CC_1\parallel SB\) и получим прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1SC_1D_1\).
Пусть \( O \) – точка пересечения его диагоналей, \(SD \cap AC_1=O\),
Точка \( O \) равноудалена от всех вершин параллелепипеда, в том числе от \(A, B, C, D\) и \(S\), и является центром шара, описанного вокруг пирамиды \(SABCD\).
Диаметр этого шара:
\(D=SD=\sqrt{BD^2+SB^2}=\sqrt{32+11}=\sqrt{43}\)
Ответ: \(\sqrt{43}\)
15. Решите неравенство: \(\left|x^2-2x\right|\) < \(\left|x+4 \right|\).
Решение:
Так как обе части неравенства неотрицательны, то их можно возвести в квадрат. Получим:
\((x^2-2x)^2\) < \((x+4)^2\)
Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов
\((x^2-2x)^2\) << \((x+4)^2\)⇔\((x^2-2x)^2-(x+4)^2\) < \(0\)⇔
⇔\((x^2-2x-x-4)(x^2-2x+x+4)\) < \(0\)⇔
⇔\((x^2-3x-4)(x^2-x+4)\) < \(0\).
Найдем нули каждого множителя. Для этого решим квадратные уравнения
\(x^2-3x-4=0\) и \(x^2-x+4=0\).
1) Корни уравнения \(x^2-3x-4=0\) – это \(x = - 1\) и \(x = 4\).
\(x^2-x+4=0\) - нет решений, \(D\) < \(0\). Значит, \(x^2-x+4\) > \(0\) для всех \(x\).
Получим: \(x^2-3x-4\) < \(0\).
\((x+1)(x-4)\) < \(0\). Решив квадратичное неравенство, получим ответ.
Ответ: \((-1;4)\)
16. Гражданин положил в банк определенную сумму денег под фиксированный процент годового дохода. За первые два года сумма вклада возросла на 60 тысяч рублей, а за третий год – еще на 49 тысяч рублей. Какой была первоначальная сумма вклада? Ответ выразите в тысячах рублей.
Pешение:
Пусть первоначальная сумма вклада равна S, банк начисляет р процентов годовых, и тогда к концу первого года вклад увеличивается в \(k = 1+ \frac{p}{100}\) раза.
К концу второго года вклад увеличится в \(k^2\) раз, к концу третьего – в \(k^3\) раз.
\(S \cdot k^2 = S + 60\),
\(S \cdot k^3 = S + 109\).
Мы получили два уравнения и две неизвестных.
Из первого уравнения: \(S \cdot (k^2 - 1) = 60\),
Из второго: \(S \cdot (k^3 - 1) = 109\).
Разложим по формулам сокращенного умножения \(k^2 - 1 = (k-1) \cdot (k+1)\)
и \((k^3 - 1) = (k-1) \cdot (k^2 +k+1)\), а затем поделим второе уравнение на первое:
\( \frac{k^2+k+1}{k+1}=\frac{109}{60}\);
\( \frac{k^2}{k+1}=\frac{49}{60}\);
\( 60k^2-49k-49=0 \);
\( D = 49^2 + 4\cdot 49\cdot 60 = 49 ( 49 + 240) = 49 \cdot 289 =\)
\( =(7\cdot 17)^2 = 119^2\)
\( k=\frac{49+119}{120}=\frac{168}{120}=1,4\);
\( p = 40\) (процентов); \(S=\frac{60}{k^2-1 } = \frac{60}{0,96}= 62,5\).
Ответ: 62,5
17. Анна Малкова
Окружности с центрами \(O_{1}\) и \(O_{2}\) касаются внешним образом в точке \(K\). Прямая \(AB\) касается первой окружности в точке \(A\), а второй — в точке \(B\). На отрезке \(AB\) взята точка \(N\) так, что \(NK\) – общая внутренняя касательная к обеим окружностям.
а) Докажите, что углы \(O_1NO_2\) и \(AKB\) равны.
б) Пусть \(E\) – точка пересечения \(AK\) и \(O_1N\), \(F\) – точка пересечения \(BK\) и \(O_2N\), радиусы окружностей равны 8 и 2. Найдите \(EF\).
Pешение:
а) Докажем, что \(\angle O_1NO_2\)=∠\(AKB\).
Заметим, что \(AN=NK=NB\) как отрезки касательных, проведённых из точки \(N\).
Покажем, что \(\angle AKB=90\)°.
Точки \(A\), \(K\) и \(B\) равноудалены от точки \(N\).
Следовательно, они лежат на окружности с центром в точке \(N\), причем \(AB\) – диаметр этой окружности. Тогда \(\angle AKB=90\)° как опирающийся на диаметр.
б) Найдём \(EF\).
\(\triangle ANK\)– равнобедренный, \(NK=NA\).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому \(NE\) – биссектриса и высота \(\triangle ANK\), \(\angle NEK=90\)°.
Аналогично, \(\angle NFK=90\)°, значит, \(NEKF\)– прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому \(EF=NK\).
\( EF=NK=\frac{1}{2} AB\) \(AB=\sqrt{(R+2)^2-(R-2)^2})=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr}\);
\( EF= NK=\frac{2\sqrt{Rr}}{2}=\sqrt{Rr}= 4\).
Ответ: 4
18. Анна Малкова
При каком значении параметра \(a\) система
\(\left\{ \begin{array}{c}
2\leq y \leq 2+\sqrt[]{6x-x^2-5} (1) \\
\sqrt[]{(x-1)^2+(y-a)^2}+\sqrt[]{(x-5)^2+(y-a)^2}=4 (2) \\
\sin \pi x=0 \\
\sin \pi y=0 \end{array}
\right.\)
имеет наибольшее количество решений? Найдите эти решения.
Pешение:
Решим систему графически в системе координат Х; Y. Начнем со второго уравнения системы.
Вспомним, что уравнение отрезка \(\begin{bmatrix}
AB\end{bmatrix}\), концы которого – точки \(A (x_A; y_A)\) и \(B (x_B; y_B)\) имеет вид:
\(\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}\)+\(\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2)}\)=\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)}\)
В левой части этого длинного уравнения – сумма расстояний от точки \(M\) с координатами \((x;y)\) до точек \(A (x_A; y_A)\) и \(B (x_B; y_B)\). В правой – расстояние между точками \(A\) и \(B\).
с координатами \((x;y)\) до точек \(A (x_A; y_A)\) и \(B (x_B; y_B)\). В правой – расстояние между точками \(A\) и \(B\).
Пара чисел \((x;y)\) соответствует координатам любой точки этого отрезка.
Кратко это можно записать: \(|AM|+|BM|=|AB|\), и это значит, что точка \(M\) лежит на отрезке \(\begin{bmatrix}
AB\end{bmatrix}\).
В нашем случае точки \(A\) и \(B\) имеют координаты: \(A(1;a); B(5;a)\). Расстояние между этими точками равно 4. Первое уравнение задает отрезок \(AB\). Ордината точек \(A\) и \(B\) равна параметру \(a\). Можно сказать, что это отрезок длины 4, который, в зависимости от параметра \(a\), может быть расположен выше или ниже на координатной плоскости.
Разберемся с неравенством (1).
Уравнение \(y=\sqrt{R^2-(x-a)^2}+b\) задает верхнюю полуокружность, центр которой – в точке с координатами \((a;b)\), а радиус равен \(|R|\).
Значит, неравенство (1) задает область, ограниченную прямой \(y=2\) и полуокружностью \(\sqrt{(4-(x-3)^2)}+2c\) центром в точке \(P(3;2)\) и радиусом равным 2.
Решим уравнения \(\sin \pi x=0\) и \(\sin \pi y=0\).
Решения первого уравнения: \(x=n\).
Решения второго уравнения: \(y=k\), где \(k\) и \(n\)- целые.
Следовательно, уравнения \(\sin \pi x=0\) и \(\sin \pi y=0\) задают бесконечное множество точек, обе координаты которых – целые числа.
Обратите внимание: переменные \(x\) и \(y\) независимы, и поэтому мы используем две целые переменные, \(n\) и \(k\).
Будем передвигать отрезок, заданный вторым уравнением, вверх-вниз по горизонтали в зависимости от параметра \(a\). Концы этого отрезка – точки \(A(1;a); B(5;a)\). Если \(a\) < \(2\), то отрезок не имеет общих точек с областью, заданной первым неравенством. При \(a = 2\) он пересекает эту область по ее границе, и система имеет ровно 5 решений, соответствующих точкам \(A, K, P, N, B\). Если \(a = 3\), то решений всего три. При \(a = 4\) остается только одно решение, при \(a\) > \(4\) исходная система не имеет решений. Значит, в случае \(a=2\), система имеет наибольшее число решений, а именно 5.
Ответ: \(a=2\), решения: (1;2); (2;2); (3;2); (4;2); (5;2).
19. В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, второй – по 200 г, третий – по 300 г., а четвертый – по 400 г.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили различное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Решение:
а) Ответ: да, может. Например, первый и четвертый ученики кормят семь кроликов. Каждый из этих семи кроликов получает по 100 + 400 = 500 г корма. Второй и третий ученики кормят восьмерых оставшихся кроликов, которые также получат по 200 + 300 = 500 г корма.
б) Ответ: нет, не может.
Пусть среди кроликов есть «счастливец», которого покормили все школьники. Он получил максимально возможное количество корма, равное 100 + 200 + 300 + 400 = 1000 г.
Среди кроликов также может быть «невезучий», которого никто не покормил. Он получил 0 грамм корма. Значит, количество корма для одного кролика может принимать 11 значений: 0, 100, 200, 300… 1000 грамм.
Поскольку кроликов 15, а возможных значений только 11, среди этих пятнадцати найдутся кролики, получившие одинаковое количество корма.
в) Если каждый ученик насыпал корм четверым кроликам, то всего ученики раздали кроликам
4∙ (100 + 200 + 300 + 400) = 4000 г. корма.
В пункте (б) мы выяснили, что всего может быть 11 различных значений для количества корма, которое получил кролик. Но если 11 кроликов получают различное количество корма, то общее количество корма равно
0 + 100 + 200 +…+ 1000 = 5500 грамм. Это на 1500 грамм больше, чем 4000 грамм.
Значит, накормить 11 кроликов, соблюдая все условия пункта (в), школьники не смогут.
Вариант с 10 кроликами также невозможен: даже если среди кроликов не будет того, который получил 1000 г, все равно не хватает 500 г корма.
Получается, что число кроликов не больше, чем 9. Мы оценили количество кроликов. Приведем пример, когда кроликов именно 9.
Варианты 1000 г и 500 г отсутствуют. Все условия задачи выполнены – каждый ученик покормил 4 кроликов, и все кролики получили различное количество корма.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 9