ЕГЭ-2023 Вариант 2, решения

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=ZhQ4H_BaR_4&t;t\&t=13s
и https://www.youtube.com/watch?v=w-yTVjQXW4A&t;t\&t=161s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 24, боковая сторона 25. Найдите высоту трапеции.

Pешение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и $h^2=25^2-7^2=(25-7)(25+7)=18 \cdot 32$ . Отсюда $h=\sqrt{(18\cdot 32)}=\sqrt{(9\cdot 64)}=3\cdot 8=24$ .

Oтвет: 24

2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Pешение:

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

$S_{1}=6\cdot 6=36$ (большой квадрат),

$S_{2}=2\cdot 4=8$ (маленький прямоугольник),

Подставим все данные в формулу
и найдем площадь поверхности многогранника:

Oтвет: 424

3. Александра Антонова

Рэпер Клим готовится выступить на концерте. Он считает, что чем позже выступает артист на концерте, тем он круче. Порядок выступлений определяется случайным образом. С какой вероятностью Клим выступит после своих основных соперников: Гоги и Алекса? Ответ округлите до сотых.

Решение:
Клим может выступить первым, вторым или третьим равновероятно. Вероятность того, что он будет третьим, равна $\frac{1}{3}$ .

Oтвет: 0,33

4. Монету бросают 10 раз. Во сколько раз событие «Орел выпадет ровно 8 раз» более вероятно, чем событие «Орел выпадет ровно 9 раз»?

Pешение:

Начнем с числа возможных исходов. Если мы бросаем монету, возможных исходов два – орел или решка.
Бросим монету два раза (или две монеты одновременно, все равно). И вот уже 4 возможных исхода:
ОО
ОР
РО
РР
(буквой О обозначен выпавший «орел», буквой «р» - решка).
Каждый следующий бросок монеты увеличивает число возможных исходов в 2 раза (орел или решка).
Для 10 бросков монеты количество возможных исходов, очевидно, равно $2^{10}$ .

По определению, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Рассмотрим случай, когда орел выпадет ровно 9 раз из 10 бросков монеты. Это значит, что решка выпала ровно 1 раз.
Это могло произойти при первом броске, при втором, при третьем… и, наконец, при десятом, всего 10 благоприятных исходов. Вероятность выпадения решки ровно 1 раз из 10 бросков $P_1=\frac{10}{2^{10}}$ .

Теперь случай, когда орел выпал ровно 8 раз из 10 бросков монеты. Значит, решка выпала ровно 2 раза.
Пронумеруем броски: 1,2,3…10.
Решка могла выпасть в первый и во второй раз. Обозначим эту комбинацию 12.
Могла также выпасть в первый и третий раз, в первый и четвертый… Эти комбинации обозначаем как 13, 14…
Пронумеруем таким образом все благоприятные исходы.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1 10

23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2 10

34, 35, 36, 37, 38, 39, 3 10

45, 46, 47, 48, 49, 4 10

56, 57, 58, 59, 5 10

67, 68, 69, 6 10

78, 79, 7 10

89, 8 10

9 10
Количество благоприятных исходов равно $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$ .
Тогда $P_2=\frac{45}{2^{10}}$ .
Поделив $P_2$ на $P_1$ , получим, во сколько раз выпадение решки ровно 8 раз более вероятно, чем выпадение решки ровно 9 раз:

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{45}{2^{10}}:\frac{10}{2^{10}}=4,5$
Можно было решить задачу быстрее, с помощью формулы Бернулли.

Пусть проводится $n$ одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А может произойти с вероятностью p или не произойти с вероятностью $q=1-p$ .
Вероятность $P_n^m$ того, что в $n$ независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно $m$ раз, равна:
$P_n^m=C_n^m p^m q^{n-m}$ , где:
$p$ – вероятность появления события A в каждом испытании;
$q=1-p$ – вероятность непоявления события A в каждом испытании.
$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
Найдем вероятность того, что из 10 бросков монеты ровно 9 раз выпадет орел. Это значит, что $n = 10$ , $m = 9$ , $p=\frac{1}{2}$ (вероятность выпадения орла при одном броске монеты); $q=\frac{1}{2}$ – вероятность противоположного события (вероятность выпадения решки при одном броске).
$P_1=P_{10}^9=C_{10}^9\cdot (\frac{1}{2})^9\cdot (\frac{1}{2})^{10-9}$ = $\frac{10!)}{9!(10-9)!}\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{10!}{9!\cdot 2^{10}}$ = $= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot ... \cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot... \cdot 1 } \cdot \frac{1}{2^{10}}$ $=\frac{10}{2^{10}}$

Аналогично, найдем вероятность выпадения 8 орлов при 10 бросках монеты.
$P_2=P_{10}^8=C_{10}^8\cdot (\frac{1}{2})^8\cdot (\frac{1}{2})^{2}$ = $\frac{10!)}{8!(10-8)}!\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{10!}{8!\cdot 2 \cdot 2^{10}}$ = $= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot ... \cdot 1}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot... \cdot 1 } \cdot \frac{1}{2^{11}}$ $=\frac{45}{2^{10}}$
$\frac{P_2}{P_1}=\frac{45\cdot 2^{10}}{10\cdot 2^{10}}=\frac{45}{10}=4,5$

Oтвет: 4,5

5. Решите уравнение: $\sin \frac{\pi x}{6}=-\frac{1}{2}.$
В ответе запишите наименьший положительный корень.

Pешение:

Замена: $\frac{\pi x}{6}=t$

$\sin t=-\frac{1}{2}$ ⇔ $\left[\begin{array}{ccc}t=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n; n\in Z\\t=-\frac{\pi }{6}+2\pi n; n\in Z\end{array}\right. \\$

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\pi x }{6}=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n; n\in Z\\\frac{\pi x}{6}=-\frac{\pi }{6}+2\pi n; n\in Z\end{array}\right. \\$

Каждое уравнение умножим на $\frac{6}{\pi}$ :

$\left[\begin{array}{ccc}x=-5+12n; n\in Z\\x=-1+12n; n\in Z\end{array}\right. \\$

Из каждой серии выпишем несколько значений $x$ :

$n=0$ ; $x_1=-5$ ; $x_2=-1$

$n=1$ ; $x_1=7$ ; $x_2=11$

$n=2$ ; $x_1=19$ ; $x_2=23$

наименьший положительный корень $x=7$

Oтвет: 7

6. Найдите значение выражения $\frac{(b^{\sqrt{3}})^{2\sqrt{3}}}{b^4}$ при $b=5$ .

Pешение:

$\frac{(b^{\sqrt{3}})^{2\sqrt{3}}}{b^4}=\frac{b^{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}}{b^4}=\frac{b^6}{4}=b^2$

При $b=5$ получим: $5^2=25$ .

Oтвет: 25

7. На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ .

Pешение:

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$
Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, то есть угловому коэффициенту касательной.

$f$
Найдем $tg\alpha$ из прямоугольного треугольника. Вершины острых углов – это жирные точки на рисунке.

$tg\alpha=\frac{a}{b}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25$

Oтвет: 0,25

8. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f=30$ см.
Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}$ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Фокусное расстояние линзы известно. Но какое же значение $d_2$ (расстояние от линзы до экрана) надо подставлять в формулу? Нам надо найти наименьшее расстояние от лампочки до линзы $d_1$ . Если $d_1$ – наименьшее, то обратная величина $\frac{1}{d_1}$ будет наибольшей. Поскольку $\frac{1}{f}$ – константа, второе слагаемое $\frac{1}{d_2}$ в формуле линзы должно быть наименьшим, а обратная ему величина $d_2$ – наибольшей, то есть равной 180. Подставим данные в формулу:

$\frac{1}{d_2}+\frac{1}{180}=\frac{1}{30}$

$d_1=36$

Oтвет: 36

9. Весной катер идёт против течения реки в $\frac{5}{3}$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в $\frac{3}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Pешение:

Пусть $x$ км/ч – собственная скорость катера, $y$ км/ч – скорость течения реки весной, $y-1$ км/ч – скорость течения реки летом.
Составим таблицу, в которую запишем скорость движения по течению и против течения весной и летом.

Составим систему уравнений и решим ее.

$\left\{\begin{matrix}\frac{x+y}{x-y}=\frac{5}{3} \\\frac{x+y-1}{x-y+1}=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$

Первое уравнение: поделили скорость движения весной по течению на скорость движения весной против течения, получили $\frac{5}{3}$ .
Второе уравнение: поделили скорость движения летом по течению на скорость движения летом против течения, получили $\frac{3}{2}$ .
Каждое уравнение упростим как пропорцию.

$\left\{\begin{matrix}3(x+y)=5(x-y), \\2(x+y-1)=3(x-y+1) \end{matrix}\right.$

Раскроем скобки и приведем подобные.

$\left\{\begin{matrix}x=4y, \\x-5y=-5 \end{matrix}\right.$

Подставим $x=4y$ во второе уравнение.
Получим: $y=5$ , это скорость течения весной.
$x=20$ .
В ответе запишем скорость течения весной.

Oтвет: 5

10. На рисунке изображены графики функций $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$ , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Pешение:

График функции $y=\frac{k}{x}$ проходит через точку А(2; 1); значит, $\frac{k}{2}=1$ ; $k=2$ , $f(x)=\frac{2}{x}$ .
График функции $g(x)=ax+b$ проходит через точки (2; 1) и (1; -4), $a=5$ – угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси X); тогда $5\cdot2+b=1$ ; $b=-9$ .
Для точек A и B имеем: $f(x)=g(x)$ ;
$\frac{2}{x}=5x-9$ ;
$5x^2-9x-2=0$ ;
Отсюда $x=2$ (абсцисса точки A) или $x=-0,2$ (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2

11. Анна Малкова

Найдите наименьшее значение функции $y=13+\frac{\sqrt{3} \pi}{3}-2\sqrt{3}\cdot x -4\sqrt{3} \cos x$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Pешение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

$y$

$y$ , тогда $sin x =\frac{1}{2}$ .

На указанном отрезке это уравнение имеет единственное решение $x=\frac{\pi}{6}$ .
Слева от этой точки $2 sin x-1$ < 0, производная отрицательна. Справа от этой точки $2 sin x-1$ > 0, производная положительна. Значит, $x=\frac{\pi}{6}$ - точка минимума функции, и наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке.

Найдем значения функции в этой точке:

$y(\frac{\pi}{6})=13+\frac{\sqrt{3 \pi}}{3}-2\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{6}-4\sqrt{3}\cdot cos \frac{\pi}{6}=13+\frac{\sqrt{3 \pi}}{3}-\frac{\sqrt{3} \pi}{3}-4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=13-6=7$

Oтвет: 7

Часть 2. Задания с развернyтым ответом

12.

а) Решите уравнение $\sin^2 2x=\cos 2x+ 4 sin^4 x$

б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Pешение:

Воспользуемся формулой понижения степени: $sin^2 x=\frac{1-cos 2x}{2}$

$sin^4x=(\frac{1-cos2x}{2})^2=\frac{1-2cos2x+cos^2 2x}{4}$

$sin^2 2x=cos 2x+4sin^4 x$ ⇔

⇔ $1-cos^2 2x=cos 2x + \frac{4(1-2cos2x+cos^2 2x)}{4}$ ⇔

⇔ $1-cos^2 2x=cos 2x + 1-2cos 2x +cos^2 2x$ ⇔

⇔ $2cos^2 2x - cos 2x=0$ ⇔ $cos2x(2cos2x-1)=0$ ⇔ $\left[\begin{array}{ccc}cos2x=0\\2cos2x=1\end{array}\right. \\$ ⇔

⇔ $\left[\begin{array}{ccc}cos2x=0\\cos2x=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\$ ⇔ $\left[\begin{array}{ccc}2x=\frac{\pi }{2}+\pi k; k\in Z\\2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n; n\in Z\end{array}\right. \\$ ⇔ $\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}; k\in Z\\x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n; n\in Z\end{array}\right. \\$

б) Найдем корни на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ с помощью единичной окружности.
Отметим на единичной окружности отрезок $[0; \frac{\pi}{2}]$ и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки:

$\frac{\pi}{6}$ ; $\frac{\pi}{4}$

Oтвет: а) $\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}; k\in Z\\x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n; n\in Z\end{array}\right. \\$

б) $\frac{\pi}{6}$ ; $\frac{\pi}{4}$

13. Анна Малкова

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ боковое ребро в $\sqrt{2}$ больше, чем высота $SO$ .
а) Докажите, что все боковые грани пирамиды – правильные треугольники.

б) Точка $M$ – середина бокового ребра $SC$ . Найдите угол между прямой $DM$ и плоскостью основания.

Pешение:

а) $SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида, основание пирамиды $ABCD$ - квадрат, высота пирамиды проецируется в центр квадрата, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Пусть $SO=a$ , тогда $SA=a\sqrt{2}$ ,
$\triangle SOA$ – прямоугольный. По теореме Пифагора получаем, что $AO=a$ .
$ABCD$ – квадрат, диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO=OD=a$ ,
$\triangle AOD$ – прямоугольный, равнобедренный, $AD=a\sqrt{2}$ .
Получили для $\bigtriangleup SAD$ : $SA=SD=AD=a\sqrt{2}$ ;
$\triangle SAD$ –правильный, и все боковые грани правильные треугольники.

б) $M$ – середина бокового ребра $SC$ , тогда $SM=MC$ .
Пусть $M_1$ –проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$ .
$MM_1 \perp (ABC)$ ⇒ $MM_1\parallel SO$ , а значит, $M_1$ – середина $OC$ (т.к. $\triangle MM_1C~\triangle SOC$ по двум углам).
$MM_1=\frac{a}{2}$ . Найдём $DM_1$ .

$\triangle ODM_1$ прямоугольный, $OM=\frac{a}{2}$ ; $OD=a$
$DM_1=\sqrt{OM_1^2+OD^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ .

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между прямой $MD$ и плоскостью основания – это угол $\angle MDM_1=\varphi$ .
Рассмотрим прямоугольный треугольник $MDM_1$ .

$tg \varphi=\frac{MM_1}{DM_1}=\frac{a}{2}:\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ ;

Также можно было найти синус угла $\varphi$ .

В равностороннем треугольнике $SDCDM$ - медиана и высота,
$DM=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

$sin$ $\varphi$ = $\frac{MM_1}{DM}$ = $\frac{a}{2}:\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}$ ⇒ $\varphi=arcsin \frac{1}{\sqrt{6}}$ .

Ответ: $\varphi=arcsin \frac{1}{\sqrt{6}}=arctg \frac{1}{\sqrt{5}}$

14. Решите неравенство: $log_{0,5}(x^2+3x-2)+log_{2}(x^4+6x^3+9x^2)\leqslant 3$ .

Решение:

Упростим выражение под вторым логарифмом.

$x^4+6x^3+9x^2=x^2(x^2+6x+9)=x^2\cdot (x+3)^2=(x\cdot (x+3))^2=(x^2+3x)^2$

Неравенство примет вид:

$log_{0,5}(x^2+3x-2)+log_2(x^2+3x)^2\leqslant 3$

$log_{0,5}(x^2+3x-2)=-log_2(x^2+3x-2)$

Сделаем замену переменной: $x^2+3x=t$

$log_2 t^2\leqslant 3+log_2(t-2)$ ⇔

⇔ $\left\{\begin{matrix}t^2>0 \\t-2>0 \\log_2 t^2\leqslant log_2 (8t-16)\end{matrix}\right.$

Функция $y=log_2 z$ монотонно возрастает, и если $log_2 z_1 \leqslant log_2 z_2$ ,то $z_1\leqslant z_2$ .

$\left\{\begin{matrix}t\neq 0 \\t>2 \\t^2-8t+16\leqslant 0 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}t\neq 0 \\t>2 \\(t-4)^2\leqslant 0 \end{matrix}\right.$ ⇔ $t=4$ .

Обратная замена:

$x^2+3x=4$ ⇔ $x^2+3x-4=0$ ⇔ $\left[\begin{array}{ccc}x=1\\x=-4\end{array}\right. \\$

Ответ: -4;1

15. Анна Малкова
Программист Егор покупает квартиру в ипотеку под 25% годовых. Егор рассчитал, что если выплачивать кредит ежегодными платежами, составляющими 738 тысяч рублей, кредит будет полностью выплачен за 3 года. Какими должны быть ежегодные платежи, чтобы Егор смог выплатить ипотечный кредит за 4 года?

Pешение:

Напишем схему погашения кредита.
Если Егор выплатит кредит за 3 года ежегодными платежами $X=738$ тысяч рублей, получим:

$((S\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-X=0$

Раскроем скобки:

$Sk^3-X(k^2+k+1)=0$ ;

$X=\frac{S \cdot k^3}{k^2+k+1}$ (1). Будем вести расчеты в тысячах рублей.

Если Егор выплатит кредит за 4 года ежегодными платежами Y, получим:

$(((S \cdot k-Y) \cdot k-Y) \cdot k-Y) \cdot k-Y=0$

$Sk^4-Y(k^3+k^2+k+1)=0$ ;

$Y=\frac{S \cdot k^4}{k^3+k^2+k+1}$ (2)

Поделим второе уравнение на первое.

$\frac{Y}{X}=\frac{k(k^2+k+1)}{(k^2+1)(k+1)}$

$\frac{Y}{X}=\frac{k(k^2+k+1)(k-1)}{(k^2+1)(k+1)(k-1)}$

Применим формулы разности кубов и разности квадратов.

$\frac{Y}{X}=\frac{k(k^3-1)}{(k^4-1)}=\frac{5(5^3-4^3)}{(5^4-4^4)}=\frac{5(125-64)}{625-256}=\frac{305}{369}$ ,

$Y=\frac{305}{369}\cdot 738=610$

Ответ: 610

16. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, отношение $BD:AC=2$ .

а) Докажите, что площадь трапеции равна площади квадрата со стороной $AC$ .
б) Найдите отношение $AD$ к $BC$ .

Pешение:

а) $S$ трапеции = $S$ квадрата = $AC^2$

Пусть $AC=m$ , $BD=2m$

Проведем $CE\parallel BD$ ,

$BC$ и $ED$ - параллельные прямые по определению,

$BC=ED$ , $BD\parallel CE$ ;

$AD=a$ , $DE=BC=b$ ;

$\triangle ACE$ - прямоугольный;

$S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AC\cdot CE=\frac{1}{2}m\cdot 2m=\frac{a+b}{2}\cdot h=S$ трапеции

б)
1) Обозначим: $AD=a$ ; $BC=b$ ; $AC=m$ ;

$BD=2m$ . Проведем $CE\parallel BD$ и продолжим $AD$ до точки $E$ . Тогда $BCED$ – параллелограмм и $CE=2m$ , $DE=b$ .

2) Найдем соотношения между $a,b,m$ , используя прямоугольные треугольники.
Из $\triangle ACE$ : $(a+b)^2=m^2+(2m)^2=5m^2$ . Отсюда: $m^2=\frac{(a+b)^2}{5}$ (1)

Из $\triangle ABC$ : $AB^2=m^2-b^2$ , а из $\triangle ABD$ : $AB^2=4m^2-a^2$ . Отсюда:

$m^2-b^2=4m^2-a^2$ , или $a^2-b^2=3m^2$ , или $m^2=\frac{a^2-b^2}{3}$ (2)

Из (1) и (2) получаем: $\frac{(a+b)^2}{5}=\frac{(a+b)(a-b)}{3}$ ; $3(a+b)=5(a-b)$ ; $a=4b$ . Отношение оснований трапеции равно 4.

Ответ: 4

17. Анна Малкова

При каких значениях параметра $a$ система

$\left\{\begin{matrix}(a-x-2)(a+x-4)=0 \\x^2+a^2\leqslant 4x+6a\end{matrix}\right.$

имеет единственное решение?

Pешение:

Первое уравнение: произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Значит, первое уравнение равносильно совокупности уравнений:

$\left[\begin{array}{ccc}a=x+2\\a=-x+4\end{array}\right. \\$

На плоскости $(x; a)$ такая совокупность задает пару пересекающихся прямых.
Второе неравенство: $x^2+a^2\leqslant 4x+6a$
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и выделим полные квадраты.
$x^2-4x+4+a^2-6a+9\leqslant 13$
$(x-2)^2+(a-3)^2\leqslant 13$
На координатной плоскости $(x; a)$ это неравенство задает круг вместе с границей с центром в точке $P(2;3)$ и радиусом равным $\sqrt{13}$ .
Получили систему:

$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{ccc}a=x+2\\a=-x+4\end{array}\right. \\ \\(x-2)^2+(a-3)^2\leqslant 13\end{matrix}\right.$

Решаем систему графически.
Заметим, что точка $O(0;0)$ лежит на окружности $(x-2)^2+(a-3)^2=13$ , так как квадрат расстояния от точки $P(2;3)$ до начала координат равен $2^2+3^2=13$ .
Точки $A(-1;1)$ ; $B(4;6)$ ; $C(4;0)$ и $D(-1;5)$ также лежат на этой окружности. В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнение окружности
$(x-2)^2+(a-3)^2=13$ .
Прямая $a=x+2$ проходит через точки $A(-1;1)$ и $B(4;6)$ .
Прямая $a=-x+4$ проходит через точки $C(4;0)$ и $D(-1;5)$ .
Прямые $a=x+2$ и $a=-x+4$ пересекаются в точке $M(1;3)$ .

Решениями системы являются пары чисел $(x;y)$ , соответствующие координатам точек, лежащих хотя бы на одной из данных прямых и при этом внутри круга (или на его границе).
Система имеет ровно одно решение, если круг и совокупность прямых имеют ровно одну общую точку.
Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая $a = a_0$ проходит выше точки $C$ или через точку $C$ и ниже точки $A$ . Это значит, что $a\in [0;1)$ .
2) Прямая $a = a_0$ проходит через точку $M$ пересечения прямых $a=x+2$ и $a=-x+4$ . Это значит, что $a=3$ (ордината точки $M$ равна 3).
Прямая $a=a_0$ проходит выше точки $D$ или через точку $D$ . При этом $a \in (5;6]$ .

Ответ: $a\in [0;1)\cup {{{3}}}\cup (5;6]$

18. Даны три сплава. Состав первого: 60% алюминия, 40% хрома.
Состав второго: 10% хрома, 90% титана.
Состав третьего сплава: 20% алюминия, 50% хрома, 30% титана.
Из них нужно приготовить новый сплав, содержащий 45% титана.
Известно, что массы всех трех сплавов выражаются целыми числами.

а) Может ли масса третьего сплава быть равной 7 кг?
б) Может ли процентное содержание хрома в новом сплаве быть равным 42%?
в) Найдите наименьшее процентное содержание хрома в новом сплаве. Ответ выразите в процентах.

Решение:

Пусть $x$ кг – масса первого сплава, $y$ кг – масса второго сплава, $z$ кг – масса третьего.
Тогда их сумма $x+y+z$ кг – масса четвертого сплава.

Пусть в четвертом сплаве содержится $p$ % хрома. Запишем систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix}0,4x+0,1y+0,5z=p(x+y+z) (1) \\0,9y+0,3z=0,45(x+y+z) (2) \end{matrix}\right.$

(1) - для хрома
(2) - для титана

Умножим каждое из уравнений на 10, чтобы избавиться от дробных коэффициентов.

$\left\{\begin{matrix}4x+y+5z=10p(x+y+z) \\90y+30z=45x+45y+45y \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}4x+y+5z=10p(x+y+z) \\3y=3x+z \end{matrix}\right.$

Из второго уравнения выразим $z=3y-3x$ .

а) Так как $z=3y-3x$ , $z$ делится на 3, значит, $z$ не может быть равно 7.

б) Заметим, что, поскольку $z\geqslant 0$ , должно выполняться условие $y\geqslant x$ .

Из первого уравнения выразим 10р.

$10p=\frac{4x+y+5z}{x+y+z}=\frac{16y-11x}{4y-2x}$ .

Умножим обе части этого уравнения на 2. Знаменатель станет проще.

$20p=\frac{16y-11x}{2y-x}$ .

Теперь у нас есть система:

$\left\{\begin{matrix}20p=\frac{16y-11x}{2y-x} \\y\geqslant x \end{matrix}\right.$

Выделим целую часть:

$20p=\frac{16y-8x-3x}{2y-x}=8-\frac{3x}{2y-x}$ .

Очевидно, что $\frac{3x}{2y-x}\geqslant 0$ . Ведь $x$ – неотрицательная величина, $y \geqslant x$ , и тогда $2y-x$ в знаменателе положительна. Тогда

$20p\leqslant 8$ , $p\leqslant \frac{8}{20}$ ,

то есть $p\leqslant 40$ %.

Нет, $p=42$ % не может быть.

в) Пусть $t=\frac{y}{x}$ , $t\geqslant 1$ , поскольку $y\geqslant x$ .

$20p=8-\frac{3}{2t-1}$ .

Поскольку $t\geqslant 1$ ,

$2t-1\geqslant 1$ и $3/(2t-1)\leqslant 3$ .Тогда

$20p\geqslant 8-3$ ; $20 p\geqslant 5$ , $p\geqslant 25$ %

Мы оценили $p$ . Осталось привести примеры, когда $p=25$ % и когда $p = 40$ %.
Возьмем $x=0$ (первый сплав не берем вообще). Тогда $z = 3y$ (масса третьего сплава в 3 раза больше, чем масса второго).

Пусть масса второго сплава равна $m_1$ , масса третьего $3m_1$ .

Для хрома: $0,1m_1+0,5\cdot 3m_1=1,6m_1=0,4\cdot 4m_1$ , то есть в четвертом сплаве 40% хрома.
Для титана: $0,9m_1+0,3\cdot 3m=1,8m_1= 0,45\cdot 4m_1$ – в четвертом сплаве 45% титана.

Возьмем $x=y=m_2$ (первого и второго сплава поровну). Тогда $z=0$ (третий сплав не берем), для хрома получаем:

$0,4\cdot m_2+0,1 m_2=0,5 \cdot m_2=0,25\cdot 2m_2$ – в итоговом сплаве 25% хрома.
Для титана: $0,9\cdot m_2=0,45\cdot 2 m_2$ – в итоговом сплаве снова 45% титана. Все условия выполнены.

Ответ:
а) нет
б) нет
в) 25

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «ЕГЭ-2023 Вариант 2, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 25.09.2023

ЕГЭ-2023 Вариант 2, решения

Это полезно