Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=pPIPqQSIxY0&t;t\&t=6712s
и https://www.youtube.com/watch?v=GFlLWF2jXBk&t;t\&t=48s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ выразите в градусах.
Решение:\([(x),(x):]\)
Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма противолежащих углов равна 180°. Углы, равные 56° и 77°, не могут быть противоположными, их сумма не равна 180°. Значит, напротив угла в 56° лежит угол 180°-56°=124°, а напротив угла 77° лежит угол 180°-77°=103°, это меньший из оставшихся углов.
Ответ:103
2. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
Решение:
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\);
\(|\overrightarrow{CB}|=CB\); сторону ромба найдем из \(\triangle COB\), где \(O\) - точка пересечения диагоналей ромба.
\(\triangle COB\) - прямоугольный, \(AC\perp BD\)
В \(\triangle COB:OC=8\), \(BO=6\), \(BC=\sqrt{8^2+6^2}=10\)
Ответ: 10
3. Объем правильной пирамиды \(SABCDEF\) равен 18.
Найдите объем пирамиды \(SACDF\).
Решение:
Объем пирамиды \(SABCDEF\) – это \(V_1=18\)
Объем пирамиды \(SACDF\) – это \(V_2\), его нужно найти.
Разделим шестиугольник \(ABCDEF\) на 6 треугольников, как показано на рисунке.
Заметим, что площади треугольников \(AOF\) и \(AOC\) равны (у них одинаковые основания и одинаковая высота).
Значит, площадь шестиугольника \(ABCDEF\) в 6 раз больше площади треугольника \(AOC\), а площадь четырехугольника \(ACDF\) – в 4 раза больше площади треугольника \(AOC\).
\(S_{ACDF}=4S_\Delta\)
\(\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1}{S_2}=\frac{6}{4}\)
\(\frac{18}{V_2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
\(V_2=12\)
Ответ: 12
4. Анна Малкова
Среди учащихся 11-х классов школы 100 человек сдают ЕГЭ по математике Профильного уровня. 55 из 100 готовятся к нему на курсах или с репетитором, 35 – самостоятельно, остальные не готовятся, но верят, что все будет хорошо.
По статистике, собранной за несколько лет учителем математики этой школы, вероятность написать Пробный ЕГЭ в ноябре не ниже 70 баллов равна 0,8 для тех, кто занимается на курсах или с репетитором. Для тех, кто готовится самостоятельно, вероятность написать Пробный не ниже 70 баллов равна 0,6. Для тех, кто не готовится, вероятность получить на Пробном не ниже 70 баллов равна 0,2.
В ноябре 2022 года все 100 учащихся написали Пробный ЕГЭ. Учитель математики берет на проверку случайно выбранную работу учащегося. С какой вероятностью эта работа будет оценена не ниже, чем в 70 баллов?
Решение:
Применим теоремы о сумме несовместных событий и произведении независимых событий.
Написать Пробный не ниже 70 баллов мог ученик, который занимался на курсах или с репетитором и получил не ниже 70. Или тот, кто готовился самостоятельно и получил не ниже 70. Или тот, кто не готовился и получил не ниже 70 баллов.
\(p=0,55\cdot 0,8+0,35\cdot 0,6+0,02=0,44+0,21+0,02=0,67\)
Ответ: 0,67
5. Анна Малкова
Предположим, что в условиях предыдущей задачи учитель математики проверил случайно выбранную работу и поставил за нее 72 балла. С какой вероятностью эта работа написана учеником, который никак не готовился к ЕГЭ по математике?
Результат округлите до сотых.
Решение:
Это задача на условную вероятность. Применим простой способ ее решения.
в задаче 3 мы нашли, что с вероятностью 0,67 работа оценена не ниже 70 баллов. Значит, 67 из 100 учеников получили не ниже 70 баллов.
Из 100 человек 10 никак не готовятся и с вероятностью 0,2 получают не ниже 70 баллов. Значит, 2 человека никак не готовились и получили не ниже 70.
Среди тех, кто никак не готовился (67 учеников), двое получили не ниже 70 баллов.
Вероятность равна \(\frac{2}{67}\approx 0,03\).
Ответ: 0,03
6. Решите уравнение: \(log_2(2^x-8)=3\).
Решение:
\(log_2(2^x-8)=3\)
ОДЗ: \(2^x-8>0\)
\(2^x-8=2^3\)
\(2^x=16\)
\(x=4\)
Ответ: 4
7. Александра Антонова
Найдите значение выражения: \(\frac{1}{2}+8\sqrt{2}sin\frac{\pi}{8}cos\frac{\pi}{8}\).
Решение:
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
\(sin 2\alpha =2 sin \alpha \cdot cos\alpha \)
\(\frac{1}{2}+8\sqrt{2} sin \frac{\pi}{8} cos \frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}+4\sqrt{2}\cdot sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4,5\)
Ответ: 4,5
8. На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на отрезке [-3; 7]. В какой точке отрезка [1; 5] \(f(x)\) принимает наименьшее значение?
Решение:
На рисунке изображен график производной.
Если функция возрастает – ее производная положительна. Если функция убывает – ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса на «плюс». На рисунке есть такая точка, и это \( x = 1,5\). Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5], производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает. Значит, \(x=1,5\) - точка минимума функции \(f(x)\). Поэтому свое наименьшее значение функция \(y = f(x)\) принимает свое наименьшее значение на данном интервале в точке 1,5
Ответ: 1,5
9. Анна Малкова
Ускорение свободного падения (в м/с²) на поверхности планеты рассчитывается по формуле \(g=G\cdot \frac{M_{planety}}{(R_{planety})^2} \) , где \(G\) – гравитационная постоянная, \(G = 6,67\cdot 10^{-11}\) \(\frac{m^{3}}{c^{2}}\)∙кг.
Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты Файра*, если масса Файры равна \(3,68\cdot 10^{24}\) кг, ее радиус равен \(4,6\cdot 10^{6}\) метров, условия на планете близки к земным.
*Название вымышленное, возможные совпадения случайны.
Решение:
Найдем ускорение свободного падения на поверхности планеты Файра, подставив данные в формулу:
\(g=G\cdot \frac{M_{planety}}{(R_{planety})^2} \)=
=\(6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{3,68\cdot 10^{24}}{(4,6\cdot 10^6)^2}=\frac{3,68\cdot 66,7}{4,6^2}=\frac{0,8\cdot 66,7}{4,6}=11,6\)
Как видим, ускорение свободного падения на поверхности Файры немногим больше земного (равного 9,8 м/с²).
Ответ: 11,6
10. Александра Антонова
Сколько граммов воды нужно добавить к 50 граммов сухого картофельного пюре с содержанием воды 7%, чтобы получить пюре с содержанием воды 85%?
Решение:
Сухое пюре содержит воду и «сухой ингредиент», причем сухого ингредиента в нем 93%. Содержание сухого ингредиента в готовом пюре составляет 15%. При добавлении воды масса сухого ингредиента не меняется. Примем массу готового пюре за \(x\) и составим уравнение:
\(0,93\cdot 50 = 0,15x\).
Отсюда \(x = 310\) граммов – масса готового пюре. Значит, добавить надо \(310-50=260\) граммов воды.
Ответ: 260
11. На рисунке изображены графики функций \(f(x)=a\sqrt{x}\) и \(g(x)=kx+b\), которые пересекаются в точке А. Найдите ординату точки А.
Решение:
1) Найдем уравнение линейной функции. На ее графике выделены точки (3;2) и (6;1).
Линейная функция на рисунке - убывающая, значит, \(k<0\).
\(k=tg \alpha =-\frac{1}{3}\) – угловой коэффициент прямой.
Формула линейной функции: \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Чтобы найти \(b\), подставим в эту формулу координаты любой из выделенных точек. Возьмем, например, точку (3;2).
\(2=-\frac{1}{3}\cdot 3+b\); \(b=3\)
\(y=-\frac{1}{3}x+3\) - формула линейной функции.
2) Найдем коэффициент \(a\) в формуле второй функции \(f(x)=a\sqrt{x}\). На ее графике выделена точка (4;-3).
Подставим координаты этой точки в уравнение:
\(-3=a\sqrt{4}\); \(a=-1,5\); \(f(x)=-1,5\sqrt{x}\).
3) Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
y=-\frac{1}{3}x+3 \\
y=-1,5\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)
\(-1,5\sqrt{x}=-\frac{1}{3}x+3\);
\(9\sqrt{x}=2x-18\)
Решив это уравнение, найдем, что \(x=36\).
Это абсцисса точки пересечения графиков. Найдем ординату этой точки.
\( y(36)=-1,5\sqrt{36} = -1,5\cdot 6=-9 \)
Ответ: -9
12. Анна Малкова
Найдите наименьшее значение функции \( g(x)=\frac{x}{x^2+4} \) на отрезке \( [1;3]. \)
Решение:
Эта функция определена для всех \(x\) и является нечетной.
Если \( x < 0\) , значения функции отрицательны. Если \( x> 0\) , значения функции положительны.
Найдем производную функции: \(g'(x)=\frac{x^2+4-2x^2}{(t^2+4)^2}=\frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}\), \(g'(x)=0\), если \(x=\pm 2\)
Исследуем знаки производной:
На отрезке [1;3] есть только точка максимума \(x=2\). Найдем значения функции на концах этого отрезка.
\(g(1)=0,2;\) \(g(3)=\frac{3}{13}.\)
Сравним 0,2 и \(\frac{3}{13} \)
\(\frac{1}{5}\vee \frac{3}{13}\)
\(13<15\) \( 0,2 < \frac{3}{13} \) Значит, наименьшее значение на отрезке равно 0,2. Ответ: 0,2
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13.
а) Решите уравнение: \( sin 2x sin 6x = cos x cos 3x \)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([0;\frac{\pi}{2} ].\)
Решение:
Пользуемся формулами преобразования произведения в сумму.
Домножим обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:
\( 2sin 2x sin 6x= 2 cos x cos 3x\)
\(cos 4x - cos 8x=cos 2x +cos4x\)
\(cos 2x + cos 8x=0\)
\(2 cos 5x cos 3x = 0\)
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Получим: \(cos5x=0\) или \(cos3x=0\) Отсюда
\(x_1=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\) \(x_2=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\)\(n\in Z\)
б) Найдем корни на отрезке [0; \(\frac{\pi}{2}\)] с помощью двойного неравенства.
1) \(x_1=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\) \(n\in Z\)
\(0\leqslant \frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}\leqslant \frac{\pi}{2}\)
\(0\leqslant \frac{1}{10}+\frac{k}{5}\leqslant \frac{1}{2}\)
\(0\leqslant \frac{1}{2}+ k \leqslant \frac{5}{2}\)
\(-\frac{1}{2}\leqslant k \leqslant 2 \)
\(k=0;1;2.\)
\(x_1=\frac{\pi}{10}\)
\(x_2=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}=\frac{3 \pi}{10}\)
\(x_3=\frac{\pi}{10}+\frac{2 \pi}{5}=\frac{\pi}{2}\)
2) \(x_2=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\)\(n\in Z\)
\(0\leqslant \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\leqslant \frac{\pi}{2}\)
\(0\leqslant \frac{1}{6}+\frac{n}{3}\leqslant \frac{1}{2}\)
\(0\leqslant \frac{1}{2}+n \leqslant \frac{3}{2}\)
\(-\frac{1}{2}\leqslant n \leqslant 1\)
\(n=0\) или \(n=1\)
\(x=\frac{\pi}{6}\) или \(x=\frac{\pi}{2}\)
Ответ: а) \(x_1=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\) \(x_2=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\)\(n\in Z\)
б) \(\frac{\pi}{10}; \frac{\pi}{6}; \frac{3 \pi}{10}; \frac{\pi}{2}\)
14. Анна Малкова
Дан куб \(A...D_1\). Точка \(E\) – середина ребра \(AD\), точка \(F\) – середина ребра \(CC_1\). Плоскость, проходящая через точки \(E, F\) и \(A_1\), пересекает ребро \(CD\) в точке \(N\).
а) Докажите, что \(DN :CN = 2 : 1\).
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания куба. В ответе запишите тангенс этого угла.
Решение:
a) Докажем, что \(DN:CN=2:1\).
Построим сечение куба плоскостью \(\alpha\).
\(A_1\) и \(E\) лежат в плоскости \(AA_1 D\) и в плоскости \(\alpha\), \(A_1 E\)- линия пересечения плоскостей \(AA_1 D\) и \(\alpha\).
Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, поэтому
плоскость сечения пересекает противоположные грани куба по параллельным прямым.
Пусть точка \(T\) – середина \(B_1 C_1\), тогда \(CT \parallel A_1 E\) и \(CT=A_1 E\), т.к. \( \triangle A_1 E A= \triangle CTC_1\).
Обозначим ребро куба \(a\).
Пусть \(M\) - середина \(TC_1\), тогда \(MF\)- средняя линия \( \triangle CTC_1 \), \(MF\parallel CT\),
\(MC_1=\frac{1}{4} B_1 C_1\).
Построим \(EN\parallel A_1 M\);
Получим \(A_1 ENFM\) - сечение куба плоскостью \(\alpha\).
\(\triangle DNE \sim \triangle B_1 A_1 M\)⇒
\(\frac{DE}{B_1M}=\frac{DN}{A_1B_1}\)
\(\frac{a\cdot 4}{2\cdot 3a}=\frac{x}{a}\)
\(\frac{x}{a}=\frac{2}{3}\)
\(x=\frac{2}{3}aDN=\frac{2}{3}a\)
\(CN=\frac{1}{3}a\)
\(DN:CN=2:1.\)
б) Найдем угол \(\varphi\) между плоскостями \((A_1 EF)\) и \((ABC)\). Он равен углу между плоскостями \((A_1 EF)\) и \((A_1 B_1 C_1 )\), так как плоскости \((ABC)\) и \((A_1 B_1 C_1)\) параллельны.
Пусть \(E_1\) – проекция точки \(E\) на плоскость \((A_1 B_1 C_1 )\),
\(E_1 H\perp A_1 M\), тогда \(EH\perp A_1 M\) по теореме о трёх перпендикулярах.
\(\triangle E_1 HA \sim \triangle AB_1 M\)по двум углам,
\(\frac{E_1H}{A_1B_1}=\frac{AE_1}{A_1M}\)
Из прямоугольного треугольника \(\triangle A_1B_1M:A_1M=\frac{5a}{4}\). Тогда
\(\frac{E_1H}{a}=\frac{a\cdot 4}{2\cdot 5a}\)
\(E_1H=a\cdot\frac{2}{5}\)
\(tg\varphi =\frac{EE_1}{E_1H}=\frac{a\cdot 5}{a\cdot 2}=\frac{5}{2}=2,5\)
Ответ: 2,5
15. Александра Антонова
Решите неравенство: \(log_7(49x^2-25)-log_7 x\leqslant log_7(50x-\frac{9}{x}-10)\).
Решение:
Неравенство равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
49x^2-25>0 \\
x>0 \\
50x-\frac{9}{x}-10>0 \\
log_7\frac{49x^2-25}{x}\leqslant log_7(50x-\frac{9}{x}-10)\end{matrix}\right.\)
Функция \( y = log_7 t \) монотонно возрастает, потому что основание логарифма больше единицы. Поэтому
\(log_7 t_1 \le log_7 t_2\)⇔\(t_1\le t_2\) при \(t_1>0\), \(t_2>0\).
Система примет вид:
\(\left\{\begin{matrix}
(7x-5)\cdot (7x+5)>0 \\
x>0 \\
50x^2-10x-9>0 \\
49x^2-25\leqslant 50x^2-10x-9\end{matrix}\right.\)
Третье неравенство следует из первого и четвертого.
Система становится проще:
\(\left\{\begin{matrix}
7x-5>0 \\
x>0 \\
x^2-10x+16\geqslant 0\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix}
x>\frac{5}{7} \\
(x-8)\cdot (x-2)\geqslant 0\end{matrix}\right.\)
Решим последнее неравенство. Для этого найдем корни уравнения
\(x^2-10x+16=0\). Это \(x=2\) или \(x=8\).
Отметим на числовой прямой решения неравенств системы и запишем ответ.
Ответ: \((\frac{5}{7};2]\cup [8;+\infty ]\)
16. Анна Малкова
Задумав разбогатеть, Валентина Петровна основала стартап под названием «Всем банан».
1 ноября Валентина Петровна закупила 2 тонны бананов. Ежедневно с утра, начиная со 2 ноября, она развозит их по отдаленным деревням и продает по цене, в 5 раз превышающей закупочную.
Заботясь о потребителе, Валентина Петровна каждое утро, начиная со 2 ноября, перед началом торговли проверяет состояние бананов и находит, что 10% из них испортились и не годятся для продажи. Валентина Петровна выбрасывает испорченные бананы и продает хорошие, причем каждый день ей удается продать 250 кг бананов.
Сколько дней Валентине Петровне придется с утра продавать бананы, чтобы распродать все 2 тонны?
Решение:
Обозначим \(S=2000\) кг - начальная масса бананов,
\(X=250\) кг - массам бананов, продаваемых ежедневно,
\(k=1-0,1=0,9\) - коэффициент, показывающий, во сколько раз уменьшается количество бананов после выкидывания испорченных,
\(n\)- число полных дней.
Запишем, сколько бананов остается в конце каждого дня у Валентины Петровны:
1 день (2 ноября): \(S_1=Sk-X\)
2день (3 ноября): \(S_2=(Sk-X)k-X=SK^2-X(k+1)\)
Математическая модель похожа на ту, которую мы используем в задачах на кредиты с аннуитетными платежами. Только в нашем случае \(k<1\).
…
\(n\) день ( \((n+1)\) ноября): \(S_n=(((Sk-X)k-X)k-X)k-y=0\).
В нашем уравнении \(y\) – это масса бананов, которые Валентина Петровна продает в последний день, \(y\leqslant X\), потому что в последний день Валентина Петровна может продать не 250 кг бананов, а меньше. Сколько осталось, столько и продаст.
Тогда
\(S_n=(((Sk-X)k-X)k-X)k=y\),
\(y\leqslant X\), поэтому \(S_n=(((Sk-X)k-X)k-X)k\leqslant X\),
\((((Sk-X)k-X)k-X)k-X \leqslant 0.\)
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:
\(Sk^n-X(k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^2+k+1) \leqslant 0\)
Сумма в скобках \(k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^2+k+1\) - этосумма геометрической прогрессии, в которой \(b_1=1\), \(q=k\). Применим формулу суммы геометрической прогрессии:
\(k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^2+k+1=\frac{1-k^n}{1-k}\). Тогда
\(Sk^n-X\cdot \frac{1-k^n}{1-k}\leqslant 0\);
По условию, \(k=0,9\). Тогда \(1-k=0,1\).
\(Sk^n-10X+10Xk^n\leqslant 0\)
\(k^n\leqslant \frac{10X}{S+10X}\); \(k^n\leqslant \frac{2500}{4500}\);
\(k^n\leqslant \frac{25}{45}\); \(k^n\leqslant \frac{5}{9}\approx 0,56\).
\(k=0,9\).
\(0,9^2=0,81>0,56\) - не подходит
\(0,9^4=0,6561>0,56\) - не подходит
\(0,9^5=0,59049>0,56\) - не подходит
\(0,9^6=0,531441<0,56\) - подходит. Ответ: 6 дней 17. Анна Малкова
Остроугольный треугольник \(ABC\), в котором угол \(A\) равен 60 градусам, вписан в окружность. Известны длины сторон треугольника: \(AB = 5\), \(AC = 7\). Биссектриса \(AE\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность в точке \(L\). Медиана треугольника \(ABC\), проведенная к стороне \(BC\), пересекает эту окружность в точке \(M\), а его высота, проведенная к \(BC\), пересекает ту же окружность в точке \(H\).
а) Докажите, что точка \(L\) лежит между точками \(H\) и \(M\).
б) Найдите \(AE\cdot EL\).
Решение:
а) Пусть \(AN\) – высота треугольника, \(AT\) – его медиана. Для того, чтобы показать, что точка \(L\) лежит между точками \(M\) и \(H\), достаточно показать, что точка \(E\) лежит между точками \(N\) и \(T\).
\(\angle A=60\)°; \(AE\) – биссектриса, отсюда \(\angle BAE=\angle CAE=30\)°=\(\alpha \).
По свойству биссектрисы треугольника \(BE:EC=AB:AC=5:7\).
\(T\) - середина \(BC\), тогда \(BT=TC\)⇒\(BE
\(\varphi+\beta=60\)°, значит, углы \(\varphi\) и \( \beta\) – острые,
Для острых углов \(cos\varphi >cos\beta \) ⇔ \(\varphi < \beta \).
\(\varphi < 60\)°\(-\varphi\);
\(2\varphi<60\)°⇒\(\varphi<30\)°;
Отсюда \(\varphi<\alpha \) и дуга \(BH\) меньше дуги \(BL\).
Значит, \(BH
Координаты центра каждой окружности: \(x=a+1\); \(y=a\).
Другими словами, \(y=x-1\) - линия центров окружностей.
Так как координаты центра записаны с использованием параметра, то графиком второго уравнения является множество окружностей, двигающихся вдоль прямой \(y=x-1\).
Это происходит, когда \(a^2+2a>0\)⇔\(a(a+2)>0\)⇔\(\left[\begin{array}{ccc}a>0\\a<-2\end{array}\right.\)
При \(a^2+2a=0\) уравнение задает точку с координатами \(x=a+1\); \(y=a\).
Это происходит, если \(a=0\) или \(a=-2\).
При \(a^2+2a<0\) – нет решений.
Система имеет единственное решение в следующих случаях:
1) Если окружность касается сверху прямой \(y=0\) в точке \(A\) или снизу касается прямой \(y=-1\) в точке \(B\).
2) Второе уравнение системы задает точку, лежащую в полосе \(-1 \leqslant y \leqslant 0\).
В случае касания в точке \(A\) расстояние от центра окружности до оси \(X\) равно радиусу окружности.
\(\left\{\begin{matrix}
a>0 \\
a^2=\frac{a^2+2a}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
a>0 \\
3a^2=a^2+2a\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
a>0 \\
2a^2-2a=0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
a>0 \\
\left[\begin{array}{ccc}a=0\\a=1\end{array}\right.\end{matrix}\right.\)
\(a=1\)
В случае касания в точке \(B\):
\( \left\{\begin{matrix}
a < -2 \\
(a+1)^2=\frac{a^2+2a}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
a < -2 \\
3a^2+6a+3=a^2+2a\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
a < -2 \\
2a^2+4a+3=0\end{matrix}\right.\)
решений нет, так как дискриминант квадратного уравнения отрицателен. Значит, касания в точке \(B\) не может быть.
Система также имеет единственное решение, если окружность превращается в точку и при этом лежит внутри полосы, заданной первым неравенством. Мы сказали, что это происходит при \(a=0\) или \(a=-2\).
Если \(a=0\), получим точку \(C(1;0)\). Она лежит на границе полосы, заданной первым неравенством.
Если \(a=-2\), получим точку \(D(-1;-2)\). Она не принадлежит полосе.
Получили \(a=1\) и \(a=0\).
Ответ: \(a\in\) {0;1}
19. Полина записала несколько различных натуральных чисел, все цифры которых нечетны, после чего нашла сумму этих чисел и обозначила ее через S.
а) Может ли сумма цифр числа S быть нечетным числом, если Полина записала ровно четыре числа?
б) Может ли произведение цифр числа S быть нечетным числом, если S > 1000?
в) Пусть десятичная запись числа S состоит из 2021 цифры. Какое наименьшее натуральное значение может принимать произведение цифр числа S?
Решение:
а) Да, может, например, если записать числа 1, 3, 5 и 7, их сумма \(S=16\), сумма цифр этого числа нечетна.
Другой пример: 3, 7, 9, 11, сумма 30, сумма цифр нечетна
б) Да, может, например, если записать числа 13, 99 и 999, их сумма \(s=1111\), произведение цифр этого числа нечетно.
в) Рассмотрим числа вида 9, 99, 999, ..., 999...9 (в последнем числе 2020 девяток). Их сумма равна:
9 + 99 + 999 + ... + 999...9 = 10 + 100 + 1000 + ... + 100...0 – 2020 = 1111...0 – 2020 = 111...1 − 2021.
Так как
2021 = 1999 + 22 = 1999 + 19 + 3,
то
1111...1 = 3 + 19 + 1999 + 9 + 99 + 999 + ... + 999...9.
Произведение полученного цифр 2021-значного числа равно единице, очевидно, это наименьшее натуральное значение.
Ответ:
а) да,
б) да,
в) 1.