Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=jvXj7e6TfHE;t\&t=1s
и https://www.youtube.com/watch?v=-OLWM0opafc&t;t\&t=6s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность с диаметром \(AC = 10\), сторона \(AB\) равна 8. Найдите тангенс угла \(BDC\).
Решение:
Четырехугольник \(ABCD\) - вписан вокружность, угол \(ABC\) – прямой, так как опирается на диаметр \(AC\).
\(AC = 10\); \(AB=8\), из прямоугольного треугольника \(ABC\): \(BC = 6\) по теореме Пифагора.
\(\angle BDC\) - вписанный угол, он равен половине дуги \(BC\).
На эту дугу также опирается вписанный угол \(BAC\). Значит, \(\angle BDC= \angle BAC\).
Тогда \(tg \angle BDC = tg \angle BAC = \frac{BC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75\)
Ответ: 0,75
2. На координатной плоскости изображены векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\).
Решение:
Запишем координаты векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).
\(\overrightarrow{a}=(4; 6)\)
\(\overrightarrow{b}=(6; -2)\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b=4\cdot6-6\cdot2=12.\)
Ответ: 12.
3. Анна Малкова
Найдите объем восьмигранника, изображенного на рисунке, если \(ABCD\) – квадрат со стороной 5, \(O\) – точка пересечения его диагоналей, отрезок \(EF\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), \(OE = OF = 6\).
Решение:
Восьмигранник, изображенный на рисунке, состоит из двух равных четырехугольных пирамид: \( ABCDE\) и \( ABCDF\).
Объем пирамиды \( ABCDE\) равен:
\(V_{ABCDE}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot OE=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 6=50\)
Тогда \(V_{ABCDEF}= 50\cdot 2=100\)
Ответ: 100.
4. За наблюдаемый период на 90% всех дней приходилась ясная погода. Гидрометцентр в тот же период предсказывал верную погоду в 74 случаях из 100, причем в 80% всех случаев, когда на день приходилась ясная погода, предсказания Гидрометцентра сбывались. Сколько процентов среди пасмурных дней составляют те, в которых Гидрометцентр предсказал правильную погоду?
Решение:
Пусть из \(x\) дней 90% дней – ясная погода, а 10% дней – пасмурная.
Тогда солнечных дней \(0,9x\), а пасмурных \(0,1x\).
Предсказание Гидрометцентра сбывалось, если
1) была предсказана ясная погода, и она оказалась ясной, или
2) если была предсказана пасмурная погода, и она оказалась пасмурной.
Первому случаю соответсвуют \(0,8\cdot 0,9x\) дней (предсказана ясная погода, была ясная).
Пусть \(p\) – доля случаев, когда была предсказана пасмурная погода и она оказалась пасмурной.
Тогда второму случаю соответсвует \(p\cdot 0,1x\) дней.
Получим:
\(0,8\cdot 0,9x + 0,1 px = 0,74x\).
Сократим на х, не равный нулю, и найдем \(p = 0,2\).
Если доля случаев равна 0,2, то это составяляет 20% от числа случаев.
Ответ: 20
5. За наблюдаемый период на 90% всех дней приходилась ясная погода. Гидрометцентр в тот же период предсказывал верную погоду в 74 случаях из 100, причем в 80% всех случаев, когда на день приходилась ясная погода, предсказания Гидрометцентра сбывались. С какой вероятностью погода оказалась пасмурной в тот день, когда Гидрометцентр предсказал пасмурную погоду?
Решение:
Возьмем период 1000 дней.
Из них 900 ясные, 100 пасмурные.
Была ясная и предсказана ясная: \(0,8\cdot 900 = 720\) дней.
Значит, была ясная, а предсказана пасмурная \( 900-720=180 \) дней.
Была пасмурная, предсказана пасмурная: 20 дней = \(0,2\cdot 100\).
(так как из предыдущей задачи 0,2 – вероятность того, что погода предсказана пасмурная и была пасмурная).
Всего дней, когда предсказана пасмурная погода, \(180 + 20 = 200\).
Из них 20 дней действительно была пасмурная погода, \(p = 20 : 200 = 0,1\).
Ответ: 0,1
6. Решите уравнение: \(4x^2+12x+\frac{12}{x}+\frac{4}{x^2}=47\).
Если корней несколько, в ответе запишите сумму корней.
Решение:
Сгруппируем слагаемые:
\(4(x^2+\frac{1}{x^2})+12(x+\frac{1}{x})=47\)
Сделаем замену переменной: \(x+\frac{1}{x}=t\)
Тогда \(t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\)
Получим уравнение:
\(4(t^2-2)+12t=47\)
\(4t^2+12t-55=0\)
\(D=12^2+4\cdot 4\cdot 55=16(9+55)=16\cdot 64\)
\(\sqrt{D}=8\cdot 4=32\)
\(t=\frac{-12\pm 32}{8}\)
\(t=\frac{5}{2}\) или \(t=-\frac{11}{2}\)
Вернемся к переменной \(x\).
1) \(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\)
\(2x^2-5x+2=0\)
\(D=9>0\), уравнение имеет 2 корня.
По теореме Виета, сумма корней этого уравнения \(x_1+x_2=\frac{5}{2}\)
2) \(x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{2}\)
\(2x^2+11x+2=0\)
\(D=121-16>0\)
Уравнение имеет 2 корня, их сумма \(x_3 + x_4 = -\frac{11}{2}.\)
Получаем:
\(x_1+x_2=\frac{5}{2}\)
\(x_3+x_4=-\frac{11}{2}\)
\(x_1+x_2+x_3+x_4=-3\)
Ответ: -3
7. Вычислите: \(\frac{-2cos276^{\circ}}{cos84^{\circ}}\).
Решение:
\(\frac{-2cos 276^{\circ}}{cos 84^{\circ}}=\frac{-2 cos(270^{\circ}+6^{\circ})}{cos(90^{\circ}-6^{\circ})}=\frac{-2sin 6^{\circ}}{sin 6^{\circ}}=-2\)
Мы воспользовались формулами приведения.
Ответ: -2
8. На рисунке изображен график непрерывной функции \(f(x)\) и касательные \(CD\) и \(MN\), проведенные к ее графику в точках \(A\) и \(B\). Найдите отношение значений производной функции \(f(x)\) в точках \(A\) и \(B\).
Решение:
Найдём значения производных в точках \(A\) и \(B\) с помощью графика.
\(f'(x)=tg\alpha \), где \(\alpha \)- угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_0\).
Для точки \(A\): \(f'(A)=tg\angle DCM=\frac{1,5}{7,5}=\frac{1}{5}\)
Для точки \(B\): \(f'(B)=\frac{4}{3}\)
Отношение производных: \(f'(A):f'(B)=\frac{1}{5}:\frac{4}{3}=0,15\)
Ответ: 0,15
9. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону
\(U=U_0sin(\omega t+\varphi )\),где \(t\) - время в секундах,амплитуда \(U_0=2B\), частота \(\omega = 150^{\circ}\)⁄с, фаза \(\varphi = 45^{\circ}\).
Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Решение:
По условию, \(U=U_0 sin(\omega t+\varphi )\),
\(U_0=2B\)
\(\omega=150^{\circ}\)⁄c, \(\varphi =45^{\circ}\)
\(U=2sin(150^{\circ}t+45^{\circ})\geqslant 1\)
\(sin (150^{\circ}t+45^{\circ})\geqslant \frac{1}{2}\). Найдем решения неравенства, удовлетворяющие условию \(0\leqslant t\leqslant 1\).
Сделаем замену переменной: \(150^{\circ}t+45^{\circ}=\alpha \). Получим:
\(sin\alpha \geqslant \frac{1}{2}\). Отметим решения неравенства на единичной окружности:
\(0\leqslant t\leqslant 1\)⇒\( 45^{\circ}\leqslant \alpha \leqslant 150^{\circ}+45^{\circ}\)
\(45^{\circ}\leqslant \alpha \leqslant 195^{\circ}\). Это соответствует первой секунде.
Посмотрим, какую часть из первой секунды лампочка будет гореть. Это значит, что выполняется условие: \( 30^{\circ}+360^{\circ} \cdot n \leqslant \alpha \leqslant 150^{\circ}+360^{\circ} \cdot n\).
Найдём, какую часть первой секунды лампочка будет гореть:
Первой секунде соответствует отрезок от 45° до 195°, это 150°
Из них лампочка горит от 45° до 150°, это =105°.
\(\frac{105^{\circ}}{150^{\circ}}\cdot 100\)% = \(\frac{21^{\circ}}{30^{\circ}}\cdot 100\)% = \(70\)%
Ответ: 70
10. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что за год первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, а второй на 5%, в то время как прирост массы первого кристалла за 3 месяца оказался равным приросту массы второго кристалла за 4 месяца. Какой была первоначальная масса первого кристалла, если известно, что после тогокак масса каждого из кристаллов увеличилась на 20 г, отношение массы первого кристалла к массе второго кристалла стало равно 1,5? Ответ выразите в граммах.
Решение:
Составим таблицу.
Пусть \(x\) граммов. - первоначальная масса 1-го кристалла, а \(y\) гр. - первоначальная масса 2-го кристалла, тогда
\(0,04x\) граммов- увеличение массы за год 1-го кристалла, а
\(0,05y\) граммов - увеличение массы за год 2-го кристалла.
3 месяца – это четвёртая часть года, поэтому 1-й кристалл увеличится на \(0,01x\) граммов.
4 месяца –это третья часть года, тогда 2-й кристалл увеличится на \(\frac{0,05y}{3}\) граммов.
По условию задачи, прирост массы первого кристалла за 3 месяца равен приросту массы второго кристалла за 4 месяца.
Получим первое уравнение: \(0,01x=\frac{0,05y}{3}\)
После того как масса каждого из кристаллов увеличилась на 20 г, отношение массы первого кристалла к массе второго кристалла стало равно 1,5.
Получим второе уравнение: \(\frac{x+20}{y+20}=\frac{3}{2}\)
Решаем систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
0,01x=\frac{0,05y}{3} \\
\frac{x+20}{y+20}=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{\begin{matrix}
x=\frac{5}{3}y \\
2x+40=3y+60\end{matrix}\right.\)⇔
\(\left\{\begin{matrix}
x=\frac{5}{3}y \\
2x-3y=20\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{\begin{matrix}
x=\frac{5}{3}y \\
\frac{10}{3}y-3y=20\end{matrix}\right.\)⇔
\(\left\{\begin{matrix}
x=\frac{5}{3}y \\
\frac{y}{3}=20\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{\begin{matrix}
y=60 \\
x=100\end{matrix}\right.\)
Получили, что 100 граммов - первоначальная масса 1-го кристалла.
Ответ: 100
11. На рисунке изображен график функции \(f(x)=ax^2+bx+c\), где \(a, b, c\) - целые.
Найдите \(f(-10)\).
Решение:
Это график функции \(f(x)=3(x-1)^2-4\).
\(f(-10)=3\cdot 121-4= 363-4 = 359\).
Ответ: 359
12. Найдите точку максимума функции \(y=(x^2-10x+10)e^{5-x}\).
Решение:
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
\( y'=(x^2-10x+10)'e^{5-x}+(x^2-10x+10)(e^{5-x})'=\)
\( e^{5-x}-\)\((2x-10)e^{5-x}-\)\((x^2-10x+10)e^{5-x}= \)\(=-(x^2-12x+20)e^{5-x}= \)\( -(x-2)(x-10)e^{5-x} \)
В этом выражении множитель \(e^{5-x}\) всегда положителен.
Производная равна нулю, если \(x = 2\) или \(x = 10\).
При \(x = 2\) производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.
При \(x = 10\) производна равна нулю и меняет знак с плюса на минус, это точка максимума функции. Запишем это значение в ответ.
Ответ: 10
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. а) Решите уравнение: \(cos 3x-2 cos 2x=2\)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([0; \pi].\)
Решение:
а) Разложим \(cos 3x\) по формуле косинуса суммы.
\(cos 2x \cdot cosx-sin 2x\cdot sin x-2(cos 2x+1)=0\).
Теперь \( sin 2x\) разложим по формуле синуса двойного угла.
\(cos2xcosx-2sin^2 xcosx-4cos^2 x=0\). И вынесем \( cos x \) за скобки.
\(cos x\cdot (cos2x-2sin^2 x-4cosx)=0,\)
\(cosx\cdot ((2cos^2 x-1)-2(1-cos^2 x)-4cosx)=0,\)
\(cosx\cdot (4cos^2 x-4cosx-3)=0.\)
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
\(\left\{\begin{matrix}
cosx=0 \\
4cos^2 x-4 cosx-3=0\end{matrix}\right.\)
Решим первое уравнение: \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in Z\)
Решим второе уравнение.
пусть \(cosx=t\); \(-1\leqslant t\leqslant 1\); \( 4t^2-4t-3=0\),
\(\frac{D}{4}=4+12=16\); \(t_1=-\frac{1}{2}\); \(t_2=\frac{3}{2}>1\), не подходит.
\(cos x=- \frac{1}{2}\); \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\), \(n\in Z\) или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m\), \(m\in Z\)
Ответ a) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\), \(n\in Z\) или \(x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi m\), \(m\in Z\)
б) Найдем корни на отрезке \([0;\pi]\) с помощью двойных неравенств.
1) \(0\leqslant \frac{\pi}{2}+\pi k\leqslant \pi \)
\(-\frac{\pi }{2}\leqslant \pi k\leqslant \frac{\pi}{2}\)
\(-\frac{1}{2}\leqslant k\leqslant \frac{1}{2}\)
\(k=0\); \(x_1=\frac{\pi}{2}\)
2) \(0\leqslant \frac{2\pi}{3}+2\pi n\leqslant \pi \)
\(-\frac{2\pi }{3}\leqslant 2\pi n\leqslant \frac{\pi}{3}\)
\(-\frac{1}{3}\leqslant n\leqslant \frac{1}{6}\)
\(n=0\); \(x_2=\frac{2\pi}{3}\)
3) \(0\leqslant -\frac{2\pi}{3}+2\pi m\leqslant \pi \)
\(\frac{2\pi }{3}\leqslant 2\pi m\leqslant \frac{5\pi}{3}\)
\(\frac{1}{3}\leqslant m\leqslant \frac{5}{6}\), нет целых чисел в указанном промежутке.
Ответ: a) \(\frac{\pi}{2}+\pi n\), \(n\in Z\); \(\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi m\), \(m\in Z\)
б) \(x_1=\frac{\pi}{2}\); \(x_2=\frac{2\pi}{3}\)
14. В основании прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит прямоугольный треугольник \(ABC\), у которого угол \(C\) равен 90°, угол \(A\) равен 30°, \(AC = 10\sqrt{3}\). Диагональ боковой грани \(B_1C\)составляет угол 30° с плоскостью \(AA_1B_1\).
а) \(CE\) − высота треугольника \(ABC\). Докажите, что угол \(B_1EC\) − прямой.
б) Найдите высоту призмы.
Решение:
а) Прямая \(CE\) перпендикулярна прямой \(AB\) по условию. Прямая \(BB_1\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), так как призма прямая. Значит, прямая \(BB_1\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(ABC\), в том числе и прямой \(CE\). Таким образом, прямая \(CE\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \(ABB_1\); \(CE \perp ABB_1\) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Тогда прямая \(CE\) перпендикулярна любой прямой плоскости \(ABB_1\), в частности и прямой \(B_1 E\); \(\angle B_1 EC=90^{\circ}\).
б) \(AB=20\); \(BC=10\); \(BE=5\);
Из пункта а) следует, что прямая \(B_1 E\) является проекцией прямой \(CB_1\) на плоскость \(AA_1 B_1\).Угол между прямой \(B_1C\) и плоскостью \(AA_1 B_1\) – это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость \(AA_1 B_1\), то есть \(\angle CB_1 E\),и по условию он равен \(30^{\circ}\).
Найдём высоту \(CE\) из треугольника \(AEC\).
В треугольнике \(AEC\) катет \(CE\) лежит напротив угла \(30^{\circ}\), \(AC\) – гипотенуза, следовательно,
\(CE = \frac{1}{2} AC =\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\).
В треугольнике \(B_1 EC\) катет \(CE\) лежит напротив угла \(30^{\circ}\), поэтому гипотенуза
\(B_1 C = 2CE = 10\sqrt{3}\).
В треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) катет \(BC\) равен \(AC\cdot tg30^{\circ}=10\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=10\).
По теореме Пифагора для треугольника \(BB_1 C\):
\(BB_1^2=B_1 C^2-BC^2=300-100=200\),
\(BB_1=10\sqrt{2}\).
Ответ: б) \(10\sqrt{2}\).
15. Решите неравенство: \(9\cdot 2^{log_3(5-x)}+2^{1+log_3 x}-2^{log_3(5x-x^2)}\leqslant 18\).
Решение:
Найдем ОДЗ:
\(\left\{\begin{matrix}
5-x>0 \\
x>0 \\
5x-x^2>0\end{matrix}\right. \)⇔\(\left\{\begin{matrix}
x<5 \\
x>0 \\
x(5-x)>0\end{matrix}\right. \)⇔\(0
\(3^{log_2 9}>3^3\), \(3^{log_2 9}>27\).
Решим неравенство методом интервалов:
Решения неравенства: \(x\in [2;3^{log_2 9}]\)
Сучетом ОДЗ \(0
В марте 2001 года Антон открыл в банке счет под 5% годовых, с условием начисления процентов за каждый год нахождения денег на счете, и внес на этот счет 100 тысяч рублей.
Антон решил, что каждый год сумма на его счете должна увеличиваться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим годом, и неуклонно следовал этому правилу. Для этого в некоторые годы он добавлял деньги на счет сразу после начисления процентов, а в некоторые – снимал со счета сразу после начисления процентов.
В марте 2021 года, после очередного начисления процентов и соответствующих действий Антона, на счете было ровно 300 тысяч рублей. Обозначим \(S_1\) – сумму, которую он за все эти годы дополнительно внес на счет, а \(S_2\) – сумму, которую он за все эти годы снял со счета. Найдите разницу между \(S_1\) и \(S_2\).
Решение:
Пусть \(S\) – первоначальный размер вклада, \(x\) – сумма на которую ежегодно увеличивается вклад:
\(x=\frac{300-100}{20}=10\) тыс.рублей, \(S=100\) тыс. рублей
\(k=1+\frac{r}{100}\), где r = 5.
Схема роста вклада:
Пополнения вклада (могут быть положительны или отрицательны)
\(z_1=S+x-kS\)
\(z_2=S+2x-k(S+x)\)
\(z_3=S+3x-k(S+2x)\)
…
\(z_{20}=S+20x-k(S+19x)\)
Общая сумма пополнений:
\(P=20S+x\cdot (1+2+3+...+20)-k\cdot (20S+x\cdot (1+2+3+...+19))\)
\(=20S+210x-20kS-190kx=20S\cdot (1-k)+210x-190kx\)
\(=20S(1-1-\frac{r}{100})+210x-190(1+\frac{r}{100})x\)
\(=210x-190x-190\cdot \frac{r}{100}\cdot x-20S\cdot \frac{r}{100}=20x-190\cdot \frac{r}{100}\cdot x-20S\cdot \frac{r}{100}\)
\(P=200-190\cdot \frac{5}{100}\cdot 10-20\cdot 100\cdot \frac{5}{100}=200-95-100=5\) (тыс.рублей)
Обратите внимание, что для вычисления 1 + 2 + 3 +...+ 20 и 1 + 2 + 3 +...+ 19 мы пользуемся формулой суммы арифметической прогрессии.
\(1+2+3+...+20=\frac{1+20}{2}\cdot 20=210\)
\(1+2+3+...+19=\frac{1+19}{2}\cdot 19=190\)
Ответ: 5 тысяч рублей
17. Высоты равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) пересекаются в точке \(H\), угол \(B\) равен 30 градусов. Луч \(CH\) второй раз пересекает окружность \(\omega\), описанную вокруг треугольника \(ABH\), в точке \(K\).
а) Докажите, что \(BA\) – биссектриса угла \(KBC\).
б) Отрезок \(BC\) пересекает окружность \(\omega\) в точке \(E\). Найдите \(BE\), если \(AC = 12\).
Решение:
а) Пусть \(AD\), \(BT\) и \(CF\) – высоты треугольника \(ABC\).
\(\triangle ABD\) – прямоугольный, \(\angle BDA=90^{\circ} \), \(\angle BAD=60^{\circ} \),
Тогда \(\angle HKB=\angle BAH =60^{\circ} \) (как вписанные углы, опирающиеся на дугу \(BH\)).
\(\triangle KBF\) – прямоугольный, \(\angle FKB=60^{\circ} \), тогда \(\angle KBF=30^{\circ} \) =>\(BA\) – биссектриса \(\angle KBC\).
Кроме того, \(\triangle KBC\) – правильный (\(\angle BKC=60^{\circ} \), высота \(BF\) является биссектрисой); \(KB=BC=KC\).
б) \(AC=12\), \(BC\cap \omega =E \). Найдем \(BE\).
По теореме синусов из \(\triangle ABC\):
\(\frac{AC}{sin\angle B}=\frac{AB}{sin \angle C}\)
\(\angle C=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}\)
\(\frac{12}{sin30^{\circ}}=\frac{AB}{sin 75^{\circ}}\)
\(AB=24\cdot sin 75^{\circ}\)
Заметим, что из точки \(C\) проведены к окружности секущие \(CB\) и \(CK\); по свойству отрезков секущих \(CB\cdot CE=CK\cdot CH\); поскольку \(BC=CK\), получается, что \(CE=CH\).
Значит, треугольник \(CEH\) – правильный.
Тогда \(BE=CB-CE=AB-CH\).
Из \(\triangle ACH\) по теореме синусов:
\(\frac{AC}{sin\angle AHC}=\frac{CH}{sin\angle HAC}\);
\(\angle AHC=150^{\circ}\),
\(\angle HAC=15^{\circ}\)
\(CH=\frac{12\cdot sin 15^{\circ}}{sin 150^{\circ}}=\frac{12\cdot sin(90^{\circ}-75^{\circ})}{sin(180^{\circ}-30^{\circ})}=\frac{12\cdot cos75^{\circ}}{sin30^{\circ}}=24\cdot cos75^{\circ}\)
Если в задаче встретится \( cos15^{\circ} \) или \( sin22,5^{\circ} \) - не надо пугаться! Просто применяем формулы тригонометрии.
\(BE=24\cdot sin 75^{\circ}-24\cdot cos75^{\circ}=24(sin 75^{\circ}-cos75^{\circ})=24(sin75^{\circ}-cos(90^{\circ}-15^{\circ}))\);
\(BE=24(sin 75^{\circ}-sin15^{\circ}=24\cdot 2 \cdot sin30^{\circ}\cdot cos45^{\circ}=\frac{48\cdot \sqrt{2}}{4}=12\sqrt{2}\)
Ответ: \(12\sqrt{2}\)
18. При каких значениях параметра \(p\) уравнение
\(5cos2x+\frac{2p}{sin x}+29=0\)
имеет решения?
Решение:
\(5 cos 2x+\frac{2p}{sin x}+29=0\).
Применим формулу косинуса двойного угла.
\( 5(1-2sin^2 x)+\frac{2p}{sin x}+29=0 \)
Введём замену переменной: \(sin x = t\); причем \(-1\leqslant t\leqslant 1\); \(t\neq 0\).
Уравнение примет вид:
\(5(1-2t^2)+\frac{2p}{t}+29=0\). Оно равносильно системе:
\(\left\{\begin{matrix}
t\neq 0 \\
5t\cdot (1-2t^2)+29t+2p=0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
t\neq 0 \\
-5t^3+17t+p=0\end{matrix}\right.\)
Мы хотим найти, при каких значениях параметра р система имеет решения на отрезке [-1; 1].
Выразим \( p\) из второго уравнения:
\( p=5t^3-17t\) .
Исследуем функцию \( p(t)= 5t^3-17t\) на отрезке [-1; 1] при \( t\neq 0\) . Найдем область значений этой функции.
Производная функции: \(p' (t)=15t^2-17\),
\(p'(t)=0\), если \(t=\pm \sqrt{\frac{17}{15}}\). При этом \(t=-\sqrt{\frac{17}{15}}\) – точка максимума, а \(t=\sqrt{\frac{17}{15}}\) – точка минимума функции \(p(t)\).
Заметим, что на интервале \((-\sqrt{\frac{17}{15}}; \sqrt{\frac{17}{15}}\) значение производной отрицательно, функция p(t)на этом интервале монотонно убывает.
Отрезок [-1; 1] лежит внутри указанного интервала.
Значит, на отрезке [-1; 1] функция монотонно убывает.
Найдем значения функции \(p(t)\) при \(t = -1\) и \(t=1\).
\(p(-1)=-5+17=12\),
\(p(1)=5-17=-12\).
Осталось исключить значение \(p(t)\), соответствующее \(t = 0\). Получим, что \(p(0)=0\).
Значит, на отрезке [-1; 1] функция принимает все значения от -12 до 12, кроме \(p(0)=0\).
Мы нашли, при каких р существуют решения исходного уравнения. Это объединение интервалов
\(p\in [-12;0)\cup (0;12]\).
Ответ: \([-12;0)\cup (0;12]\)..
19. Возрастающие арифметические прогрессии \(a_1, a_2, . . . ,an, . . .\) и \(b_1, b_2, . . . , bn, . . .\) состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2\)?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых \(a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3\)?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение \(a_3b_3\),
если \(a_1b_1 + 2a_4b_4\leqslant 300\)?
Решение:
Рассмотрим арифметические прогрессии
\(a_1, a_2,...,a_n\)
\(b_1,b_2,...,b_n\)
Пусть \(d\) – разность первой прогрессии, \(d>0\)
\(e\) – разность второй прогрессии, \(e> 0\)
а) Да, существуют.
Запишем равенство \(a_1 b_1+a_3 b_3=3a_2 b_2\) в виде:
\(a_1 b_1+(a_1+2d)(b_1+2e)=3(a_1+d)(b_1+e)\)
Раскроем скобки:
\(a_1 b_1+a_1 b_1+2d_1 b_1+a_1 e+4de=3a_1 b_1+3db_1+3ae+3de\)
\(de=a_1 b_1+db_1+a_1\cdot e\)
Пусть \(a_1=b_1=1\).
\(de = 1 + d + e\)
возьмем \(d = 2\), \(e = 3\). Прогрессии имеют вид:
первый: \(1, 3, 5, 7, 9...\)
второй: \(1, 4, 7, 10, 12...\)
Равенство \(a_1 b_1+a_3 b_3=3a_2 b_2\) выполняется, \(1+5\cdot 7=3\cdot 3\cdot 4\).
б) Предположим, что \(a_1 b_1+2a_4 b_4=3a_3 b_3\).
\(a_1 b_1+2(a_1+3d)(b_1+3e)=3(a_1+2d)(b_1+2e)\)
\(a_1 b_1+2a_1 b_1+6db_1+6ea_1+18de=3a_1 b_1+6db_1+6a_1 e+12de\),
\(18de=12de\),
\(de=0\), значит,
\(d=0\) или \(e=0\) - противоречие и условие \(d>0\), \(e>0\). Значит, предположение было неверно
в) Пусть \(a_1 b_1+2a_4 b_4\leqslant 300\).
Как и в пункте (б), запишем это равенство в виде
\(a_1 b_1+2a_1 b_1+6db_1+6ea_1+18de\leqslant 300\),
Отсюда \(a_1 b_1+2db_1+2ea_1+6de\leqslant 100\).
Найдем наибольшее значение выражения \(a_3 b_3=a_1 b_1+2db_1+2ea_1+4de\)
Пусть \(a_3 b_3=M\),
\(a_1 b_1+2db_1+2ea_1+6de=N\), \(N\leqslant 100\)
Мы получим, что
\(N-M=2de\), тогда
\(M=N-2de\leqslant 100-2de\leqslant 98\), поскольку \(d\geqslant 1\) и \(e\geqslant 1\) (обе арифметические прогрессии возрастающие).
\(M\leqslant 98\). Это оценка.
Приведем пример, когда \(M = 98\).
Возьмем две арифметические прогрессии с разностями \(d = 1\) и \(e = 1\).
Поскольку \(a_3 b_3=98\), \((a_1+2)(b_1+2)=98\),
\(98=2\cdot 7\cdot 7\); пусть \(a_1+2=14\), \(b_1+2=7\). Подойдут прогрессии \(12, 13, 14, 15...\) и \(5, 6, 7, 8...\). Для них \(a_3 b_3=98\), \(a_1 b_1+2 a_4 b_4=60+2\cdot 15\cdot 8=300\).
Ответ:
а) да
б) нет
в) 300
