previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2024 Вариант 6, решения

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=ToXqvgdB9Xo;t\&t=4552s
и https://www.youtube.com/watch?v=PoUcX5od-Oo&t;t\&t=1226s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. В прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке \(E\). Известно, что \(AE=7\), \( BE = 4 \). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Решение:

Пусть \(AE=d\), \(BE=e\).

\(O\) – центр вписанной окружности, \(F\) и \(K\) – точки касания вписанной окружности со сторонами \(AC\) и \(BC\).

Рассмотрим четырехугольник \(CFEK\). Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, углы \(F\) и \(K\) в этом четырехугольнике прямые. Угол \(C\) тоже прямой. Это прямоугольник. А соседние стороны \(CF\) и \(CK\) в нем равны, значит, это квадрат.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Из точки \(C\) проведены два отрезка касательных длиной \(r\). Из точки \(A\) – два отрезка касательных длиной \(d\), а из точки \(B\) – два отрезка касательных длиной \(e\).

Выразим стороны треугольника и его периметр через \(d\), \(e\) и радиус вписанной окружности.

\( P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC \).

\(AC = AF + CF = d + r\),

\(BC = KB + CK = e + r\),

\(AB = d + e\)

\(P_{\triangle ABC}=d + ed + r+e + r= 2(d+e+r)\)

По теореме Пифагора, \(AC^2 + BC^2=AB^2\)

\((d+r)^2+(e+r)^2=(d+e)^2\)

\(\not{d^2}+2dr+r^2+\not{e^2}+2er+r^2=\not{d^2}+2de+\not{e^2}\),

\(2r^2+2dr+2er=2de\),

\(r(r+d+e)=de\).

Выражение \(r+d+e\) равно полупериметру треугольника \(ABC\). Тогда в левой части равенства – выражение для площади треугольника \(ABC\).

\(S_{\triangle ABC}=r\cdot p=de\).

Подставив значения d и e, получим:

\(S_{\triangle ABC}=de=7\cdot 4=28\)

Ответ: 28

2. Даны векторы \(\overrightarrow{a}=(1; 2)\), \(\overrightarrow{b}=(-3; 6)\) и \(\overrightarrow{c}=(4; -2)\). Найдите длину вектора \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\).

Решение:

\(\overrightarrow{a}=(1; 2)\)
\(\overrightarrow{b}=(-3; 6)\)
\(\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(1+3+4;2-6-2)=(8; -6)\);
\(|\overrightarrow{m}|=\sqrt{8^2+6^2}=10\)

Ответ: 10

3. Анна Малкова

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сумма квадратов сторон треугольника \(ACD_1\) равна 32. Найдите длину диагонали \(B_1D\).

Решение:

Пусть \(AB=a\); \(BC=b\); \(CC_1=c\) - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Из \(\triangle ACD_1\) по условию:

\(AD_1^2+D_1 C^2+AC^2=32\);

Из \(\triangle ADD_1\) (прямоугольного) по теореме Пифагора \(AD_1^2=a^2+c^2\)

Аналогично, из \(\triangle ADC\) по теореме Пифагора: \(AC^2=a^2+b^2\)

Из \(\triangle DD_1 C\): \(D_1 C^2=b^2+c^2\)

Тогда \(AD_1^2+D_1 C^2+AC^2=a^2+c^2+a^2+b^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)=32\)

\(B_1 D\) – диагональ прямоугольного параллелепипеда, \(B_1 D^2=a^2+b^2+c^2\) (по свойству прямоугольного параллелепипеда).

Отсюда \(2B_1 D^2=32\);

\(B_1 D^2=16\);

\(B_1 D=4\)

Ответ: 4

4. Преподаватель пригласил на собеседование трех из отстающих студентов через старосту группы. Староста забыл фамилии приглашенных и направил случайно трех из шести отстающих. Какова вероятность того, что это были нужные преподавателю студенты?

Решение:

Сколько способов выбрать 3 студентов из 6? (неупорядоченные тройки)

Обозначим студентов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Возможные тройки:

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 345, 346, 356, 456, 256. Всего 20 троек = \(C_6^3\).

Вероятность выбрать нужную тройку равна \(\frac{1}{20}=0,05\).

Ответ: 0,05

5. Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».
Письмо оказалось в папке «Входящие». С какой вероятностью это не спам? Результат округлите до сотых.
* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.

Решение:

Письмо может оказаться в папке «Входящие» в двух случаях:

1) если это – не спам и почтовая программа это распознала
2) это спам, и почтовая программа его пропустила.

Вероятности этих событий равны соответственно

\(0,25\cdot 0,99\) и \(0,75\cdot 0,05\).

Применим формулу полной вероятности.

Получим: \(P=0,25\cdot 0,99 + 0,75\cdot 0,05 = 0,25\cdot ( 0,99+3\cdot 0,05)=0,285\)

Обозначим за \(x\) вероятность того, что письмо, оказавшееся в папке «Входящие», не является спамом.
Тогда вероятность того, что письмо попало в папку «Входящие» и не является спамом, равна \(0,285x\).
С другой стороны, эта вероятность равна \(0,25\cdot 0,99\).

Получим: \(0,25\cdot 0,99= 0,25\cdot 1,14x\); отсюда \(x=\frac{99}{114}=\frac{33}{38}\approx 0,87\).

Ответ: 0,87

6. Анна Малкова

Решите уравнение: \(2^{sin 2\pi x}=\frac{1}{2}\).

В ответе запишите наименьший положительный корень.

Решение:

\(2^{sin 2\pi x}=\frac{1}{2}\)

\(sin 2\pi x=-1\)

\(2\pi x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k \in Z\)

\(x=-\frac{1}{4}+k\), \(k \in Z\)

Наименьший положительный корень 0,75

Ответ: 0,75

7. Найдите значение выражения: \(\sqrt{2}sin (\frac{\pi}{2}-arccos\frac{\sqrt{2}}{2})\).

Решение:

\(\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{2}-arccos\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1\)

Ответ: 1

8. На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) - производной функции \(y=f(x)\). Сколько точек экстремума функции \(y=f(x)\) расположено на отрезке [-4; 2]?

Решение:

На рисунке график производной функции. Посмотрим, как она себя ведёт на отрезке [-4; 2].

В левом конце этого отрезка \(f'(x) < 0 \); В правом конце этого отрезка \( f'(x) > 0 \).

На этом отрезке есть только одна точка, в которой производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс». Это точка экстремума.

Ответ: 1

9. В электрическом обогревателе с неизменным сопротивлением \(R\) нагревательного элемента, через который течёт постоянный ток, за время \(t\) выделяется количество теплоты \(Q=I^2 Rt\). Во сколько раз увеличится количество выделяемой теплоты, если силу тока \(I\) и время работы обогревателя \(t\) увеличить вдвое?

Решение:

За время \(t\) выделяется количество теплоты \(Q=I^2 Rt\).
Если силу тока \(I\) и время работы обогревателя \(t\) увеличить вдвое, то количество теплоты будет равно:
\(Q=(2I)^2 R\cdot 2t=8I^2 Rt=8Q\).

Значит, количество теплоты увеличится в 8 раз.

Ответ: 8

10. Анна Малкова

Задумав разбогатеть, Валентина Петровна открыла интернет-магазин сувениров, в котором продаются изделия двух типов: зайки и чебурашки.
В декабре было продано в 10 раз больше заек, чем чебурашек, а чебурашка стоил в 4 раза дороже, чем зайка.
В ночь на 1 января Валентина Петровна подняла цену на чебурашек на 20%.
Несмотря на это, в январе было продано в 10 раз больше чебурашек, чем заек.
А заек в январе было продано на 80% меньше, чем в декабре.
Во сколько раз выросла выручка Валентины Петровны в январе по сравнению с декабрем?

Решение:

Составим таблицу: сколько заек и чебурашек продано в декабре и в январе и по какой цене.

Выручка в декабре: \(14xn\)

Выручка в январе: \(98xn\)

Находим, во сколько раз выросла выручка: \(\frac{98xn}{14xn}=7\) раз.

Ответ: 7

11. Анна Малкова

На рисунке изображен график функции \(y=|ax^2+bx+c|\).
Найдите \(c\), если известно, что \(c> 0\).

Решение:

На рисунке график функции \(f(x)=|ax^2+bx+c|\). Он получен из графика функции \(y=ax^2+bx+c\). Часть графика функции \(y=ax^2+bx+c\), лежавшая ниже оси Х, отразилась вверх. По условию, \(c>0\). Значит, парабола \(y=ax^2+bx+c\) была ветвями вверх. А в верхнюю полуплоскость отобразился участок ее графика, лежавший между точками 2 и 4 (корнями квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\)).

Вершина тоже отразилась вверх.

До отображения вершина параболы была в точке (3;-1).

График функции \(y=ax^2+bx+c\) был получен из графика функции \(y=x^2\) сдвигом на 3 вправо и на 1 вниз и растяжением в а раз по вертикали.

\(y=ax^2+bx+c=a(x-3)^2-1\).

Найдем \(a\).

\(y(2)=0\); \(a-1=0\); \(a=1\).

\(y=(x-3)^2-1=x^2-6x+8\).

Получили: \(c=8\).

Ответ: 8

12. Найдите наименьшее значение функции \(y=(x+31)^2 e^{-31-x}\) на отрезке \([-34;-30]. \)

Решение:

Будем действовать по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:

1) Найдём производную функции по формуле: \((u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\)

\(y'(x)=2(x+31)e^{-31-x}-e^{-31-x}(x+31)=(x+31)\cdot e^{-31-x}\cdot (2-x-31)=e^{-31-x}\cdot (x+31)\cdot (-x-29)\)

2) Решим уравнение: \(y'(x)=0\)

Его решения: \(x=-31\); \(x=-29\).

3) Определим знаки производной:

\(e^{-31-x}>0 \) при любом \(x\) значит, знак производной зависит только от выражения \((x+31)\cdot(-x-29) =-(x+31)\cdot (x+29)\)

Рассмотрим функцию \(y=-(x+31)\cdot(x+29)\)

Ее график - парабола с ветвями вниз.

Если \(x=-31\), то производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс»,
Значит \(x=-31\) - точка минимума функциина отрезке [-34;-30].

\(y_{min}(x)=y(-31)=0\)

Ответ: 0

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. Дано уравнение \(|sin x| = cos x\)
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни уравнения на интервале \( [0; 2\pi]\).

Решение:

Перейдем к равносильной системе, согласно правилу:

\(|A|=B\Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix}
B\geqslant 0 \\
\left[\begin{array}{ccc}
A=B \\
A=-B\end{array}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\left[\begin{array}{ccc}
cos x\geqslant 0 \\
\left\{\begin{matrix}
sin x=cos x \\
sin x= -cos x\end{matrix}\right.\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{ccc}
cos x\geqslant 0 \\
\left[\begin{array}{ccc}
x=\frac{\pi}{4}+\pi k; k\in Z \\
x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\end{array}\right.\end{array}\right.\)

\(x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in Z\)

Найдем корни на отрезке \([0; 2\pi]\) с помощью единичной окружности.

Отметим на единичной окружности отрезок \([0; 2\pi]\) и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки: \(\frac{\pi}{4}\); \(\frac{7\pi}{4}\).

Ответ: a) \(x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k\), \(k\) - целое
b) \(\frac{\pi}{4}\); \(\frac{7\pi}{4}\)

14. Дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\). Tочка \(M\) – середина \(SA\), на ребре \(SB\) отмечена точка \(N\) так, что \(SN : NB = 1 : 2\).
а) Докажите, что плоскость \(CMN\) параллельна прямой \(SD\).
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(CMN\), если все рёбра равны 12.

Решение:

а) Докажем, что \((CMN)\parallel SD\)
Построим сечение пирамиды плоскостью \(CMN\).

Применим теорему Mенелая для \(\triangle SAB\) и прямой \(MN\), \(MN\cap AB=T\).

\(\frac{BN}{NS}\cdot \frac{SM}{MA}\cdot \frac{AT}{TB}=1\);

\(2\cdot \frac{AT}{TB}=1\Rightarrow\) \(BT=2AT\)

\(A\) - середина \(BT\).

\(\triangle ATQ\sim \triangle BTC\) по 2 yглам,

\(Q\) - середина \(AD\), тогда \(MQ\) - средняя линия \(\triangle SAD\), \(MQ\parallel SD\).

б) Hайдём \(S\) сечения

\(MQ\parallel SD\), \(MO\in \alpha \Rightarrow \)\(\alpha \parallel SD\), по признакy параллельности прямой и плоскости;

пyсть \(\alpha \cap BD=E \), тогда \(\alpha \cap (SBD)=EN\)

Tак как \(MQ\parallel SD\Rightarrow \)\(MQ\parallel (SBD)\), по тереме о прямой и параллельной ей плоскости \(NE\parallel MQ\), также \(NE\parallel SD\).

\(\triangle SBD\sim \triangle NBE\) по 2 yглам, тогда

\(\frac{EN}{SD}=\frac{BN}{SB}=\frac{2}{3}\);

\(EN=\frac{2}{3}SD\); \(BE=\frac{2}{3}BD\).

Hайдём \(S\) сечения, то есть \(S_{QMNC}\)

\(S_{QMNC}=S_{\triangle ENC}+S_{\triangle MNF}+S_{QMFE}\)

Проведём \(MF\parallel QC\).

Из \(\triangle QDC\), где \(CD=12\), \(QD=6\) по теореме Пифагора:

\(QC=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

\(MQ=\frac{1}{2}SD=6\) как средняя линия \(\triangle ASD\)

\(\triangle BEN\sim \triangle BDS\) по 2 yглам, отсюда \(\frac{EN}{SD}=\frac{BN}{SB}=\frac{2}{3}\),

отсюда \(EN=\frac{2}{3}SD=8\),

Tогда \(EF=6\), \(NF=8-6=2\)

Из \(\triangle SNC\) по теореме косинyсов \(CN^2=SN^2+SC^2-2SN\cdot SC\cdot cos60^{\circ}\)

отсюда \(CN^2=112\), \(CN=4\sqrt{7}\),

\(\triangle QDE\sim \triangle CBE\) по 2 yглам,

\(EC=4\sqrt{5}\)

B \(\triangle ENC\) по теореме косинyсов

\(NC^2=NE^2+EC^2-2\cdot BE\cdot EC\cdot cos\alpha \),

\(112=64+80-2\cdot 8\cdot 4\sqrt{5}cos\alpha\),

\(16\cdot 4\sqrt{5}cos\alpha=32\),

\(cos\alpha =\frac{1}{2\sqrt{5}}\), \(cos^2\alpha =\frac{1}{20}\),

тогда \(sin^2\alpha =\frac{19}{20}\),

\(sin\alpha =\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}}=sin\angle NEC=sin\angle FEQ=sin\angle MFN\).

\(S_{QMNC}=S_{\triangle ENC}+S_{\triangle MFN}+S_{QMFE}=\)

\(=sin\alpha (\frac{1}{2}\cdot NE\cdot ED+QE\cdot EF+\frac{1}{2}MF\cdot NF)=\)

\(=sin\alpha (\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{5}+2\sqrt{5}\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2)=\)

\(=\frac{\sqrt{19}\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}}(16+12+2)=\frac{30\sqrt{19}}{2}=15\sqrt{19}\)

Oтвет: \(15\sqrt{19}\)

15. Анна Малкова

Решите неравенство: \(\frac{log_3(7x-12)}{log_3(x-3)}\geqslant log_{15-x} |x-15|\).

Решение:

\(\frac{log_3 (7x-12)}{log_3 (x-3)}\geqslant log_{15-x}|x-15|\)

По определению модуля,

\(\frac{log_3 (7x-12)}{log_3 (x-3)}\geqslant log_{15-x}|x-15|\Leftrightarrow \)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix}
7x-12>0 \\
x-3>0 \\
log_3 (x-3)\neq 0 \\
|x-15|>0 \\
15-x>0\\
15-x\neq 1 \\
\frac{log_3 (7x-12)}{log_3 (x-3)}\geqslant log_{15-x}(15-x)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix}
x>\frac{12}{7} \\
x>3 \\
x\neq 4, x\neq 14 \\
x<15 \\ \frac{log_3 (7x+12)}{log_3 (x-3)}\geqslant 1\end{matrix}\right.\) Мы записали в одну систему и само неравенство, и все условия, задающие его ОДЗ. Раскрыли модуль, учитывая, что \(x-15<0\), при этом \(|x-15|=15-x\). Рассмотрим два случая. Знаменатель дроби \(log_3(x-3)\) может быть положителен или отрицателен. Получим совокупность двух систем: \(\left\{\begin{matrix} 3 < x < 15 \\ x\neq 4, x\neq 14 \\ \left[\begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix} log_3(x-3)>0\\
log_3 (7x-12)\geqslant log_3 (x-3)\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
log_3 (x-3) < 0 \\ log_3(7x-12)\leqslant log_3 (x-3)\end{matrix}\right. \\ \end{array}\right. \\ \end{matrix}\right.\) Перейдем от логарифмических неравенств к алгебраическим. Основание логарифма \(3>1\), и логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает. Это значит, что

\(log_3x_2\geqslant log_3x_1\)⟺\( x_2\geqslant x_1\)

Получим систему:

\(\left\{\begin{matrix}
3 < x < 15 \\ x\neq 4, x\neq 14 \\ \left[\begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix} x-3>1 \\
7x-12\geqslant x-3\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x-3 < 1 \\ 7x-12\leqslant x-3\end{matrix}\right. \\ \end{array}\right. \\ \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \) \(\Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} 3 < x < 15 \\ x\neq 4, x\neq 14 \\ \left[\begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix} x>4 \\
6x\geqslant 9\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x < 4 \\ 6x\leqslant 9\end{matrix}\right. \\ \end{array}\right. \\ \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \) \(\Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} 3 < x < 15 \\ x\neq 4, x\neq 14 \\ \left[\begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix} x>4 \\
x\geqslant \frac{3}{2}\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x < 4 \\ x\leqslant \frac{3}{2}\end{matrix}\right. \\ \end{array}\right. \\ \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \) Найдем решения системы с помощью числовой прямой.

Ответ: \(x\in (4;14)\cup (14;15)\)

16. В июле 2022 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2023, 2024 и 2025 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года:
- в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего года;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года:
- к июлю 2028 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно \(r\), если общая сумма выплат составит 984 тыс. рублей?

Решение:

Составим схему погашения кредита.

Пусть \( k=1,2 \) – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов в 2023, 2024 и 2025 годах, \(q=1+\frac{r}{100}\)
– аналогичный коэффициент для 2026, 2027, 2028 годов.

\(B = 984\) тыс. руб. – общая сумма выплат. Сумма долга уменьшается равномерно, т.е. на \(\frac{1}{6}S\).

Выплаты:

Общая сумма выплат:

\(B=Sk(1+\frac{5}{6}+\frac{4}{6})-S(\frac{5}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6})+Sq(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6})-S(\frac{2}{6}+\frac{1}{6})=\)

\(=\frac{15}{6}Sk-\frac{S}{6}(1+2+3+4+5)+Sq=\)

\(=\frac{15}{6}Sk-\frac{S\cdot 15}{6}+Sq=\)

\(=\frac{15S}{6}(k-1)+Sq=\frac{15\cdot 600}{6}\cdot 0,2+Sq=\)

\(=15\cdot 100\cdot 0,2+Sq=300+Sq=984\);

\(Sq=684\); \(q=\frac{684}{600}=1,14\)

\(q=14\)%

Ответ: 14

17. Остроугольный треугольник \(ABC\), в котором \(AB < BC\), вписан в окружность с центром \(O\). Высота \(BH\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность в точке \(D\), \(AH : DH = 3 : 4\). а) Докажите, что медианы \(HK\) и \(OM\) треугольников \(ADH\) и \(OBC\) равны. б) Пусть \(BC:AD= 3: 2\). Найдите тангенс угла \(BAC\). Решение:

1) Пусть \(AH=3x\), \(DH=4x\), тогда \(AD=5x\), \(HK\) - медиана \(\triangle ADH\), \(HK=2,5x\), т.к. \(\triangle ADH\) - прямоугольный.

2) Из \(\triangle OBC\), \(\angle OBC=\frac{180^{\circ}-\angle COB}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle COB}{2}\);

\(\angle BAC=\frac{\angle COB}{2}\) (вписанный) \(\Rightarrow \)

\(\angle ABH=90^{\circ}-\frac{\angle COB}{2}=\angle OBC=\alpha \);

\(\angle ADB=\angle ACB\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle BCH\) по двум углам,

Пусть \(BH=3y\), тогда \(HC=4y\), \(BC=5y\).

\(\triangle ABH\sim \triangle OBM\) по двум углам,

\(\frac{AH}{OM}=\frac{BH}{BM}\);

\(OM=\frac{AH\cdot BM}{BH}=\frac{3x\cdot 2,5y}{3y}=2,5x=HK\), чтд.

б) Из \(\triangle BAH\):

\(tg\angle BAC=\frac{BH}{AH}=\frac{3y}{3x}=\frac{y}{x}\Rightarrow \)

\(tg\angle BAC=1,5\)

Ответ: 1,5

18. При каких неотрицательных значениях \(a\) функция \(f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7\) на отрезке [-1; 1] имеет ровно одну точку минимума?

Решение:

\(f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7\); \(a\geqslant 0\); \(x\in [-1; 1]\);

Найдём производную функции:

\(f'(x)=12ax^3-24x^2+6x=6x(2ax^2-4x+1)\).

Пусть \(a=0\). В этом случае выражение для производной становится проще (не третья степень, а вторая).

\(f'(x)=6x(-4x+1)\)

Найдём знаки производной на отрезке [-1; 1].

\(x=0\) – точка минимума, единственная на отрезке [-1; 1], значит
\(a=0\) - подходит.

Пусть \(a\neq 0\). Тогда \(a>0\), потому что по условию \(a\) – неотрицательно.

\(f'(x)=6x(2ax^2-4x+1)\)

Рассмотрим функцию \(g(x)=2ax^2-4x+1\); \(a>0\)
График \(g(x)\) - квадратичная парабола, ветви направлены вверх.

Найдем точки пересечения графика функции \(g(x)=2ax^2-4x+1\) с осью Х.

\(2ax^2-4x+1=0\)

Если \(D < 0\), то соответствующая квадратичная парабола не имеет общих точек с осью Х. Это означает, что \(x=0\) - единственная точка минимума на отрезке [-1; 1]. \(D=16-8a\). \(16-8a < 0\), если \(a > 2\).

Получили, что \(a\in (2;+\)∞\()\) - удовлетворяют условию задачи.

3) Если \(D=0\), то \(a=2\), тогда

\(f'(x)=6x(4x^2-4x+1)=6x\cdot (2x-1)^2\)

Найдём знаки производной:

Получили, что \(x=0\) – точка минимума, единственная на отрезке [-1; 1], значит,
\(a=2\) - подходит.

4) Пусть \(D>0\). Тогда \(0 < a < 2\), и уравнение \(2ax^2-4x+1=0\) имеет ровно два корня. По теореме Виета: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2}{a}>0 \\
x_1\cdot x_2=\frac{1}{2a}>0\end{matrix}\right.\)

Сумма и произведение корней положительны. Значит, оба корня положительны.

Получили: \(x_1>0\); \(x_2>0\). Пусть \(x_1 > x_2\).

Найдём знаки производной.

Видим, что \(x=0\) и \(x_2\) – точки минимума. В них производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Единственная точка минимума на отрезке [-1;1]получится тогда и только тогда, когда точка \(x_2\) не принадлежит [-1;1].

Сформулируем это условие:

При каких \(0 < a < 2\) уравнение \(2ax^2-4x+1=0\) имеет ровно два корня, причем больший из них \(x_2>1\).

Возможны следующие случаи:

а) Точка 1 лежит между корнями квадратичной параболы,

\(0

Тогда значение функции \(g(x)=2ax^2-4x+1\) отрицательно при \(x=1\).

\(g(1)<0\Rightarrow \)\(2a-4+1 < 0\); тогда \(a < 1,5\) Получили, что \(0 < a < 1,5\) – подходят. б) Оба корня уравнения \(2ax^2-4x+1=0\) больше 1. \(1

Мы имеем:

\(x_1>1\Rightarrow x_1-1>0\),

\(x_2>1\Rightarrow x_2-1>0\).

Тогда сумма и произведение выражение \(x_1-1\) и \(x_2-1\) положительны. И мы сможем применить теорему Виета.

Получим

\(\left\{\begin{matrix}
(x_1-1)\cdot (x_2-1)>0 \\
x_1-1+x_2-1>0\end{matrix}\right.\);

\(\left\{\begin{matrix}
x_1\cdot x_2-x_2-x_1+1>0 \\
x_1+x_2-2>0\end{matrix}\right.\)

По теореме Виета:

\(\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=\frac{2}{a}>0 \\
x_1\cdot x_2=\frac{1}{2a}>0\end{matrix}\right.\);

\(\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{2a}-\frac{2}{a}+1>0 \\
\frac{2}{a}-2>0\end{matrix}\right.\);

\(\left\{\begin{matrix}
1-4+2a>0 \\
1-a>0\end{matrix}\right.\);

\(\left\{\begin{matrix}
2a>3 \\
-a>-1\end{matrix}\right.\);

\(\left\{\begin{matrix}
a>1,5\\
a<1\end{matrix}\right.\); нет решений. Объединим полученные варианты: \(a=0\); или \(a\in (2;+\)∞\()\); или \(a=2\); или \(0< a <1,5\). Получим: \(a\in [0;1,5)\cup [2;+\)∞\()\). Это ответ. Ответ: \([0;1,5)\cup [2;+\)∞\()\). 19. Дано квадратное уравнение \(ax^2+bx+c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа \(a\), \(b\) и \(c\) попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2. а) Может ли такое уравнение иметь корень −7? б) Может ли такое уравнение иметь корень −53? в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение? Решение: а) Пусть \(x=-7\) – корень уравненияa \(ax^2+bx+c=0\). Подставим \(x=-7\) в данное уравнение. \(49a-7b+c=0\), и это значит, что \(c\vdots 7\), то есть \(c=7k\). Получается, что \(49a-7b+7k=0\), \(7a-b+k=0\), Возьмем \(a=1\), \(b=9\), \(k=2\), и тогда \(c=14\). Получим уравнение \(x^2+9x+14=0\), удовлетворяющее условию задачи. Число \(x=-7\) является его корнем. б) Предположим, что наше уравнение имеет корень \(x=-53\). Подставив его в уравнение \(53^2\cdot a-53b+c=0\), получим, что число с делится на \(x=-53\). Пусть \(c=-53\cdot n\) Заметим, что \(1\leqslant c\leqslant 100\), и равенство возможно только если \(n=-1\). Тогда \(c=53\). Получим: \(53^2\cdot a-53b+53=0\); \(53a-b+1=0\), \(53a=b-1\). Поскольку \(b\leqslant 100\), \(b-1\leqslant 99\), \(a\leqslant \frac{99}{53}\). Значит, \(a=1\). Тогда \(b-1=53\), \(b=54\), и уравнение имеет вид: \(ax^2+54x+53=0\). Однако в нём \(b\) и c отличаются на 1, и условия задачи не выполняются. Получается, что \(x=-53\) не может быть корнем уравнения. в) Пусть наименьший отрицательный корень уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен - \(p\). Подставив его в уравнение, получим: \(ap^2-bp+c = 0\), и это значит, что \(c\vdots p\). Пусть \(c = np\), тогда \(ap^2-bp+np=0\) \(ap-b+n=0\). Поскольку \(c\leqslant 100\), \(np\leqslant 100\) и если \(p\geqslant 51\),то \(n=1\). Пусть \(p\geqslant 51\) (а корень уравнения \(x\leqslant -51\)) тогда \(c=p\) и \(ap=b-1\). Аналогично пункту (б), если \(p\geqslant 51\),то \(a=1\), поскольку \(b\leqslant 100\) и \(b-1\leqslant 99\). Если \(p=b-1\) и \(p=c\),то \(c=b-1\), что не соответствует условию задачи. Значит, уравнение не может иметь целого корня \(x\leqslant-51\), то есть возможны только целые корни \(x\geqslant -50\). Приведем пример, когда \(x=-50\). Подставив \(x=-50\) в уравнение, получим: \(2500a-50b+c=0\). Очевидно, с делится на 50. Пусть \(c=50m\). Возьмем \(m = 2\). Тогда \(50a-b+2=0\), \(50a=b-2\). Выбрав \(a=1\), \(b=52\), получим уравнение \(x^2+52x+100=0\). Его корни легко найти по теореме Виета. Они равны -2 и -50. Ответ: а) да б) нет в) -50