Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=ToXqvgdB9Xo;t\&t=4552s
и https://www.youtube.com/watch?v=PoUcX5od-Oo&t;t\&t=1226s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. В прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) вписана окружность, которая касается гипотенузы в точке \(E\). Известно, что \(AE=7\), \( BE = 4 \). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Решение:
Пусть \(AE=d\), \(BE=e\).
\(O\) – центр вписанной окружности, \(F\) и \(K\) – точки касания вписанной окружности со сторонами \(AC\) и \(BC\).
Рассмотрим четырехугольник \(CFEK\). Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, углы \(F\) и \(K\) в этом четырехугольнике прямые. Угол \(C\) тоже прямой. Это прямоугольник. А соседние стороны \(CF\) и \(CK\) в нем равны, значит, это квадрат.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Из точки \(C\) проведены два отрезка касательных длиной \(r\). Из точки \(A\) – два отрезка касательных длиной \(d\), а из точки \(B\) – два отрезка касательных длиной \(e\).
Выразим стороны треугольника и его периметр через \(d\), \(e\) и радиус вписанной окружности.
\( P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC \).
\(AC = AF + CF = d + r\),
\(BC = KB + CK = e + r\),
\(AB = d + e\)
\(P_{\triangle ABC}=d + ed + r+e + r= 2(d+e+r)\)
По теореме Пифагора, \(AC^2 + BC^2=AB^2\)
\((d+r)^2+(e+r)^2=(d+e)^2\)
\(\not{d^2}+2dr+r^2+\not{e^2}+2er+r^2=\not{d^2}+2de+\not{e^2}\),
\(2r^2+2dr+2er=2de\),
\(r(r+d+e)=de\).
Выражение \(r+d+e\) равно полупериметру треугольника \(ABC\). Тогда в левой части равенства – выражение для площади треугольника \(ABC\).
\(S_{\triangle ABC}=r\cdot p=de\).
Подставив значения d и e, получим:
\(S_{\triangle ABC}=de=7\cdot 4=28\)
Ответ: 28
2. Даны векторы \(\overrightarrow{a}=(1; 2)\), \(\overrightarrow{b}=(-3; 6)\) и \(\overrightarrow{c}=(4; -2)\). Найдите длину вектора \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\).
Решение:
\(\overrightarrow{a}=(1; 2)\)
\(\overrightarrow{b}=(-3; 6)\)
\(\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(1+3+4;2-6-2)=(8; -6)\);
\(|\overrightarrow{m}|=\sqrt{8^2+6^2}=10\)
Ответ: 10
3. Анна Малкова
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сумма квадратов сторон треугольника \(ACD_1\) равна 32. Найдите длину диагонали \(B_1D\).
Решение:
Пусть \(AB=a\); \(BC=b\); \(CC_1=c\) - измерения прямоугольного параллелепипеда.
Из \(\triangle ACD_1\) по условию:
\(AD_1^2+D_1 C^2+AC^2=32\);
Из \(\triangle ADD_1\) (прямоугольного) по теореме Пифагора \(AD_1^2=a^2+c^2\)
Аналогично, из \(\triangle ADC\) по теореме Пифагора: \(AC^2=a^2+b^2\)
Из \(\triangle DD_1 C\): \(D_1 C^2=b^2+c^2\)
Тогда \(AD_1^2+D_1 C^2+AC^2=a^2+c^2+a^2+b^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)=32\)
\(B_1 D\) – диагональ прямоугольного параллелепипеда, \(B_1 D^2=a^2+b^2+c^2\) (по свойству прямоугольного параллелепипеда).
Отсюда \(2B_1 D^2=32\);
\(B_1 D^2=16\);
\(B_1 D=4\)
Ответ: 4
4. Преподаватель пригласил на собеседование трех из отстающих студентов через старосту группы. Староста забыл фамилии приглашенных и направил случайно трех из шести отстающих. Какова вероятность того, что это были нужные преподавателю студенты?
Решение:
Сколько способов выбрать 3 студентов из 6? (неупорядоченные тройки)
Обозначим студентов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Возможные тройки:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 345, 346, 356, 456, 256. Всего 20 троек = \(C_6^3\).
Вероятность выбрать нужную тройку равна \(\frac{1}{20}=0,05\).
Ответ: 0,05
5. Доля спама* в российском e-mail трафике составляет 75%. Почтовая программа распознает и отсеивает 95% этих писем. Однако по ошибке отсеивается также 1% нужной корреспонденции. Все остальные письма попадают в папку «Входящие».
Письмо оказалось в папке «Входящие». С какой вероятностью это не спам? Результат округлите до сотых.
* - Спам - массовая рассылка корреспонденции рекламного характера лицам, не выражавшим желания её получить.
Решение:
Письмо может оказаться в папке «Входящие» в двух случаях:
1) если это – не спам и почтовая программа это распознала
2) это спам, и почтовая программа его пропустила.
Вероятности этих событий равны соответственно
\(0,25\cdot 0,99\) и \(0,75\cdot 0,05\).
Применим формулу полной вероятности.
Получим: \(P=0,25\cdot 0,99 + 0,75\cdot 0,05 = 0,25\cdot ( 0,99+3\cdot 0,05)=0,285\)
Обозначим за \(x\) вероятность того, что письмо, оказавшееся в папке «Входящие», не является спамом.
Тогда вероятность того, что письмо попало в папку «Входящие» и не является спамом, равна \(0,285x\).
С другой стороны, эта вероятность равна \(0,25\cdot 0,99\).
Получим: \(0,25\cdot 0,99= 0,25\cdot 1,14x\); отсюда \(x=\frac{99}{114}=\frac{33}{38}\approx 0,87\).
Ответ: 0,87
6. Анна Малкова
Решите уравнение: \(2^{sin 2\pi x}=\frac{1}{2}\).
В ответе запишите наименьший положительный корень.
Решение:
\(2^{sin 2\pi x}=\frac{1}{2}\)
\(sin 2\pi x=-1\)
\(2\pi x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k \in Z\)
\(x=-\frac{1}{4}+k\), \(k \in Z\)
Наименьший положительный корень 0,75
Ответ: 0,75
7. Найдите значение выражения: \(\sqrt{2}sin (\frac{\pi}{2}-arccos\frac{\sqrt{2}}{2})\).
Решение:
\(\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{2}-arccos\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1\)
Ответ: 1
8. На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) - производной функции \(y=f(x)\). Сколько точек экстремума функции \(y=f(x)\) расположено на отрезке [-4; 2]?
Решение:
На рисунке график производной функции. Посмотрим, как она себя ведёт на отрезке [-4; 2].
В левом конце этого отрезка \(f'(x) < 0 \); В правом конце этого отрезка \( f'(x) > 0 \).
На этом отрезке есть только одна точка, в которой производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс». Это точка экстремума.
Ответ: 1
9. В электрическом обогревателе с неизменным сопротивлением \(R\) нагревательного элемента, через который течёт постоянный ток, за время \(t\) выделяется количество теплоты \(Q=I^2 Rt\). Во сколько раз увеличится количество выделяемой теплоты, если силу тока \(I\) и время работы обогревателя \(t\) увеличить вдвое?
Решение:
За время \(t\) выделяется количество теплоты \(Q=I^2 Rt\).
Если силу тока \(I\) и время работы обогревателя \(t\) увеличить вдвое, то количество теплоты будет равно:
\(Q=(2I)^2 R\cdot 2t=8I^2 Rt=8Q\).
Значит, количество теплоты увеличится в 8 раз.
Ответ: 8
10. Анна Малкова
Задумав разбогатеть, Валентина Петровна открыла интернет-магазин сувениров, в котором продаются изделия двух типов: зайки и чебурашки.
В декабре было продано в 10 раз больше заек, чем чебурашек, а чебурашка стоил в 4 раза дороже, чем зайка.
В ночь на 1 января Валентина Петровна подняла цену на чебурашек на 20%.
Несмотря на это, в январе было продано в 10 раз больше чебурашек, чем заек.
А заек в январе было продано на 80% меньше, чем в декабре.
Во сколько раз выросла выручка Валентины Петровны в январе по сравнению с декабрем?
Решение:
Составим таблицу: сколько заек и чебурашек продано в декабре и в январе и по какой цене.
Выручка в декабре: \(14xn\)
Выручка в январе: \(98xn\)
Находим, во сколько раз выросла выручка: \(\frac{98xn}{14xn}=7\) раз.
Ответ: 7
11. Анна Малкова
На рисунке изображен график функции \(y=|ax^2+bx+c|\).
Найдите \(c\), если известно, что \(c> 0\).
Решение:
На рисунке график функции \(f(x)=|ax^2+bx+c|\). Он получен из графика функции \(y=ax^2+bx+c\). Часть графика функции \(y=ax^2+bx+c\), лежавшая ниже оси Х, отразилась вверх. По условию, \(c>0\). Значит, парабола \(y=ax^2+bx+c\) была ветвями вверх. А в верхнюю полуплоскость отобразился участок ее графика, лежавший между точками 2 и 4 (корнями квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\)).
Вершина тоже отразилась вверх.
До отображения вершина параболы была в точке (3;-1).
График функции \(y=ax^2+bx+c\) был получен из графика функции \(y=x^2\) сдвигом на 3 вправо и на 1 вниз и растяжением в а раз по вертикали.
\(y=ax^2+bx+c=a(x-3)^2-1\).
Найдем \(a\).
\(y(2)=0\); \(a-1=0\); \(a=1\).
\(y=(x-3)^2-1=x^2-6x+8\).
Получили: \(c=8\).
Ответ: 8
12. Найдите наименьшее значение функции \(y=(x+31)^2 e^{-31-x}\) на отрезке \([-34;-30]. \)
Решение:
Будем действовать по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:
1) Найдём производную функции по формуле: \((u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\)
\(y'(x)=2(x+31)e^{-31-x}-e^{-31-x}(x+31)=(x+31)\cdot e^{-31-x}\cdot (2-x-31)=e^{-31-x}\cdot (x+31)\cdot (-x-29)\)
2) Решим уравнение: \(y'(x)=0\)
Его решения: \(x=-31\); \(x=-29\).
3) Определим знаки производной:
\(e^{-31-x}>0 \) при любом \(x\) значит, знак производной зависит только от выражения \((x+31)\cdot(-x-29) =-(x+31)\cdot (x+29)\)
Рассмотрим функцию \(y=-(x+31)\cdot(x+29)\)
Ее график - парабола с ветвями вниз.
Если \(x=-31\), то производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс»,
Значит \(x=-31\) - точка минимума функциина отрезке [-34;-30].
\(y_{min}(x)=y(-31)=0\)
Ответ: 0
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13. Дано уравнение \(|sin x| = cos x\)
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни уравнения на интервале \( [0; 2\pi]\).
Решение:
Перейдем к равносильной системе, согласно правилу:
\(|A|=B\Leftrightarrow \)\(\left\{\begin{matrix}
B\geqslant 0 \\
\left[\begin{array}{ccc}
A=B \\
A=-B\end{array}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\left[\begin{array}{ccc}
cos x\geqslant 0 \\
\left\{\begin{matrix}
sin x=cos x \\
sin x= -cos x\end{matrix}\right.\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{ccc}
cos x\geqslant 0 \\
\left[\begin{array}{ccc}
x=\frac{\pi}{4}+\pi k; k\in Z \\
x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\end{array}\right.\end{array}\right.\)
\(x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in Z\)
Найдем корни на отрезке \([0; 2\pi]\) с помощью единичной окружности.
Отметим на единичной окружности отрезок \([0; 2\pi]\) и найденные серии решений.
Видим, что указанному отрезку принадлежат точки: \(\frac{\pi}{4}\); \(\frac{7\pi}{4}\).
Ответ: a) \(x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k\), \(k\) - целое
b) \(\frac{\pi}{4}\); \(\frac{7\pi}{4}\)
14. Дана правильная четырёхугольная пирамида \(SABCD\). Tочка \(M\) – середина \(SA\), на ребре \(SB\) отмечена точка \(N\) так, что \(SN : NB = 1 : 2\).
а) Докажите, что плоскость \(CMN\) параллельна прямой \(SD\).
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \(CMN\), если все рёбра равны 12.
Решение:
а) Докажем, что \((CMN)\parallel SD\)
Построим сечение пирамиды плоскостью \(CMN\).
Применим теорему Mенелая для \(\triangle SAB\) и прямой \(MN\), \(MN\cap AB=T\).
\(\frac{BN}{NS}\cdot \frac{SM}{MA}\cdot \frac{AT}{TB}=1\);
\(2\cdot \frac{AT}{TB}=1\Rightarrow\) \(BT=2AT\)
\(A\) - середина \(BT\).
\(\triangle ATQ\sim \triangle BTC\) по 2 yглам,
\(Q\) - середина \(AD\), тогда \(MQ\) - средняя линия \(\triangle SAD\), \(MQ\parallel SD\).
б) Hайдём \(S\) сечения
\(MQ\parallel SD\), \(MO\in \alpha \Rightarrow \)\(\alpha \parallel SD\), по признакy параллельности прямой и плоскости;
пyсть \(\alpha \cap BD=E \), тогда \(\alpha \cap (SBD)=EN\)
Tак как \(MQ\parallel SD\Rightarrow \)\(MQ\parallel (SBD)\), по тереме о прямой и параллельной ей плоскости \(NE\parallel MQ\), также \(NE\parallel SD\).
\(\triangle SBD\sim \triangle NBE\) по 2 yглам, тогда
\(\frac{EN}{SD}=\frac{BN}{SB}=\frac{2}{3}\);
\(EN=\frac{2}{3}SD\); \(BE=\frac{2}{3}BD\).
Hайдём \(S\) сечения, то есть \(S_{QMNC}\)
\(S_{QMNC}=S_{\triangle ENC}+S_{\triangle MNF}+S_{QMFE}\)
Проведём \(MF\parallel QC\).
Из \(\triangle QDC\), где \(CD=12\), \(QD=6\) по теореме Пифагора:
\(QC=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)
\(MQ=\frac{1}{2}SD=6\) как средняя линия \(\triangle ASD\)
\(\triangle BEN\sim \triangle BDS\) по 2 yглам, отсюда \(\frac{EN}{SD}=\frac{BN}{SB}=\frac{2}{3}\),
отсюда \(EN=\frac{2}{3}SD=8\),
Tогда \(EF=6\), \(NF=8-6=2\)
Из \(\triangle SNC\) по теореме косинyсов \(CN^2=SN^2+SC^2-2SN\cdot SC\cdot cos60^{\circ}\)
отсюда \(CN^2=112\), \(CN=4\sqrt{7}\),
\(\triangle QDE\sim \triangle CBE\) по 2 yглам,
\(EC=4\sqrt{5}\)
B \(\triangle ENC\) по теореме косинyсов
\(NC^2=NE^2+EC^2-2\cdot BE\cdot EC\cdot cos\alpha \),
\(112=64+80-2\cdot 8\cdot 4\sqrt{5}cos\alpha\),
\(16\cdot 4\sqrt{5}cos\alpha=32\),
\(cos\alpha =\frac{1}{2\sqrt{5}}\), \(cos^2\alpha =\frac{1}{20}\),
тогда \(sin^2\alpha =\frac{19}{20}\),
\(sin\alpha =\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{20}}=sin\angle NEC=sin\angle FEQ=sin\angle MFN\).
\(S_{QMNC}=S_{\triangle ENC}+S_{\triangle MFN}+S_{QMFE}=\)
\(=sin\alpha (\frac{1}{2}\cdot NE\cdot ED+QE\cdot EF+\frac{1}{2}MF\cdot NF)=\)
\(=sin\alpha (\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{5}+2\sqrt{5}\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2)=\)
\(=\frac{\sqrt{19}\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}}(16+12+2)=\frac{30\sqrt{19}}{2}=15\sqrt{19}\)
Oтвет: \(15\sqrt{19}\)
15. Анна Малкова
Решите неравенство: \(\frac{log_3(7x-12)}{log_3(x-3)}\geqslant log_{15-x} |x-15|\).
Решение:
\(\frac{log_3 (7x-12)}{log_3 (x-3)}\geqslant log_{15-x}|x-15|\)
По определению модуля,
\(\frac{log_3 (7x-12)}{log_3 (x-3)}\geqslant log_{15-x}|x-15|\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix}
7x-12>0 \\
x-3>0 \\
log_3 (x-3)\neq 0 \\
|x-15|>0 \\
15-x>0\\
15-x\neq 1 \\
\frac{log_3 (7x-12)}{log_3 (x-3)}\geqslant log_{15-x}(15-x)\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left\{\begin{matrix}
x>\frac{12}{7} \\
x>3 \\
x\neq 4, x\neq 14 \\
x<15 \\
\frac{log_3 (7x+12)}{log_3 (x-3)}\geqslant 1\end{matrix}\right.\)
Мы записали в одну систему и само неравенство, и все условия, задающие его ОДЗ. Раскрыли модуль, учитывая, что \(x-15<0\), при этом \(|x-15|=15-x\).
Рассмотрим два случая. Знаменатель дроби \(log_3(x-3)\) может быть положителен или отрицателен. Получим совокупность двух систем:
\(\left\{\begin{matrix}
3 < x < 15 \\
x\neq 4, x\neq 14 \\
\left[\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{matrix}
log_3(x-3)>0\\
log_3 (7x-12)\geqslant log_3 (x-3)\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
log_3 (x-3) < 0 \\
log_3(7x-12)\leqslant log_3 (x-3)\end{matrix}\right. \\
\end{array}\right. \\
\end{matrix}\right.\)
Перейдем от логарифмических неравенств к алгебраическим. Основание логарифма \(3>1\), и логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает. Это значит, что
\(log_3x_2\geqslant log_3x_1\)⟺\( x_2\geqslant x_1\)
Получим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
3 < x < 15 \\
x\neq 4, x\neq 14 \\
\left[\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{matrix}
x-3>1 \\
7x-12\geqslant x-3\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x-3 < 1 \\
7x-12\leqslant x-3\end{matrix}\right. \\
\end{array}\right. \\
\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix}
3 < x < 15 \\
x\neq 4, x\neq 14 \\
\left[\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{matrix}
x>4 \\
6x\geqslant 9\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x < 4 \\
6x\leqslant 9\end{matrix}\right. \\
\end{array}\right. \\
\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix}
3 < x < 15 \\
x\neq 4, x\neq 14 \\
\left[\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{matrix}
x>4 \\
x\geqslant \frac{3}{2}\end{matrix}\right. \\
\left\{\begin{matrix}
x < 4 \\
x\leqslant \frac{3}{2}\end{matrix}\right. \\
\end{array}\right. \\
\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \)
Найдем решения системы с помощью числовой прямой.
Ответ: \(x\in (4;14)\cup (14;15)\)
16. В июле 2022 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2023, 2024 и 2025 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года:
- в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на \(r\)% по сравнению с концом предыдущего года;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года:
- к июлю 2028 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно \(r\), если общая сумма выплат составит 984 тыс. рублей?
Решение:
Составим схему погашения кредита.
Пусть \( k=1,2 \) – коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов в 2023, 2024 и 2025 годах, \(q=1+\frac{r}{100}\)
– аналогичный коэффициент для 2026, 2027, 2028 годов.
\(B = 984\) тыс. руб. – общая сумма выплат. Сумма долга уменьшается равномерно, т.е. на \(\frac{1}{6}S\).
Выплаты:
Общая сумма выплат:
\(B=Sk(1+\frac{5}{6}+\frac{4}{6})-S(\frac{5}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6})+Sq(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6})-S(\frac{2}{6}+\frac{1}{6})=\)
\(=\frac{15}{6}Sk-\frac{S}{6}(1+2+3+4+5)+Sq=\)
\(=\frac{15}{6}Sk-\frac{S\cdot 15}{6}+Sq=\)
\(=\frac{15S}{6}(k-1)+Sq=\frac{15\cdot 600}{6}\cdot 0,2+Sq=\)
\(=15\cdot 100\cdot 0,2+Sq=300+Sq=984\);
\(Sq=684\); \(q=\frac{684}{600}=1,14\)
\(q=14\)%
Ответ: 14
17. Остроугольный треугольник \(ABC\), в котором \(AB < BC\), вписан в окружность с центром \(O\). Высота \(BH\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность в точке \(D\), \(AH : DH = 3 : 4\).
а) Докажите, что медианы \(HK\) и \(OM\) треугольников \(ADH\) и \(OBC\) равны.
б) Пусть \(BC:AD= 3: 2\). Найдите тангенс угла \(BAC\).
Решение:
1) Пусть \(AH=3x\), \(DH=4x\), тогда \(AD=5x\), \(HK\) - медиана \(\triangle ADH\), \(HK=2,5x\), т.к. \(\triangle ADH\) - прямоугольный.
2) Из \(\triangle OBC\), \(\angle OBC=\frac{180^{\circ}-\angle COB}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle COB}{2}\);
\(\angle BAC=\frac{\angle COB}{2}\) (вписанный) \(\Rightarrow \)
\(\angle ABH=90^{\circ}-\frac{\angle COB}{2}=\angle OBC=\alpha \);
\(\angle ADB=\angle ACB\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle BCH\) по двум углам,
Пусть \(BH=3y\), тогда \(HC=4y\), \(BC=5y\).
\(\triangle ABH\sim \triangle OBM\) по двум углам,
\(\frac{AH}{OM}=\frac{BH}{BM}\);
\(OM=\frac{AH\cdot BM}{BH}=\frac{3x\cdot 2,5y}{3y}=2,5x=HK\), чтд.
б) Из \(\triangle BAH\):
\(tg\angle BAC=\frac{BH}{AH}=\frac{3y}{3x}=\frac{y}{x}\Rightarrow \)
\(tg\angle BAC=1,5\)
Ответ: 1,5
18. При каких неотрицательных значениях \(a\) функция \(f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7\) на отрезке [-1; 1] имеет ровно одну точку минимума?
Решение:
\(f(x)=3ax^4-8x^3+3x^2-7\); \(a\geqslant 0\); \(x\in [-1; 1]\);
Найдём производную функции:
\(f'(x)=12ax^3-24x^2+6x=6x(2ax^2-4x+1)\).
Пусть \(a=0\). В этом случае выражение для производной становится проще (не третья степень, а вторая).
\(f'(x)=6x(-4x+1)\)
Найдём знаки производной на отрезке [-1; 1].
\(x=0\) – точка минимума, единственная на отрезке [-1; 1], значит
\(a=0\) - подходит.
Пусть \(a\neq 0\). Тогда \(a>0\), потому что по условию \(a\) – неотрицательно.
\(f'(x)=6x(2ax^2-4x+1)\)
Рассмотрим функцию \(g(x)=2ax^2-4x+1\); \(a>0\)
График \(g(x)\) - квадратичная парабола, ветви направлены вверх.
Найдем точки пересечения графика функции \(g(x)=2ax^2-4x+1\) с осью Х.
\(2ax^2-4x+1=0\)
Если \(D < 0\), то соответствующая квадратичная парабола не имеет общих точек с осью Х. Это означает, что \(x=0\) - единственная точка минимума на отрезке [-1; 1]. \(D=16-8a\). \(16-8a < 0\), если \(a > 2\).
Получили, что \(a\in (2;+\)∞\()\) - удовлетворяют условию задачи.
3) Если \(D=0\), то \(a=2\), тогда
\(f'(x)=6x(4x^2-4x+1)=6x\cdot (2x-1)^2\)
Найдём знаки производной:
Получили, что \(x=0\) – точка минимума, единственная на отрезке [-1; 1], значит,
\(a=2\) - подходит.
4) Пусть \(D>0\). Тогда \(0 < a < 2\), и уравнение
\(2ax^2-4x+1=0\) имеет ровно два корня.
По теореме Виета:
\(\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=\frac{2}{a}>0 \\
x_1\cdot x_2=\frac{1}{2a}>0\end{matrix}\right.\)
Сумма и произведение корней положительны. Значит, оба корня положительны.
Получили: \(x_1>0\); \(x_2>0\). Пусть \(x_1 > x_2\).
Найдём знаки производной.
Видим, что \(x=0\) и \(x_2\) – точки минимума. В них производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Единственная точка минимума на отрезке [-1;1]получится тогда и только тогда, когда точка \(x_2\) не принадлежит [-1;1].
Сформулируем это условие:
При каких \(0 < a < 2\) уравнение \(2ax^2-4x+1=0\) имеет ровно два корня, причем больший из них \(x_2>1\).
Возможны следующие случаи:
а) Точка 1 лежит между корнями квадратичной параболы,
\(0
Тогда значение функции \(g(x)=2ax^2-4x+1\) отрицательно при \(x=1\).
\(g(1)<0\Rightarrow \)\(2a-4+1 < 0\); тогда \(a < 1,5\)
Получили, что \(0 < a < 1,5\) – подходят.
б) Оба корня уравнения \(2ax^2-4x+1=0\) больше 1.
\(1
Мы имеем:
\(x_1>1\Rightarrow x_1-1>0\),
\(x_2>1\Rightarrow x_2-1>0\).
Тогда сумма и произведение выражение \(x_1-1\) и \(x_2-1\) положительны. И мы сможем применить теорему Виета.
Получим
\(\left\{\begin{matrix}
(x_1-1)\cdot (x_2-1)>0 \\
x_1-1+x_2-1>0\end{matrix}\right.\);
\(\left\{\begin{matrix}
x_1\cdot x_2-x_2-x_1+1>0 \\
x_1+x_2-2>0\end{matrix}\right.\)
По теореме Виета:
\(\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=\frac{2}{a}>0 \\
x_1\cdot x_2=\frac{1}{2a}>0\end{matrix}\right.\);
\(\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{2a}-\frac{2}{a}+1>0 \\
\frac{2}{a}-2>0\end{matrix}\right.\);
\(\left\{\begin{matrix}
1-4+2a>0 \\
1-a>0\end{matrix}\right.\);
\(\left\{\begin{matrix}
2a>3 \\
-a>-1\end{matrix}\right.\);
\(\left\{\begin{matrix}
a>1,5\\
a<1\end{matrix}\right.\); нет решений.
Объединим полученные варианты:
\(a=0\);
или \(a\in (2;+\)∞\()\);
или \(a=2\);
или \(0< a <1,5\).
Получим: \(a\in [0;1,5)\cup [2;+\)∞\()\). Это ответ.
Ответ: \([0;1,5)\cup [2;+\)∞\()\).
19. Дано квадратное уравнение \(ax^2+bx+c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа \(a\), \(b\) и \(c\) попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.
а) Может ли такое уравнение иметь корень −7?
б) Может ли такое уравнение иметь корень −53?
в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?
Решение:
а) Пусть \(x=-7\) – корень уравненияa \(ax^2+bx+c=0\).
Подставим \(x=-7\) в данное уравнение.
\(49a-7b+c=0\), и это значит, что \(c\vdots 7\), то есть \(c=7k\). Получается, что
\(49a-7b+7k=0\),
\(7a-b+k=0\),
Возьмем \(a=1\), \(b=9\), \(k=2\), и тогда \(c=14\).
Получим уравнение \(x^2+9x+14=0\), удовлетворяющее условию задачи. Число \(x=-7\) является его корнем.
б) Предположим, что наше уравнение имеет корень \(x=-53\). Подставив его в уравнение
\(53^2\cdot a-53b+c=0\), получим, что число с делится на \(x=-53\).
Пусть \(c=-53\cdot n\)
Заметим, что \(1\leqslant c\leqslant 100\), и равенство возможно только если \(n=-1\).
Тогда \(c=53\).
Получим: \(53^2\cdot a-53b+53=0\);
\(53a-b+1=0\),
\(53a=b-1\).
Поскольку \(b\leqslant 100\), \(b-1\leqslant 99\), \(a\leqslant \frac{99}{53}\).
Значит, \(a=1\). Тогда \(b-1=53\), \(b=54\), и уравнение имеет вид:
\(ax^2+54x+53=0\).
Однако в нём \(b\) и c отличаются на 1, и условия задачи не выполняются.
Получается, что \(x=-53\) не может быть корнем уравнения.
в) Пусть наименьший отрицательный корень уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен - \(p\).
Подставив его в уравнение, получим:
\(ap^2-bp+c = 0\), и это значит, что \(c\vdots p\).
Пусть \(c = np\), тогда
\(ap^2-bp+np=0\)
\(ap-b+n=0\).
Поскольку \(c\leqslant 100\), \(np\leqslant 100\) и если \(p\geqslant 51\),то \(n=1\).
Пусть \(p\geqslant 51\) (а корень уравнения \(x\leqslant -51\))
тогда \(c=p\) и \(ap=b-1\).
Аналогично пункту (б), если \(p\geqslant 51\),то \(a=1\), поскольку \(b\leqslant 100\) и \(b-1\leqslant 99\).
Если \(p=b-1\) и \(p=c\),то \(c=b-1\), что не соответствует условию задачи.
Значит, уравнение не может иметь целого корня \(x\leqslant-51\), то есть возможны только целые корни \(x\geqslant -50\).
Приведем пример, когда \(x=-50\). Подставив \(x=-50\) в уравнение, получим:
\(2500a-50b+c=0\). Очевидно, с делится на 50. Пусть \(c=50m\).
Возьмем \(m = 2\). Тогда \(50a-b+2=0\),
\(50a=b-2\).
Выбрав \(a=1\), \(b=52\), получим уравнение \(x^2+52x+100=0\).
Его корни легко найти по теореме Виета. Они равны -2 и -50.
Ответ:
а) да
б) нет
в) -50