ЕГЭ-2023 Вариант 8, решения

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=AMvW5A-ECW8;t\&t=1s
и https://www.youtube.com/watch?v=tWfY0Van104;t\&t=447s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ через точку $E$ пересечения диагоналей проведен отрезок $PQ$ , параллельный основаниям трапеции. Известно, что угол $ABC$ равен $120^{\circ}$ , угол $CBE$ равен $30^{\circ}$ . Найдите $PQ$ , если $BC = 30$ .

Решение:

По условию, $\angle ABC=120^{\circ}=\angle BCD$ , так как трапеция равнобедренная.

$\angle BAC=30^{\circ}$ ; из треугольника $ABC$ : $\angle ACB=180^{\circ}- 120^{\circ}- 30^{\circ}= 30^{\circ}$ ,

Значит, треугольник $ABC$ – равнобедренный, треугольник $BCD$ – тоже равнобедренный,

$BC=AB=30=CD$ . Боковые стороны этой трапеции равны ее верхнему основанию.

А углы $CAD$ и $ACB$ равны как накрест лежащие, $\angle CAD= \angle ADC=30^{\circ}$ .

Из $\triangle ACD$ : $\angle ACD=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$ .

В треугольнике $ACD$ катет $CD$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$ . Значит, он равен половине гипотенузы.

Тогда $AD=2\cdot CD=60$

$\triangle BCE\sim \triangle DAE$ по двум углам,

$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}=\frac{BE}{ED}$ . Тогда $ED = 2BE$ , $BD = BE + ED = BE + 2BE = 3BE$ .

Также $\triangle PBE\sim \triangle ABD$ по двум углам,

$\frac{PE}{AD}=\frac{BE}{BD}=\frac{1}{3}$ ,

Отсюда $PE=20$ .

Аналогично, $EQ=20$ , $PQ=40$

Ответ: 40

2. Анна Малкова

Задумав разбогатеть, Валентина Петровна завела кур и петуха. И снесла одна курочка яичко, не простое, золотое, в форме сплошного шара диаметром 6 см.
Договорившись со знакомым ювелиром, Валентина Петровна собирается переплавить золотое яичко на украшения-медальоны в форме круглых монеток радиусом 1,5 см и толщиной 2,5 мм каждая. Сколько золотых медальонов получится у Валентины Петровны, если ей удастся реализовать свой план?

Решение:

Объем шара равен $\frac{4}{3}\pi R^3$ , где $R$ – радиус шара.

Валентина Петровна хочет сделать медальоны в форме круглых монеток. А монетка – это цилиндр, в котором диаметр основания намного больше, чем высота.

Объем цилиндра равен $\pi r^2 h$ , где $r$ – радиус цилиндра, $h$ – его высота.

Объем шара должен быть равен объему n получившихся медальонов-монеток.

$\frac{4}{3}\pi R^3=n\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$ , $R=3$ ;

$\frac{4}{3}\cdot 3^3=n\cdot r^2\cdot 0,25$ ;

$36=n\cdot r^2\cdot 0,25$ ;

$r=1,5$ ; $36=\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot n$ ;

$4=\frac{n}{16}$ ;

$n=64$

Ответ: 64

3. Анна Малкова

При броске двух игральных кубиков на них выпало одинаковое количество очков. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков больше 7.

Решение:

Известно, что выпало одинаковое количество очков на обоих кубиках. Возможные варианты: 11, 22, 33, 44, 55, 66.

Сумма очков больше 7 в случаях 44, 55, 66. Это 3 из 6 вариантов, $p=0,5$

Ответ: 0,5

4. Анна Малкова

Найдите вероятность того, что при броске трех игральных кубиков только на двух из них количество очков будет одинаковым (а на третьем – другое, например, 414). Ответ округлите до сотых.

Решение:

$6^3=216$ вариантов.

Рассмотрим вариант $AAB$ . Здесь $A$ – одна из 6 цифр от 1 до 6, $B$ – одна из 5 цифр (поскольку не равна А).

Цифра $B$ может стоять на первом, втором или третьем месте, то есть возможны 3 варианта: $AAB$ , $ABA$ , $BAA$ . Значит, для каждой цифры $A$ всего получится 15 вариантов (5 вариантов для цифры $B$ , и стоять она может на одном из 3 мест).

Поскольку $A$ принимает значения от 1 до 6, всего имеем 90 вариантов.

$p=\frac{90}{216}\approx 0,42$ .

Ответ: 0,42

5. Анна Малкова

Решите уравнение: $log_7(x^3-64x+49)=2$ .

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший из них.

Решение:

ОДЗ: $x^3-64x+49>0$ .

Мы не будем решать это неравенство. Сделаем по-другому найдем корни уравнения и проверим, что они принадлежат ОДЗ.

$log_7 (x^3-64x+49)=2$ ;

$x^3-64x+49=49$

$x(x^2-64)=0$ ;

$\left[\begin{array}{ccc}x=0 \\x=8 \\x=-8\end{array}\right.$

Меньший корень: -8

Заметим, что все три корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: -8

6. Найдите значение выражения: $\frac{cos10^{\circ}\cdot cos6^{\circ}-sin10^{\circ}\cdot sin6^{\circ}}{cos53^{\circ}\cdot cos37^{\circ}}$ .

Решение:

$\frac{cos10^{\circ}\cdot cos6^{\circ}-sin10^{\circ}\cdot sin6^{\circ}}{cos53^{\circ}\cdot cos37^{\circ}}=$

$=\frac{2 cos 16^{\circ}}{2 cos 53^{\circ}\cdot sin 53^{\circ}}=\frac{2cos 16^{\circ}}{sin 106^{\circ}}=$

$=\frac{2 cos 16^{\circ}}{sin (90^{\circ}+16^{\circ})}=\frac{2cos 16^{\circ}}{cos 16^{\circ}}=2$

Ответ: 2

7. Анна Малкова

На рисунке изображен график $y=f$ - производной функции $y=f(x)$ . На ее графике отмечены 8 точек. В скольких из них функция $y=f(x)$ монотонно убывает? В ответе запишите количество таких точек.

Решение:

Если функция убывает, ее производная отрицательна. Находим на графике производной такие точки, где производная отрицательна. Это две точки, $x_5$ и $x_6$ .

Ответ: 2

8. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=400$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=200$ руб., постоянные расходы предприятия $f=600 000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $g(q)=q(p-v)-f$ . Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $900 000$ руб.

Решение:

Подставим в формулу заданные значения цены, затрат на производство одной единицы продукции, постоянных расходов предприятия и значение месячной прибыли:

$q(400-200)-600 000=900 000$

$200q=900 000+600 000$

$q=\frac{1 500 000}{200}=7 500$

Ответ: 7500

9. Каждая сторона основания пирамиды была уменьшена на 20%. На сколько процентов необходимо увеличить высоту пирамиды, чтобы ее объем остался неизменным?

Решение:

Объем пирамиды:

По условию, каждую сторону уменьшили на 20%,

$a_1=0,8a$

$S_1=0,8^2\cdot S=0,64S$

Чтобы пирамиды объем остался постоянным, необходимо увеличить ее высоту.

$S\cdot h=0,64S\cdot h_1$

$h_1=\frac{100}{64}h=1+\frac{36}{64}=1+\frac{9}{16}=1,5625$ ;

Значит, высоту надо увеличить на 56,25%.

Ответ: 56,25

10. Анна Малкова

На рисунке изображен график функции $f(x)=Acos(b(x+c))$ . Найдите $c$ .

Решение:

$f(x)=A cos(b(x+c))$ .

$A$ – амплитуда колебания, $A=2,5$ .

График функции получен из графика функции $y=cos x$ с помощью следующих преобразований:

1) Сдвиг на $c$ по горизонтали,

2) Растяжение в $b$ раз по горизонтали,

3) Растяжение в 2,5 раз по вертикали.

По горизонтали график сдвинут на 1 вправо. Значит, $c=-1$ .

Ответ: -1

11. Найдите наибольшее значение функции $y=15x-3 sin x+5$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2};0].$

Решение:

$y$

Оценим знак производной.

$-1\leqslant cosx\leqslant 1$

$-3\leqslant 3cosx\leqslant 3$

$12\leqslant 15-3cosx\leqslant 18$ . Значит,

при любых значениях $x$ , и данная функция возрастает на всей области определения. На указанном отрезке она достигает наибольшего значения в правом конце отрезка.

$y(0)=15\cdot 0-3sin 0+5=5$

Ответ: 5

Часть 2. Задания с развернутым ответом

12.

а) Решите уравнение $(2sin x+\sqrt{3})\cdot \sqrt{cos x}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{2}].$

Решение:

a) Решим уравнение:

$(2sin x+ \sqrt{3})\cdot \sqrt{cos x}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{ccc}cosx=0 \\sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.\\cosx\geqslant 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}\left\{\begin{matrix}sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\cosx\geqslant 0\end{matrix}\right. \\cosx= 0\end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z \\x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k\end{array}\right.$

б) С помощью единичной окружности отберем корни на отрезке $[\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{2}]$ .

Отметим на удиничной окружности отрезок $[\frac{3\pi}{2};\frac{7\pi}{2}]$ и найденные серии решений:

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}$ .

Ответ: а) { $x=\frac{\pi}{2}+\pi k, x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$ }

б) $\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}$ .

13. Анна Малкова

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ , такая, что $AB=BC =CD=a$ ,
$AD = 2a$ , вершина $S$ проецируется в середину отрезка $AD$ . Высота пирамиды равна $SO=2\sqrt{2}a$ .Сечение пирамиды проходит через прямую $BC$ и точку $M$ - середину ребра $AS$ .

а) Докажите, что диагонали сечения равны.

б) Найдите угол между прямыми $BM$ и $SD$ .

Решение:

$ABCD$ – трапеция, в которой $AB=BC=CD=a$ ; $AD=2a$ ;

$O$ – середина $AD$ , тогда $AO=OD=a$ ;

Значит, $ABCO$ – параллелограмм (т.к. $BC\parallel AO$ ; $BC=AO$ ).

$OC=a=OB$ . Тогда треугольники $ABO$ , $BOC$ , $COD$ – правильные,

Трапеция $ABCD$ состоит из трех правильных треугольников.

$ABCD$ - половина правильного шестиугольника.

$SABCD$ – половина правильной шестиугольной пирамиды.

$SO=2\sqrt{2}a$ - высота пирамиды.

а) Пусть $\alpha$ – плоскость сечения, $BC\in \alpha$ ; $M\in \alpha$ .

$\left.\begin{matrix}BC\parallel AD \\AD\in (ASD)\end{matrix}\right\}\Rightarrow BC\parallel (ASD)$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

$\left.\begin{matrix}BC\parallel (ASD)\\BC\in \alpha \\\alpha \cap (ASD)=MN\end{matrix}\right\}\Rightarrow MN\parallel BC$ по теореме о прямой и параллельной ей плоскости.

$BCMN$ – сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ . Докажем, что $BCMN$ – прямоугольник.

- средняя линия $\triangle ASD$ ,

Значит, $N$ – середина $SD$ .

$MN=\frac{1}{2}AD=a=BC$ .

Пусть $M_1$ – проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$ , $M_1$ – середина $AO$ (т.к. $\triangle AMM_1\sim \triangle ASO$ ).

$N_1$ – проекция $N$ на плоскость $(ABC)$ , $N_1$ – середина $OD$ ,

$M_1B$ – проекция $MB$ на плоскость $(ABC)$ .

$M_1 B$ – медиана и высота правильного треугольника $ABO$ ;

$M_1 B\perp BC$ , тогда $M_ B\perp BC$ по теореме о трёх перпендикулярах.

$\left.\begin{matrix}BC\parallel MN \\BC=MN=a\end{matrix}\right\}\Rightarrow BMNC$ – параллелограмм, по признаку параллелограмма.

$BM\perp BC\Rightarrow BMNC$ – прямоугольник.

Значит, диагонали $BMNC$ равны, $BN=MC$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём угол φмежду прямыми $BM$ и $SD$ .

Прямые $BM$ и $SD$ скрещивающиеся.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между прямыми, лежащими в одной плоскостии параллельными данным прямым.

$OM$ – средняя линия $\triangle ASD$ ;

$OM\parallel SD$ ; $OM=\frac{1}{2} SD$ ; тогда $\varphi =\angle OMB$

В $\triangle OMB:OB=a$ ;

$MB$ – медиана $\triangle SAB$ ;

Найдём медиану по формуле: $m=\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}+\frac{b^2}{4}}$

$\triangle SOA$ – прямоугольный, $SO=2\sqrt{2}a$ ; $AO=a$ ,

по теореме Пифагора $SA=\sqrt{SO^2+AO^2}=3a$ ,

тогда $BM=\sqrt{\frac{a^2+9a^2}{2}-\frac{9a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$ ;

$OM=\frac{1}{2}SD=\frac{3a}{2}$ ;

Из $\triangle OMB$ по теореме косинусов:

$cos\varphi=\frac{MO^2+MB^2-OB^2}{2MO\cdot MB}=\frac{\frac{9}{4}a^2+\frac{11}{4}a^2-a^2}{2\cdot \frac{3}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{11}}{2}}=\frac{4a^2\cdot 2}{3\sqrt{11}\cdot a^2}=\frac{8\sqrt{11}}{33}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{11}}{33}$

14. Анна Малкова

Решите неравенство: $\sqrt{\frac{\sqrt{x^2-6x+5}}{x-7}}\cdot (log_9(x-1)^2-2)\geqslant 0$ .

Решение:

Пусть $P(x)=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2-6x+5}}{x-7}}$ (1-ый множитель)

1 случай:

$x^2-6x+5=0$ ;

$x=1$ или $x=5$ .

Тогда $P(x)=0$ .

Если $x=1$ , то $log_9(x-1)^2$ не существует,

$x=1$ не является решением.

Если $x=5$ , то $0\cdot (log_9 16-1)=0$ , неравенство выполняется.

2 случай.

$P(x)>0$ , это значит что

$\frac{\sqrt{x^2-6x+5}}{x-7}>0$ ;

$\left\{\begin{matrix}(x-1)(x-5)>0 \\x-7>0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x>7$ .

Тогда $log_9(x-1)^2-2\geqslant 0$ ;

$log_9(x-1)^2\geqslant log_9 81$ ;

$(x-1)^2-81\geqslant 0$ ;

$(x-1-9)(x-1+9)\geqslant 0$ ;

С учетом условия $x>7$ получим

$\left\{\begin{matrix}(x-10)(x+8)\geqslant 0 \\x>7\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x\geqslant 10$ .

Объединим случаи и запишем ответ.

Ответ: $x\in$ {5} $\cup [10;+\infty)$

15. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение:

$S=300$ тысяч рублей – сумма кредита.

Будем вести расчёты в тысячах рублей.

$n=31$ месяц

$k=1,02$ – коэффициент, который показывает, во сколько раз увеличился долг после начисления процентов.

$S_{20}=100$ тыс. руб. (долг 15 числа двадцатого месяца)

Составим схему погашения кредита

В верхней строке – сумма долга после очередной выплаты,

Во второй строке – сумма долга после начисления процентов

Мы знаем, что после двадцатой выплаты долг равен 100 тыс. руб.

$S-20x=100$ ; $x=10$ тыс. руб.

Запишем выплат:

1 выплата $Sk-(S-x)$

2 выплата $(S-x)k-(S-2x)$

3 выплата $(S-2x)k-(S-3x)$
⋮
20 выплата $(S-19x)k-(S-20x)$

21 выплата $(S-20x)k$

Сумма выплат:

$B=k(21S-x(1+2+3+...+20))-(20S-x(1+2+3+...+20))$

Найдем сумму арифметической прогрессии по формуле:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

$1+2+3+...+20=\frac{1+20}{2}\cdot 20=210$ , тогда

$B=k(21S-210x)-(20S-210x)=1,02\cdot 21\cdot 200-10(2\cdot 300-210)=$

$=204\cdot 21-10\cdot 390=4284-3900=384$ тыс. руб.

Ответ: 384 тысячи рублей

16. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ . Окружность ω радиуса 2, центр $O$ которой лежит на диагонали $BD$ , касается отрезков $BC$ , $CD$ и $AD$ в точках $M$ , $N$ , $K$ соответственно. Известно, что $BM=3$ , а четырехугольник $OBAK$ вписан в окружность.

а) Докажите, что $CO\parallel AB$
б) Найдите площадь трапеции $ABCD$

Решение:

a) Доказать: $CO\parallel AB$

$\angle ABD=90^{\circ}=\angle AKO$ , т.к. $KOBA$ - вписан в окружность.

$\angle BDA=\angle DBC$ , накрест лежащие.

$\angle CDB=\angle BDA$ , т.к. $DO$ - биссектриса $\angle D$ $\Rightarrow \triangle CBD$ п/б;

$CO$ - биссектриса, т.к. окружность вписана в $\angle BCD$ ,

тогда $CO$ - высота, $CO\perp BD$ , также $AB\perp BD$ , $CO\parallel AB$ .

б) $S_{ABCD}=$ ?

$BM=3=KD$ , т.к. $\triangle BMO=\triangle DKO$ по катету и острому углу;

$O$ - середина $BD$ ;

$BD=2BO=2\cdot \sqrt{3^2+2^2}=2\sqrt{13}$ ;

$\triangle ABD\sim \triangle OKD$ по 2 углам,

$\frac{AB}{OK}=\frac{2\sqrt{13}}{3}$ ; $OK=2$

$AB=\frac{4\sqrt{13}}{3}$ ;

$S_{\triangle ABD}=\frac{4\sqrt{13}}{3}\cdot \sqrt{13}=\frac{13\cdot 4}{3}$

Найдем $S_{\triangle BCD}$

$\triangle OBM\sim \triangle CBO$ по 2 углам,

$\frac{OM}{CO}=\frac{BM}{BO}$ ; $CO=\frac{{OM}\cdot {BO}}{BM}=\frac{2\cdot \sqrt{13}}{3}$ ;

$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CO=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{13} \cdot \frac{2\sqrt{13}}{3}=\frac{2}{3}\cdot 13$ .

$S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=13(\frac{4}{3}+\frac{2}{3})=26$ .

Ответ: 26

17. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^3+ax^2+13x-6=0$ имеет единственное решение?

Решение:

$x^3+ax^2+13x-6=0$ ;

$ax^2=-x^3-13x+6$ .

Пусть $b=-a$ ;

$bx^2=x^3+13x-6$ .

Если $x=0$ , то уравнение не имеет решений (получаем: $0=6$ ). Значит, $x\neq0$ , можно разделить обе части уравнения на $x^2$ .

Рассмотрим функцию $b(x)=x+\frac{13}{x}-\frac{6}{x^2}$

Она не является ни четной, ни нечетной (общего вида),

если $x \rightarrow 0$

$b(x)\rightarrow \infty$

$x=0$ - вертикальная асимптота,

если $x\rightarrow \infty$ , $b(x)\sim x$ .

Найдем производную функции $b(x)=\frac{x^3+13x-6}{x^2}$

$b$

$=\frac{3x^4+13x^2-2x^4-26x^2+12x}{x^4}=$

$=\frac{x^4-13x^2+12x}{x^4}=\frac{x^3-13x+12}{x^3}$

$\frac{x^3-13x+12}{x^3}=0$ ; разложим числитель на множители.

$x^3-1-13x+13=0$

$x^3-1-13(x-1)=0$ ;

$(x-1)(x^2+x+1)-13(x-1)=0$ ;

$(x-1)(x^2+x-12)=0$

( $x^2+x-12=0$ ,

$D=1+48=49$ ,

$x=\frac{-1\pm 7}{2}$ ; $x_1=3$ , $x_2=-4$ .)

$(x-1)(x+4)(x-3)=0$

Производная функции равна нулю при $x=1$ , $x=-4$ , $x=3$ .

Найдем знаки производной.

Точки максимума: $x=-4$ и $x=1$ ,

Точка минимума: $x=3$ .

Найдем значения функции $y=b(x)$ в точках максимума и минимума.

$y(-4)=-4-\frac{13}{4}-\frac{6}{16}=-(4+\frac{13}{4}+\frac{6}{16})=-(7+\frac{5}{8})=-7\frac{5}{8}=-7,625$ ;

$y(1)=1+13-6=8$ ;

$y(3)=3+\frac{13}{3}-\frac{6}{9}=3+\frac{13}{3}-\frac{2}{3}=3+\frac{11}{3}=3+3+\frac{2}{3}=6\frac{2}{3}=\frac{20}{3}$ .

Построим эскиз графика функции $y=b(x)$

Уравнение имеет единственное решение, если прямая $y=b$ проходит выше точки А и ниже точки В или выше точки С.

$\left[\begin{array}{ccc}-7,625<b<\frac{20}{3} \\b>8\end{array}\right.$

$a=-b$

$\left[\begin{array}{ccc}-\frac{20}{3}<a<7,625 \\a<-8 \end{array}\right.$

Ответ: $(-\infty ;-8)\cup (-\frac{20}{3}; 7,625)$

18. Последовательность $a_1, a_2, a_3, ...a_n, ...$ состоит из натуральных чисел, причём $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ при всех натуральных $n$ .

a) Может ли выполняться равенство $5a_5=9a_4$ ?

б) Может ли выполняться равенство $5a_5=7a_4$ ?

в) При каком наименьшем натуральном $n$ может выполняться равенство

$3n\cdot a_{n+1}=(n^2-1)\cdot a_n$

Решение:

Последовательность натуральных чисел задана формулой:

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$

Каждый следующий член последовательности равен сумме двух предыдущих членов последовательности.
Выразим члены третий, четвертый и следующие члены последовательности через $a_1$ и $a_2$ .

$a_3=a_2+a_1$ ;

$a_4=a_3+a_2=a_2+a_1+a_2=2a_2+a_1$ ;

$a_5=a_4+a_3=2a_2+a_1+a_2+a_1=3a_2+2a_1$ ;

$a_6=a_5+a_4=3a_2+2a_1+2a_2+a_1=5a_2+3a_1$ ;

$a_7=a_6+a_5=5a_2+3a_1+3a_2+2a_1=8a_2+5a_1$ ;

а) Проверим, может ли выполняться равенство $5a_5=9a_4$ .

$5(3a_2+2a_1)=9(2a_2+a_1)$

$15a_2+10a_1=18a_2+9a_1$

$a_1=3a_2$

Пусть $a_2=1$ , тогда $a_1=3$ . Получим последовательность $(a_n)$ :

$3; 1; 4; 5; 9; 14; 23;...$

В ней $a_5=9$ ; $a_4=5$ ; $\Rightarrow5a_5=9a_4$ .

Ответ: Да, может. Мы привели пример:

$3; 1; 4; 5; 9; 14; 23;...$

б) Проверим, может ли выполняться равенство $5a_5=7a_4$ .

$5(3a_2+2a_1)=7(2a_2+a_1)$

$15a_2+10a_1=14a_2+7a_1$

$a_2+3a_1=0$ – пришли к противоречию, т.к. $a_1$ и $a_2$ – натуральные числа.

Ответ: нет, не может.

в) При каком наименьшем натуральном $n$ может выполняться равенство

$3n\cdot a_{n+1}=(n^2-1)\cdot a_n$ ?

Решаем методом перебора. Начнем с наименьшего возможного $n=1$ .
1) Пусть $n=1$ , тогда

$3\cdot 1\cdot a_2=(1^2-1)\cdot a_1$ ; $3a_2=0$ противоречие, так как $a_2\in N$ .

2) n=2

$3\cdot 2\cdot a_3=(2^2-1)\cdot a_2$ ;

$2a_3=3a_2$ ;

$2(a_2+a_1 )=a_2$ ;

$a_2+2a_1=0$

Противоречие, так как $a_1\in N$ ; $a_2\in N$ .

3) $n=3$

$3\cdot 3\cdot a_4=(3^2-1)\cdot a_3$

$9a_4=8a_3$

$9(2a_2+a_1)=8(a_2+a_1)$

$18a_2+9a_1=8a_2+8a_1$

$10a_2+a_1=0$ – противоречие, так как $a_1\in N$ ; $a_2\in N$ .

4) $n=4$

$3\cdot 4\cdot a_5=(4^2-1)\cdot a_4$

$12a_5=15a_4$

$12(3a_2+2a_1 )=15(2a_2+a_1)$

$36a_2+24a_1=30a_2+15a_1$

$6a_2+9a_1=0$ , противоречие, так как $a_1\in N$ ; $a_2\in N$ .

5) $n=5$

$3\cdot 5\cdot a_6=(5^2-1)\cdot a_5$

$15a_6=24a_5$

$15(5a_2+3a_1)=24(3a_2+2a_1)$

$75a_2+45a_1=72a_2+48a_1$

$3a_2=3a_1$ ;

$a_2=a_1$ .

Пусть $a_2=a_1=1$ . Получим последовательность:

$1;1;2;3;5;8;13;21;34;...$ - это последовательность Фибоначчи.

$15\cdot 8=24\cdot 5=120$

Ответ: $n=5$

При составлении вариантов использовались задачи :

https://ege.sdamgia.ru/

https://ege.sdamgia.ru/inoexam

Задачи олимпиад: ОММО, Физтех,

А также авторские задачи Анны Малковой

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «ЕГЭ-2023 Вариант 8, решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 03.09.2023

ЕГЭ-2023 Вариант 8, решения

Это полезно