На доске написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Решение:
Пункты (а) и (б) решаются вполне стандартно:
Пусть в первой группе \(x\) чисел, их сумма равна \(A\).
Во второй группе \(y\) чисел, сумма \(B\).
В третьей группе \(z\) чисел, сумма \(C\).
После приписывания цифр к числам 1 и 2 групп получим, что вместо числа \(P\) из первой группы будет число \(10p+6.\)
Сумма x чисел такого вида будет равна \(10px+6x=10A+6X.\)
Во второй группе сумма станет равна \(10B+9y.\)
Общая сумма:
\(10A+10B+6x+9y+C.\)
а) Пусть
\(10A+10B+6x+9y+C = 9(A+B+C);\)
\(A+B +6x+9y=8C.\)
Возьмём \(x = y = 1.\) Получим:
\(A+B+15 = 8C.\)
Пусть \(C = 3\), тогда \(A+B = 9.\)
Возьмём \(A = 2, \; B = 7.\)
Пусть в каждой группе по 1 числу, в первой число 2, во второй 7, в третьей 3, их сумма равна 12. После всех преобразований сумма чисел в группах \(26+79+3 =108 = 12 \cdot 9;\) да, сумма могла увеличиться в 9 раз.
б) Предположим, что сумма увеличилась в 19 раз;
\(10A +10B+6x+9y+C = 19(A+B+C);\)
\(6x+9y=9A+9B+18C;\)
\(2x+3y=3A+3B+6C.\)
По условию, \(x\) и \(y\) – количество чисел в 1 и 2 группах
\(x \geq 1, \, y \geq 1.\)
\(A, B\) и \(C\) – сумма чисел в группах, \(A \geq x, \, B \geq y.\)
Тогда \(3A+3B \geq 3x+3y > 2x+3y;\)
\(3A+3B+6C > 3x+3y.\)
предположение было неверно, сумма не могла увеличиться в 19 раз.
А вот пункт (в) не поддается обычным способам работы с нестандартными задачами. Да, решить его можно. Но в нем как будто нарочно собрали все сложности, встречающиеся в задаче 19. Это работа с неравенствами, неочевидные рассуждения о том, сколько брать чисел в какой группе, сравнение с суммой арифметической прогрессии, нахождение наибольшего члена последовательности... и даже исследование на максимум функции, значение которой при натуральных значениях аргумента такие же, как члены последовательности. Слишком много для одной задачи!
Решение:
Пусть сумма чисел увеличилась в \(m\) раз.
Получим:
\(10A+10B+6x+9y+C = m (A+B+C);\)
\(\displaystyle m = \frac{10A+10B+6x+9y+C}{A+B+C}.\)
Оценим \(m\). Перед нами, как мы видим, уравнение с 6 неизвестными, из которых \(m\) к тому же не обязано быть целым.
В данном случае оценка \(m\) – трудная задача даже для профессиональных преподавателей-математиков, не только для абитуриентов. Ведь оценки для \(A, \; B, \; C, \; x, \; y\) не очевидны. Мы знаем только, что числа различны и что в каждой группе должно быть хотя бы одно число. Например, \(C \geq 1.\)
1) Выделим в выражении для \(m\) целую часть.
\(\displaystyle m = \frac{10A+10B+6x+9y+C}{A+B+C} = \frac{10A+10B+10C+6x+9y-9C}{A+B+C} = 10+ \frac{6x+9y-9c}{A+B+C}.\)
Заметим, что чем больше \(С\), тем меньше будет \(m\).
Так как \(C \geq 1,\)
\(\displaystyle m \leq 10 + \frac{6x+9y-9}{A+B+C}.\)
2) Разберёмся с \(x\) и \(y\), где \(x\) – количество чисел в 1 группе, \(y\) – во второй.
В какой же из групп – первой или второй – количество чисел должно быть больше, если мы хотим получить большее значения выражения \(6x+9y\)?
Конечно, во второй, так как y умножается на 9, а \(x\) – только на 6. Значит, \(m\) не получится сделать больше, чем в случае, когда все числа, кроме двух, находятся во 2 группе, а в 1-й и 3-ей группах остается по одному числу.
Пусть \(x+y+z=n,\) то есть всего на доске \(n\) чисел. Тогда
\(\displaystyle m \leq 10 + \frac{6+9(n-2)-9}{A+B+C}.\)
3) Заметим, что \(A+B+C\) – сумма чисел во всех группах, то есть сумма всех \(n\) чисел.
Так как числа различны, их сумма не меньше, чем \(1+2+3+ \dots +n,\) то есть не меньше суммы арифметической прогрессии с \(a_1 = 1\) и \(d = 1.\)
\(A+B+C \geq 1+2+3 \dots +n;\)
\(\displaystyle A+B+C \geq \frac{1+n}{2} \cdot n\) (применили формулу суммы арифметической прогрессии);
Тогда \(\displaystyle \frac{1}{A+B+C} \leq \frac{2}{n(n+1)};\)
\(\displaystyle m \leq 10+ \frac{(6+9(n-2)-9)\cdot 2}{n(n+1)};\)
\(\displaystyle m \leq 10 + 2 \cdot \frac{9n - 21}{n(n+1)} = 1+ 6 \cdot \frac{3n-7}{n(n+1)}.\)
Наконец-то у нас неравенство, в котором всего 2 переменных! Но и это еще не всё.
4) Найдём наименьшее значение выражения \(\displaystyle \frac{3n-7}{n(n+1)} = Q(n).\)
Если бы \(Q(n)\) была функцией, мы могли бы поискать её наименьшее значение с помощью производной. Однако, чтобы функция имела производную (была дифференцируема), она должна быть непрерывной.
\(Q(n)\) – это последовательность, то есть функция натурального аргумента; она дискретна, то есть принимает некоторые значения при \(n = 1, 2 ,3 \dots\) и не определена при \(n\notin N.\)
Что же, рассмотрим функцию \(q(t),\) совпадающую с \(Q(n)\) при натуральных \(t\), и найдём её производную.
\(\displaystyle q(t) = \frac{3t-7}{t(t+1)} = \frac{3t-7}{t^2+t}; \, \, \left (\frac{u}{v} \right )'= \frac{u'v - v'u}{v^2};\)
\(\displaystyle q'(t) = \frac{3(t^2+t)-(2t+1)(3t-7)}{t(t+1)};\)
\(q'(t) = 0; \, \, \, 3t^2+3t-6t^2-3t+14t+7 = 0;\)
\(-3t^2+14t+7=0;\)
\(-(3t^2-14t-7) = 0;\)
\(D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 196+84=280;\)
\(16 \leq \sqrt{D} \leq 17.\)
При \(\displaystyle t_1 = \frac{14 - \sqrt{D}}{6}\) производная меняет знак с "-" на "+";
\(\displaystyle t_1 = \frac{14 - \sqrt{D}}{6}\) – точка минимума функции \(q(t)\). При \(\displaystyle t_2 = \frac{14+\sqrt{D}}{6} \; q'(t)\) меняет знак с "+" на "-", \(t_2\) – точка максимума функции \(q(t)\).
\(\displaystyle t_2 = \frac{14+\sqrt{280}}{6} = \frac{7+\sqrt{70}}{3};\)
\(\displaystyle \frac{7+ \sqrt{64}}{3}< t_2 < \frac{7+\sqrt{81}}{3};\)
\(\displaystyle \frac{7+8}{3} < t_2 < \frac{7+9}{3};\)
\(\displaystyle 5 < t_2 < 5 \frac{1}{3};\)
Сравним \(q(5)\) и \(q(6).\)
\(\displaystyle q(5) = \frac{3 \cdot 5-7}{5 \cdot 6} = \frac{15-7}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15};\)
\(\displaystyle q(6) = \frac{3 \cdot 6 - 7}{6 \cdot 7} = \frac{18 - 7}{6 \cdot 7} = \frac{11}{42} < q(5).\)
Следовательно, наибольший член последовательности \(Q(n)\) – это \(\displaystyle Q(5) = \frac{4}{15}.\)
Получим, что
\(\displaystyle m \leq 10 + 6 \cdot \frac{4}{15};\)
\(\displaystyle m \leq 10 + \frac{8}{5}; \, m \leq 11,6.\)
Это оценка.
Приведём пример для \(n = 5, \, m = 11,6.\)
На доске 5 чисел. Возьмём числа 1, 2, 3, 4, 5.
В первой группе: число 2.
В третьей число 1.
Во второй: 3, 4, 5.
После преобразований получим числа: 26, 39, 49, 59, 1. Их сумма
\(26+39+49+59+1 = 174 = 11,6 \cdot (1+2+3+4+5).\)
Ответ: 11,6
