На доске написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Решение:
Пункты (а) и (б) решаются вполне стандартно:
Пусть в первой группе x чисел, их сумма равна A,
Во второй группе y чисел, сумма B
В третьей группе z чисел, сумма C.
После приписывания цифр к числам 1 и 2 групп получим, что вместо числа P из первой группы будет число \(10p+6.\)
Сумма x чисел такого вида будет равна \(10px+6x=10A+6X.\)
Во второй группе сумма станет равна \(10B+9y.\)
Общая сумма:
\(10A+10B+6x+9y+C.\)
а) Пусть
\(10A+10B+6x+9y+C = 9(A+B+C)\)
\(A+B +6x+9y=8C\)
Возьмём \(x = y = 1.\) Получим:
\(A+B+15 = 8C.\)
Пусть C = 3, тогда A+B = 9.
Возьмём A = 2, B = 7.
Пусть в каждой группе по 1 числу, в первой число 2, во второй 7, в третьей 3, их сумма равна 12. После всех преобразований сумма чисел в группах \(26+79+3 =108 = 12 \cdot 9;\) да, сумма могла увеличиться в 9 раз.
б) Предположим, что сумма увеличилась в 19 раз;
\(10A +10B+6x+9y+C = 19(A+B+C)\)
\(6x+9y=9A+9B+18C,\)
\(2x+3y=3A+3B+6C\)
По условию, x и y – количество чисел в 1 и 2 группах
\(x \geq 1, \, y \geq 1.\)
A, B и C – сумма чисел в группах, \(A \geq x, \, B \geq y.\)
Тогда \(3A+3B \geq 3x+3y \textgreater 2x+3y;\)
\(3A+3B+6C \textgreater 3x+3y,\)
предположение было неверно, сумма не могла увеличиться в 19 раз.
А вот пункт (в) не поддается обычным способам работы с нестандартными задачами. Да, решить его можно. Но в нем как будто нарочно собрали все сложности, встречающиеся в задаче 19. Это работа с неравенствами, неочевидные рассуждения о том, сколько брать чисел в какой группе, сравнение с суммой арифметической прогрессии, нахождение наибольшего члена последовательности... и даже исследование на максимум функции, значение которой при натуральных значениях аргумента такие же, как члены последовательности. Слишком много для одной задачи!
Решение:
Пусть сумма чисел увеличилась в m раз.
Получим:
\(10A+10B+6x+9y+C = m (A+B+C)\)
\(\displaystyle m = \frac{10A+10B+6x+9y+C}{A+B+C}\)
Оценим m. Перед нами, как мы видим, уравнение с 6 неизвестными, из которых m к тому же не обязано быть целым.
В данном случае оценка m – трудная задача даже для профессиональных преподавателей-математиков, не только для абитуриентов. Ведь оценки для A, B, C, x, y не очевидны. Мы знаем только, что числа различны и что в каждой группе должно быть хотя бы одно число. Например, \(C \geq 1.\)
1) Выделим в выражении для m целую часть.
\(\displaystyle m = \frac{10A+10B+6x+9y+C}{A+B+C} = \frac{10A+10B+10C+6x+9y-9C}{A+B+C} = 10+ \frac{6x+9y-9c}{A+B+C}\)
Заметим, что чем больше C, тем меньше будет m.
Так как \(C \geq 1,\)
\(\displaystyle m \leq 10 + \frac{6x+9y-9}{A+B+C}\)
2) Разберёмся с x и y, где x – количество чисел в 1 группе, y – во второй.
В какой же из групп – первой или второй – количество чисел должно быть больше, если мы хотим получить большее значения выражения \(6x+9y\)?
Конечно, во второй, так как y умножается на 9, а x – только на 6. Значит, m не получится сделать больше, чем в случае, когда все числа, кроме двух, находятся во 2 группе, а в 1-й и 3-ей группах остается по одному числу.
Пусть \(x+y+z=n,\) то есть всего на доске n чисел. Тогда
\(\displaystyle m \leq 10 + \frac{6+9(n-2)-9}{A+B+C}\)
3) Заметим, что \(A+B+C\) – сумма чисел во всех группах, то есть сумма всех n чисел.
Так как числа различны, их сумма не меньше, чем \(1+2+3+ \dots +n,\) то есть не меньше суммы арифметической прогрессии с \(a_1 = 1\) и d = 1.
\(A+B+C \geq 1+2+3 \dots +n,\)
\(\displaystyle A+B+C \geq \frac{1+n}{2} \cdot n\) (применили формулу суммы арифметической прогрессии),
Тогда \(\displaystyle \frac{1}{A+B+C} \leq \frac{2}{n(n+1)};\)
\(\displaystyle m \leq 10+ \frac{(6+9(n-2)-9)\cdot 2}{n(n+1)}\)
\(\displaystyle m \leq 10 + 2 \cdot \frac{9n - 21}{n(n+1)} = 1+ 6 \cdot \frac{3n-7}{n(n+1)}\)
Наконец-то у нас неравенство, в котором всего 2 переменных! Но и это еще не всё.
4) Найдём наименьшее значение выражения \(\displaystyle \frac{3n-7}{n(n+1)} = Q(n).\)
Если бы \(Q(n)\) была функцией, мы могли бы поискать её наименьшее значение с помощью производной. Однако, чтобы функция имела производную (была дифференцируема), она должна быть непрерывной.
\(Q(n)\) – это последовательность, то есть функция натурального аргумента; она дискретна, то есть принимает некоторые значения при \(n = 1, 2 ,3 \dots\) и не определена при 
Что же, рассмотрим функцию \(q(t),\) совпадающую с \(Q(n)\) при натуральных t, и найдём её производную.
\(\displaystyle q(t) = \frac{3t-7}{t(t+1)} = \frac{3t-7}{t^2+t}; \, \, \left (\frac{u}{v} \right )'= \frac{u'v - v'u}{v^2}\)
\(\displaystyle q'(t) = \frac{3(t^2+t)-(2t+1)(3t-7)}{t(t+1)}\)
\(q'(t) = 0; \, \, \, 3t^2+3t-6t^2-3t+14t+7 = 0\)
\(-3t^2+14t+7=0\)
\(-(3t^2-14t-7) = 0;\)
\(D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 196+84=280;\)
\(16 \leq \sqrt{D} \leq 17\)
При \(\displaystyle t_1 = \frac{14 - \sqrt{D}}{6}\) производная меняет знак с "-" на "+";
\(\displaystyle t_1 = \frac{14 - \sqrt{D}}{6}\) – точка минимума функции \(q(t)\). При \(\displaystyle t_2 = \frac{14+\sqrt{D}}{6}\) \(q'(t)\) меняет знак с "+" на "-", \(t_2\) – точка максимума функции \(q(t)\).
\(\displaystyle t_2 = \frac{14+\sqrt{280}}{6} = \frac{7+\sqrt{70}}{3}\)
\(\displaystyle \frac{7+ \sqrt{64}}{3} \textless t_2 \textless \frac{7+\sqrt{81}}{3}\)
\(\displaystyle \frac{7+8}{3} \textless t_2 \textless \frac{7+9}{3}\)
\(\displaystyle 5 \textless t_2 \textless 5 \frac{1}{3}\)
Сравним \(q(5)\) и \(q(6).\)
\(\displaystyle q(5) = \frac{3 \cdot 5-7}{5 \cdot 6} = \frac{15-7}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}\)
\(\displaystyle q(6) = \frac{3 \cdot 6 - 7}{6 \cdot 7} = \frac{18 - 7}{6 \cdot 7} = \frac{11}{42} \textless q(5)\)
Следовательно, наибольший член последовательности \(Q(n)\) – это \(\displaystyle Q(5) = \frac{4}{15}.\)
Получим, что
\(\displaystyle m \leq 10 + 6 \cdot \frac{4}{15}\)
\(\displaystyle m \leq 10 + \frac{8}{5}; \, m \leq 11,6\)
Это оценка.
Приведём пример для \(n = 5, \, m = 11,6.\)
На доске 5 чисел. Возьмём числа 1, 2, 3, 4, 5.
В первой группе: число 2.
В третьей число 1.
Во второй: 3, 4, 5
После преобразований получим числа: 26, 39, 49, 59, 1. Их сумма
\(26+39+49+59+1 = 174 = 11,6 \cdot (1+2+3+4+5)\)
Ответ: 11,6
