На доске написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Решение:
Пункты (а) и (б) решаются вполне стандартно:
Пусть в первой группе x чисел, их сумма равна A,
Во второй группе y чисел, сумма B
В третьей группе z чисел, сумма C.
После приписывания цифр к числам 1 и 2 групп получим, что вместо числа P из первой группы будет число
Сумма x чисел такого вида будет равна
Во второй группе сумма станет равна
Общая сумма:
а) Пусть
Возьмём Получим:
Пусть C = 3, тогда A+B = 9.
Возьмём A = 2, B = 7.
Пусть в каждой группе по 1 числу, в первой число 2, во второй 7, в третьей 3, их сумма равна 12. После всех преобразований сумма чисел в группах да, сумма могла увеличиться в 9 раз.
б) Предположим, что сумма увеличилась в 19 раз;
По условию, x и y – количество чисел в 1 и 2 группах
A, B и C – сумма чисел в группах,
Тогда
предположение было неверно, сумма не могла увеличиться в 19 раз.
А вот пункт (в) не поддается обычным способам работы с нестандартными задачами. Да, решить его можно. Но в нем как будто нарочно собрали все сложности, встречающиеся в задаче 19. Это работа с неравенствами, неочевидные рассуждения о том, сколько брать чисел в какой группе, сравнение с суммой арифметической прогрессии, нахождение наибольшего члена последовательности... и даже исследование на максимум функции, значение которой при натуральных значениях аргумента такие же, как члены последовательности. Слишком много для одной задачи!
Решение:
Пусть сумма чисел увеличилась в m раз.
Получим:
Оценим m. Перед нами, как мы видим, уравнение с 6 неизвестными, из которых m к тому же не обязано быть целым.
В данном случае оценка m – трудная задача даже для профессиональных преподавателей-математиков, не только для абитуриентов. Ведь оценки для A, B, C, x, y не очевидны. Мы знаем только, что числа различны и что в каждой группе должно быть хотя бы одно число. Например,
1) Выделим в выражении для m целую часть.
Заметим, что чем больше C, тем меньше будет m.
Так как
2) Разберёмся с x и y, где x – количество чисел в 1 группе, y – во второй.
В какой же из групп – первой или второй – количество чисел должно быть больше, если мы хотим получить большее значения выражения ?
Конечно, во второй, так как y умножается на 9, а x – только на 6. Значит, m не получится сделать больше, чем в случае, когда все числа, кроме двух, находятся во 2 группе, а в 1-й и 3-ей группах остается по одному числу.
Пусть то есть всего на доске n чисел. Тогда
3) Заметим, что – сумма чисел во всех группах, то есть сумма всех n чисел.
Так как числа различны, их сумма не меньше, чем то есть не меньше суммы арифметической прогрессии с
и d = 1.
(применили формулу суммы арифметической прогрессии),
Тогда
Наконец-то у нас неравенство, в котором всего 2 переменных! Но и это еще не всё.
4) Найдём наименьшее значение выражения
Если бы была функцией, мы могли бы поискать её наименьшее значение с помощью производной. Однако, чтобы функция имела производную (была дифференцируема), она должна быть непрерывной.
– это последовательность, то есть функция натурального аргумента; она дискретна, то есть принимает некоторые значения при
и не определена при
Что же, рассмотрим функцию совпадающую с
при натуральных t, и найдём её производную.
При производная меняет знак с "-" на "+";
– точка минимума функции
. При
меняет знак с "+" на "-",
– точка максимума функции
.
Сравним и
Следовательно, наибольший член последовательности – это
Получим, что
Это оценка.
Приведём пример для
На доске 5 чисел. Возьмём числа 1, 2, 3, 4, 5.
В первой группе: число 2.
В третьей число 1.
Во второй: 3, 4, 5
После преобразований получим числа: 26, 39, 49, 59, 1. Их сумма
Ответ: 11,6
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Санкт-Петербург, № 19» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 09.03.2023