previous arrow
next arrow
Slider

Санкт-Петербург, № 19

На доске написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решение:

Пункты (а) и (б) решаются вполне стандартно:

Пусть в первой группе x чисел, их сумма равна A,

Во второй группе y чисел, сумма B

В третьей группе z чисел, сумма C.

После приписывания цифр к числам 1 и 2 групп получим, что вместо числа P из первой группы будет число 10p+6.

Сумма x чисел такого вида будет равна 10px+6x=10A+6X.

Во второй группе сумма станет равна 10B+9y.

Общая сумма:

10A+10B+6x+9y+C.

а) Пусть

10A+10B+6x+9y+C = 9(A+B+C)

A+B +6x+9y=8C

Возьмём x = y = 1. Получим:

A+B+15 = 8C.

Пусть C = 3, тогда A+B = 9.

Возьмём A = 2, B = 7.

Пусть в каждой группе по 1 числу, в первой число 2, во второй 7, в третьей 3, их сумма равна 12. После всех преобразований сумма чисел в группах 26+79+3 =108 = 12 \cdot 9; да, сумма могла увеличиться в 9 раз.

б) Предположим, что сумма увеличилась в 19 раз;

10A +10B+6x+9y+C = 19(A+B+C)

6x+9y=9A+9B+18C,

2x+3y=3A+3B+6C

По условию, x и y – количество чисел в 1 и 2 группах

x \geq 1, \, y \geq 1.

A, B и C – сумма чисел в группах, A \geq x, \, B \geq y.

Тогда 3A+3B \geq 3x+3y \textgreater 2x+3y;

3A+3B+6C \textgreater 3x+3y,

предположение было неверно, сумма не могла увеличиться в 19 раз.

А вот пункт (в) не поддается обычным способам работы с нестандартными задачами. Да, решить его можно. Но в нем как будто нарочно собрали все сложности, встречающиеся в задаче 19. Это работа с неравенствами, неочевидные рассуждения о том, сколько брать чисел в какой группе, сравнение с суммой арифметической прогрессии, нахождение наибольшего члена последовательности... и даже исследование на максимум функции, значение которой при натуральных значениях аргумента такие же, как члены последовательности. Слишком много для одной задачи!

Решение:

Пусть сумма чисел увеличилась в m раз.

Получим:

10A+10B+6x+9y+C = m (A+B+C)

\displaystyle m = \frac{10A+10B+6x+9y+C}{A+B+C}

Оценим m. Перед нами, как мы видим, уравнение с 6 неизвестными, из которых m к тому же не обязано быть целым.

В данном случае оценка m – трудная задача даже для профессиональных преподавателей-математиков, не только для абитуриентов. Ведь оценки для A, B, C, x, y не очевидны. Мы знаем только, что числа различны и что в каждой группе должно быть хотя бы одно число. Например, C \geq 1.

1) Выделим в выражении для m целую часть.

\displaystyle m = \frac{10A+10B+6x+9y+C}{A+B+C} = \frac{10A+10B+10C+6x+9y-9C}{A+B+C} = 10+ \frac{6x+9y-9c}{A+B+C}

Заметим, что чем больше C, тем меньше будет m.

Так как C \geq 1,

\displaystyle m \leq 10 + \frac{6x+9y-9}{A+B+C}

2) Разберёмся с x и y, где x – количество чисел в 1 группе, y – во второй.

В какой же из групп – первой или второй – количество чисел должно быть больше, если мы хотим получить большее значения выражения 6x+9y?

Конечно, во второй, так как y умножается на 9, а x – только на 6. Значит, m не получится сделать больше, чем в случае, когда все числа, кроме двух, находятся во 2 группе, а в 1-й и 3-ей группах остается по одному числу.

Пусть x+y+z=n, то есть всего на доске n чисел. Тогда

\displaystyle m \leq 10 + \frac{6+9(n-2)-9}{A+B+C}

3) Заметим, что A+B+C – сумма чисел во всех группах, то есть сумма всех n чисел.

Так как числа различны, их сумма не меньше, чем 1+2+3+ \dots +n, то есть не меньше суммы арифметической прогрессии с a_1 = 1 и d = 1.

A+B+C \geq 1+2+3 \dots +n,

\displaystyle A+B+C \geq \frac{1+n}{2} \cdot n (применили формулу суммы арифметической прогрессии),

Тогда \displaystyle \frac{1}{A+B+C} \leq \frac{2}{n(n+1)};

\displaystyle m \leq 10+ \frac{(6+9(n-2)-9)\cdot 2}{n(n+1)}

\displaystyle m \leq 10 + 2 \cdot \frac{9n - 21}{n(n+1)} = 1+ 6 \cdot \frac{3n-7}{n(n+1)}

Наконец-то у нас неравенство, в котором всего 2 переменных! Но и это еще не всё.

4) Найдём наименьшее значение выражения \displaystyle \frac{3n-7}{n(n+1)} = Q(n).

Если бы Q(n) была функцией, мы могли бы поискать её наименьшее значение с помощью производной. Однако, чтобы функция имела производную (была дифференцируема), она должна быть непрерывной.

Q(n) – это последовательность, то есть функция натурального аргумента; она дискретна, то есть принимает некоторые значения при n = 1, 2 ,3 \dots и не определена при 

Что же, рассмотрим функцию q(t), совпадающую с Q(n) при натуральных t, и найдём её производную.

\displaystyle q(t) = \frac{3t-7}{t(t+1)} = \frac{3t-7}{t^2+t}; \, \, \left (\frac{u}{v}  \right )

\displaystyle q

q

-3t^2+14t+7=0

-(3t^2-14t-7) = 0;

D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 196+84=280;

16 \leq \sqrt{D} \leq 17

При \displaystyle t_1 = \frac{14 - \sqrt{D}}{6} производная меняет знак с "-" на "+";

\displaystyle t_1 = \frac{14 - \sqrt{D}}{6} – точка минимума функции q(t). При \displaystyle t_2 = \frac{14+\sqrt{D}}{6} q меняет знак с "+" на "-", t_2 – точка максимума функции q(t).

\displaystyle t_2 = \frac{14+\sqrt{280}}{6} = \frac{7+\sqrt{70}}{3}

\displaystyle \frac{7+ \sqrt{64}}{3} \textless t_2 \textless \frac{7+\sqrt{81}}{3}

\displaystyle \frac{7+8}{3} \textless t_2 \textless \frac{7+9}{3}

\displaystyle 5 \textless t_2 \textless 5 \frac{1}{3}

Сравним q(5) и q(6).

\displaystyle q(5) = \frac{3 \cdot 5-7}{5 \cdot 6} = \frac{15-7}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}

\displaystyle q(6) = \frac{3 \cdot 6 - 7}{6 \cdot 7} = \frac{18 - 7}{6 \cdot 7} = \frac{11}{42} \textless q(5)

Следовательно, наибольший член последовательности Q(n) – это \displaystyle Q(5) = \frac{4}{15}.

Получим, что

\displaystyle m \leq 10 + 6 \cdot \frac{4}{15}
\displaystyle m \leq 10 + \frac{8}{5}; \, m \leq 11,6

Это оценка.

Приведём пример для n = 5, \, m = 11,6.

На доске 5 чисел. Возьмём числа 1, 2, 3, 4, 5.

В первой группе: число 2.
В третьей число 1.
Во второй: 3, 4, 5

После преобразований получим числа: 26, 39, 49, 59, 1. Их сумма

26+39+49+59+1 = 174 = 11,6 \cdot (1+2+3+4+5)

Ответ: 11,6