Решение. Задание 13, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

а) Решите уравнение $\left(1-3tg^2x\right)\sqrt{7{\sin x}}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[-2\pi ; -\frac{\pi }{2}\right].$

Решение

а) $\left(1-3tg^2x\right)\sqrt{7{\sin x}}=0.$ Так как ${\sin x}$ стоит под корнем, то он неотрицателен, а наличие тангенса добавляет ограничение ${\cos x}\ne 0,$ поэтому уравнение равносильно системе $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}{\cos x}\neq 0, \\{\sin x}\geq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{\sin x}=0, \\1-3tg^2x=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin x}\geq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{\sin x}=0, \\tg^2x=\frac{1}{3} \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin x}\geq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{\sin x}=0, \\tgx=\frac{\sqrt{3}}{3}, \\tgx=-\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{array}\right. \end{array}\right.$

Ограничение ${\cos x}\neq 0$ уже можно убрать, так как синус и косинус не могут равняться нулю одновременно.

Изобразим тригонометрический круг и на нём отметим точки, соответствующие значениям $\displaystyle tgx=\pm \frac{\sqrt{3}}{3},$ ${\sin x}=0.$

С учётом неотрицательности ${\sin x}$ получаем следующие серии решений

$\displaystyle x=\pi n, \; n\in Z; \; x=\frac{\pi }{6}+2\pi k, \; k\in Z; \; x=\frac{5\pi }{6}+2\pi m, \; m\in Z.$

б) С помощью тригонометрического круга отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi ; -\frac{\pi }{2}\right].$ Видим, что отрезку принадлежат точки $-2\pi ;$ $-2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6};$ $-\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6};$ $-\pi .$