previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

а) Решите уравнение \left(1-3tg^2x\right)\sqrt{7{\sin x}}=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[-2\pi ; -\frac{\pi }{2}\right].

Решение

а) \left(1-3tg^2x\right)\sqrt{7{\sin x}}=0. Так как {\sin x} стоит под корнем, то он неотрицателен, а наличие тангенса добавляет ограничение {\cos x}\ne 0, поэтому уравнение равносильно системе \displaystyle \left\{ \begin{array}{c}{\cos x}\neq 0, \\{\sin x}\geq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{\sin x}=0, \\1-3tg^2x=0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin x}\geq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{\sin x}=0, \\tg^2x=\frac{1}{3} \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin x}\geq 0, \\\left[ \begin{array}{c}{\sin x}=0, \\tgx=\frac{\sqrt{3}}{3}, \\tgx=-\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{array}\right. \end{array}\right.

Ограничение {\cos x}\neq 0 уже можно убрать, так как синус и косинус не могут равняться нулю одновременно.

Изобразим тригонометрический круг и на нём отметим точки, соответствующие значениям \displaystyle tgx=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}, {\sin x}=0.

С учётом неотрицательности {\sin x} получаем следующие серии решений

\displaystyle x=\pi n, \; n\in Z; \; x=\frac{\pi }{6}+2\pi k, \; k\in Z; \; x=\frac{5\pi }{6}+2\pi m, \; m\in Z.

б) С помощью тригонометрического круга отберём корни, принадлежащие отрезку \left[-2\pi ; -\frac{\pi }{2}\right]. Видим, что отрезку принадлежат точки -2\pi ; -2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}; -\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}; -\pi .

Ответ:

а) x=\pi n, \; n\in Z; \displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi k, \; k\in Z; \displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi m, \; m\in Z;

б) -2\pi ; \displaystyle -\frac{11\pi }{6}; \displaystyle -\frac{7\pi }{6}; -\pi .