previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точки K и M — середины рёбер A_1B_1 и AC соответственно.

а) Докажите, что KM=KB.

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB_1, если AB = 8, AC = 6 и 1 AA_1=3.

Решение

а) Пусть M_1 — проекция точки M на верхнее основание, а K_1 — проекция точки K на нижнее основание призмы, тогда MM_1\parallel AA_1 и K_1K\parallel AA_1. Соединяя точки K, M_1, M, K_1 и K, получаем прямоугольник K_1K\parallel M_1M, в плоскости которого лежит прямая MK.

KB — гипотенуза прямоугольного треугольника KK_1B, а KM — гипотенуза прямоугольного треугольника KK_1M. Докажем, что эти треугольники равны.

\displaystyle K_1B=\frac{1}{2}AB по построению; K_1M — средняя линия \triangle ABC: K_1M\parallel BC и

\displaystyle K_1M=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB, следовательно, K_1B=K_1M, K_1K — общая, прямоугольные треугольники KK_1B и KK_1M равны, а значит, KM=KB, что и требовалось доказать.

б) Угол \varphi между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Точка K лежит в плоскости \left(ABB_1\right), найдём проекцию точки M на эту плоскость. В плоскости \left(ABC\right) проведём MH перпендикулярно AB.

\left. \begin{array}{c}MH\in \left(ABC\right) \\AA_1\bot \left(ABC\right) \end{array}\right\}\Rightarrow AA_1\bot MH,

\left. \begin{array}{c}MH\bot AA_1 \\MH\bot AB \end{array}\right\}\Rightarrow MH\bot \left(ABB_1\right) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

На плоском чертеже найдём такую точку H, что MH\bot AB.

Пусть CL — высота \triangle ABC, тогда MH\parallel CL и проходит через середину AC, значит, MH — средняя линия и \displaystyle MH=\frac{1}{2}CL. CL найдём из \triangle ABC по методу площадей \displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM=\frac{1}{2}AB\cdot CL. Треугольник BCM прямоугольный, так как в равнобедренном \triangle ABC медиана BM является высотой. По теореме Пифагора

BM=\sqrt{BC^2-MC^2}=\sqrt{64-9}=\sqrt{55}.

AC\cdot BM=AB\cdot CL, \displaystyle CL=\frac{6\cdot \sqrt{55}}{8}=\frac{3\sqrt{55}}{4}.

\displaystyle HM=\frac{1}{2}CL=\frac{3\sqrt{55}}{8}. HM — перпендикуляр, KH — проекция, \varphi =\angle MKH.

Угол \varphi найдём из прямоугольного \triangle MKH \displaystyle \left(\left. \begin{array}{c}MH\bot \left(ABB_1\right) \\KH\in \left(ABB_1\right) \end{array}\right\}\Rightarrow MH\bot KH\right).

\displaystyle HM=\frac{3\sqrt{55}}{8},

MK=KB=\sqrt{K_1K^2+K_1B^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5, тогда

\displaystyle {\sin \varphi }={\sin \angle }MKH=\frac{3\sqrt{55}}{8\cdot 5}=\frac{3\sqrt{55}}{40}, \displaystyle \varphi ={\arcsin \frac{3\sqrt{55}}{40}}.

Ответ:

б) \displaystyle {\arcsin \frac{3\sqrt{55}}{40}}.