Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с равными сторонами $AB$ и $BC.$ Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $AC$ соответственно.

а) Докажите, что $KM=KB.$

б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1,$ если $AB = 8,$ $AC = 6$ и $1$ $AA_1=3.$

Решение

а) Пусть $M_1$ — проекция точки M на верхнее основание, а $K_1$ — проекция точки K на нижнее основание призмы, тогда $MM_1\parallel AA_1$ и $K_1K\parallel AA_1.$ Соединяя точки $K,$ $M_1,$ $M,$ $K_1$ и $K,$ получаем прямоугольник $K_1K\parallel M_1M,$ в плоскости которого лежит прямая $MK.$

$KB$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $KK_1B,$ а $KM$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $KK_1M.$ Докажем, что эти треугольники равны.

$\displaystyle K_1B=\frac{1}{2}AB$ по построению; $K_1M$ — средняя линия $\triangle ABC$ : $K_1M\parallel BC$ и

$\displaystyle K_1M=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB,$ следовательно, $K_1B=K_1M,$ $K_1K$ — общая, прямоугольные треугольники $KK_1B$ и $KK_1M$ равны, а значит, $KM=KB,$ что и требовалось доказать.

б) Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Точка $K$ лежит в плоскости $\left(ABB_1\right),$ найдём проекцию точки $M$ на эту плоскость. В плоскости $\left(ABC\right)$ проведём $MH$ перпендикулярно $AB.$

$\left. \begin{array}{c}MH\in \left(ABC\right) \\AA_1\bot \left(ABC\right) \end{array}\right\}\Rightarrow AA_1\bot MH,$

$\left. \begin{array}{c}MH\bot AA_1 \\MH\bot AB \end{array}\right\}\Rightarrow MH\bot \left(ABB_1\right)$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

На плоском чертеже найдём такую точку $H,$ что $MH\bot AB.$

Пусть $CL$ — высота $\triangle ABC,$ тогда $MH\parallel CL$ и проходит через середину $AC,$ значит, $MH$ — средняя линия и $\displaystyle MH=\frac{1}{2}CL.$

$CL$ найдём из $\triangle ABC$ по методу площадей $\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BM=\frac{1}{2}AB\cdot CL.$

Треугольник $BCM$ прямоугольный, так как в равнобедренном $\triangle ABC$ медиана $BM$ является высотой.

По теореме Пифагора:

$BM=\sqrt{BC^2-MC^2}=\sqrt{64-9}=\sqrt{55}.$

$AC\cdot BM=AB\cdot CL,$ $\displaystyle CL=\frac{6\cdot \sqrt{55}}{8}=\frac{3\sqrt{55}}{4}.$

$\displaystyle HM=\frac{1}{2}CL=\frac{3\sqrt{55}}{8}.$ $HM$ — перпендикуляр, $KH$ — проекция, $\varphi =\angle MKH.$

Угол $\varphi$ найдём из прямоугольного $\triangle MKH$ $\displaystyle \left(\left. \begin{array}{c}MH\bot \left(ABB_1\right) \\KH\in \left(ABB_1\right) \end{array}\right\}\Rightarrow MH\bot KH\right).$

$\displaystyle HM=\frac{3\sqrt{55}}{8},$

$MK=KB=\sqrt{K_1K^2+K_1B^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$ тогда

$\displaystyle {\sin \varphi }={\sin \angle }MKH=\frac{3\sqrt{55}}{8\cdot 5}=\frac{3\sqrt{55}}{40},$ $\displaystyle \varphi ={\arcsin \frac{3\sqrt{55}}{40}}.$

Ответ:

б) $\displaystyle {\arcsin \frac{3\sqrt{55}}{40}}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Это полезно