Решение. Задание 15, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

Решите неравенство $\displaystyle \frac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\leq \frac{3}{2^x}.$

Решение

$\displaystyle \frac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\le \frac{3}{2^x}.$

Сделаем замену: $2^x=t, \; t\textgreater 0,$ тогда $2^{2x}=t^2$ и получаем неравенство $\displaystyle \frac{4t^2-36t+32}{8t-t^2}\leq \frac{3}{t}.$

Упростим числитель, вынося 4 за скобки и раскладывая квадратный трёхчлен на множители с использованием теоремы Виета:

$4t^2-36t+32=4\left(t^2-9t+8\right)=4\left(t-8\right)\left(t-1\right).$

$\displaystyle \frac{4\left(t-8\right)\left(t-1\right)}{t\left(8-t\right)}\leq \frac{3}{t} \Leftrightarrow \frac{-4\left(8-t\right)\left(t-1\right)}{t\left(8-t\right)}\leq \frac{3}{t} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\frac{4\left(t-1\right)}{t}+\frac{3}{t}\geq 0, \\t\neq 8 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\frac{4t-1}{t}\geq 0, \\t\neq 8. \end{array}\right.$

Решаем неравенство методом интервалов, учитывая, что $t\textgreater 0.$

Получаем $\left[ \begin{array}{c}\frac{1}{4}\le t\textless 8, \\t\textgreater 8. \end{array}\right.$ Возвращаемся к старой переменной $x$ $\left[ \begin{array}{c}\frac{1}{4}\leq 2^x\textless 8, \\2^x\textgreater 8. \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{c}2^{-2}\le 2^x\textless 2^3, \\2^x\textgreater 2^3. \end{array}\right.$ Так как функция $2^x$ монотонно возрастает, то $\left[ \begin{array}{c}-2\leq x\textless 3, \\x\textgreater 3. \end{array}\right.$

Записываем ответ: $x\in \left[-2; 3\right)\cup \left(3; +\infty \right).$

Ответ:

$x\in \left[-2; 3\right)\cup \left(3; +\infty \right).$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 15, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 16.03.2023

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Это полезно