Условие задачи
Решите неравенство \(\displaystyle \frac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\leq \frac{3}{2^x}.\)
Решение
\(\displaystyle \frac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\le \frac{3}{2^x}.\)
Сделаем замену: \(2^x=t, \; t> 0,\) тогда \(2^{2x}=t^2\) и получаем неравенство \(\displaystyle \frac{4t^2-36t+32}{8t-t^2}\leq \frac{3}{t}.\)
Упростим числитель, вынося 4 за скобки и раскладывая квадратный трёхчлен на множители с использованием теоремы Виета:
\(4t^2-36t+32=4\left(t^2-9t+8\right)=4\left(t-8\right)\left(t-1\right).\)
\(\displaystyle \frac{4\left(t-8\right)\left(t-1\right)}{t\left(8-t\right)}\leq \frac{3}{t} \Leftrightarrow \frac{-4\left(8-t\right)\left(t-1\right)}{t\left(8-t\right)}\leq \frac{3}{t} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{4\left(t-1\right)}{t}+\frac{3}{t}\geq 0, \\
t\neq 8; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{4t-1}{t}\geq 0, \\
t\neq 8. \end{array}
\right.\)
Решаем неравенство методом интервалов, учитывая, что \(t> 0.\)
Получаем \(\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{1}{4}\le t< 8, \\
t > 8. \end{array}
\right.\)
Возвращаемся к старой переменной \(x\) \(\left[ \begin{array}{c}
\displaystyle \frac{1}{4}\leq 2^x< 8, \\
2^x> 8. \end{array}
\right.\)
\(\left[ \begin{array}{c}
2^{-2}\le 2^x< 2^3, \\
2^x> 2^3. \end{array}
\right.\)
Так как функция \(2^x\) монотонно возрастает, то \(\left[ \begin{array}{c}
-2\leq x < 3, \\
x> 3. \end{array}
\right.\)
Записываем ответ: \(x\in \left[-2; 3\right)\cup \left(3; +\infty \right).\)
Ответ:
\(x\in \left[-2; 3\right)\cup \left(3; +\infty \right).\)
