previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

Решите неравенство \displaystyle \frac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\leq \frac{3}{2^x}.

Решение

\displaystyle \frac{2^{2x+2}-9\cdot 2^{x+2}+32}{2^{x+3}-2^{2x}}\le \frac{3}{2^x}.

Сделаем замену: 2^x=t, \; t\textgreater 0, тогда 2^{2x}=t^2 и получаем неравенство \displaystyle \frac{4t^2-36t+32}{8t-t^2}\leq \frac{3}{t}.

Упростим числитель, вынося 4 за скобки и раскладывая квадратный трёхчлен на множители с использованием теоремы Виета

4t^2-36t+32=4\left(t^2-9t+8\right)=4\left(t-8\right)\left(t-1\right).

\displaystyle \frac{4\left(t-8\right)\left(t-1\right)}{t\left(8-t\right)}\leq \frac{3}{t} \Leftrightarrow \frac{-4\left(8-t\right)\left(t-1\right)}{t\left(8-t\right)}\leq \frac{3}{t} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\frac{4\left(t-1\right)}{t}+\frac{3}{t}\geq 0, \\t\neq 8 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\frac{4t-1}{t}\geq 0, \\t\neq 8. \end{array}\right.

Решаем неравенство методом интервалов учитывая, что t\textgreater 0.

Получаем \left[ \begin{array}{c}\frac{1}{4}\le t\textless 8, \\t\textgreater 8. \end{array}\right. Возвращаемся к старой переменной x \left[ \begin{array}{c}\frac{1}{4}\leq 2^x\textless 8, \\2^x\textgreater 8. \end{array}\right.

\left[ \begin{array}{c}2^{-2}\le 2^x\textless 2^3, \\2^x\textgreater 2^3. \end{array}\right. Так как функция 2^x монотонно возрастает, то \left[ \begin{array}{c}-2\leq x\textless 3, \\x\textgreater 3. \end{array}\right.

Записываем ответ: x\in \left[-2; 3\right)\cup \left(3; +\infty \right).

Ответ:

x\in \left[-2; 3\right)\cup \left(3; +\infty \right).