previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN:BC = 2:5, а BN =14.

Решение

а) Обозначим половинки углов B и C через \beta и \gamma .

Четырёхугольник CBNM вписан в окружность, поэтому \angle CBM=\angle CNM=\beta , \angle BCN=\angle BMN=\gamma , как вписанные в окружность и опирающиеся на равные дуги. Аналогично \angle MCN=\angle MBN, т. е. \beta =\gamma и \angle BCA=2\gamma =2\beta =\angle CBA, следовательно, \vartriangle ABC — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Переделаем чертёж согласно пункту а).

1) \triangle BMC=\triangle CNB по стороне и двум углам, значит, MC=NB=14, а AM=AN, поэтому \triangle ANM\sim \triangle ABC, \angle ANM=\angle ABC, и NM\parallel BC.

Из подобия треугольников \triangle ANM\sim \triangle ABC получаем \displaystyle \frac{NM}{BC}=\frac{AN}{AB}.

Пусть AN=x, значит, AB=14+x и из равенства отношений \displaystyle \frac{x}{14+x}=\frac{2}{5} получаем \displaystyle x=\frac{28}{3}, а \displaystyle AB=14+\frac{28}{3}=\frac{70}{3}.

2) В \vartriangle ABC BM — биссектриса, и по свойству биссектрисы имеем

\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}=\frac{28}{3\cdot 14}=\frac{2}{3}, значит, \displaystyle \frac{70}{3\cdot BC}=\frac{2}{3} и BC=35.

\displaystyle \frac{MN}{BC}=\frac{2}{5}, \; MN=\frac{2\cdot 35}{5}=14.

Пусть прямая AP пересекает BC в точке H, AH — биссектриса, медиана и высота, \displaystyle BH=\frac{BC}{2}=\frac{35}{2} и AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{{\left(\frac{70}{3}\right)}^2-{\left(\frac{35}{2}\right)}^2}=\frac{35\sqrt{7}}{6}.

3) В \vartriangle ABH BP — биссектриса, по свойству биссектрисы \displaystyle \frac{AP}{PH}=\frac{AB}{BH}, \frac{AP}{AH-AP}=\frac{AB}{BH}. Пусть AP=y, получаем уравнение

\displaystyle \frac{y}{AH-y}=\frac{70\cdot 2}{3\cdot 35}, 7y=4AH, y=4\cdot \frac{35\sqrt{7}}{6\cdot 7}=\frac{10\sqrt{7}}{3}, \displaystyle AP=\frac{10\sqrt{7}}{3}.

Так как \left. \begin{array}{c}AH\bot BC \\BC\parallel MN \end{array}\right\}\Rightarrow AH\bot MN, то в четырёхугольнике AMPN диагонали перпендикулярны и известны, поэтому

\displaystyle S_{AMPN}=\frac{1}{2}AP\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot \frac{10\sqrt{7}}{3}\cdot 14=\frac{70\sqrt{7}}{3}.

Ответ:

б) \displaystyle \frac{70\sqrt{7}}{3}.