Решение. Задание 16, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BM$ и $CN.$ Оказалось, что точки $B, C, M$ и $N$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC.$ Найдите площадь четырёхугольника $AMPN,$ если $MN:BC = 2:5,$ а $BN =14.$

Решение

а) Обозначим половинки углов $B$ и $C$ через $\beta$ и $\gamma .$

Четырёхугольник $CBNM$ вписан в окружность, поэтому $\angle CBM=\angle CNM=\beta ,$ $\angle BCN=\angle BMN=\gamma ,$ как вписанные в окружность и опирающиеся на равные дуги. Аналогично $\angle MCN=\angle MBN,$ т. е. $\beta =\gamma$ и $\angle BCA=2\gamma =2\beta =\angle CBA,$ следовательно, $\vartriangle ABC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Переделаем чертёж согласно пункту а).

1) $\triangle BMC=\triangle CNB$ по стороне и двум углам, значит, $MC=NB=14,$ а $AM=AN,$ поэтому $\triangle ANM\sim \triangle ABC,$ $\angle ANM=\angle ABC,$ и $NM\parallel BC.$

Из подобия треугольников $\triangle ANM\sim \triangle ABC$ получаем $\displaystyle \frac{NM}{BC}=\frac{AN}{AB}.$

Пусть $AN=x,$ значит, $AB=14+x$ и из равенства отношений $\displaystyle \frac{x}{14+x}=\frac{2}{5}$ получаем $\displaystyle x=\frac{28}{3},$ а $\displaystyle AB=14+\frac{28}{3}=\frac{70}{3}.$

2) В $\vartriangle ABC$ $BM$ — биссектриса, и по свойству биссектрисы имеем

$\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}=\frac{28}{3\cdot 14}=\frac{2}{3},$ значит, $\displaystyle \frac{70}{3\cdot BC}=\frac{2}{3}$ и $BC=35.$

$\displaystyle \frac{MN}{BC}=\frac{2}{5}, \; MN=\frac{2\cdot 35}{5}=14.$

Пусть прямая $AP$ пересекает $BC$ в точке $H, AH$ — биссектриса, медиана и высота, $\displaystyle BH=\frac{BC}{2}=\frac{35}{2}$ и $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{{\left(\frac{70}{3}\right)}^2-{\left(\frac{35}{2}\right)}^2}=\frac{35\sqrt{7}}{6}.$

3) В $\vartriangle ABH$ $BP$ — биссектриса, по свойству биссектрисы $\displaystyle \frac{AP}{PH}=\frac{AB}{BH}, \frac{AP}{AH-AP}=\frac{AB}{BH}.$ Пусть $AP=y,$ получаем уравнение

$\displaystyle \frac{y}{AH-y}=\frac{70\cdot 2}{3\cdot 35}, 7y=4AH, y=4\cdot \frac{35\sqrt{7}}{6\cdot 7}=\frac{10\sqrt{7}}{3},$ $\displaystyle AP=\frac{10\sqrt{7}}{3}.$

Так как $\left. \begin{array}{c}AH\bot BC \\BC\parallel MN \end{array}\right\}\Rightarrow AH\bot MN,$ то в четырёхугольнике $AMPN$ диагонали перпендикулярны и известны, поэтому

$\displaystyle S_{AMPN}=\frac{1}{2}AP\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot \frac{10\sqrt{7}}{3}\cdot 14=\frac{70\sqrt{7}}{3}.$

Ответ:

б) $\displaystyle \frac{70\sqrt{7}}{3}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 10.03.2023

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Это полезно