Условие задачи
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 8% в первый год и на одинаковое целое число \(n\) процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение \(n,\) при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Решение
Пусть \(S\) — сумма вклада.
По вкладу «А» каждый год сумма увеличивается в \(\displaystyle 1+\frac{10}{100}=1,1\) раз и через 3 года будет \(S\cdot {\left(1,1\right)}^3=1,331\cdot S.\)
По вкладу «Б» через год будет \(S\cdot 1,08,\) а ещё через два увеличится в \(k^2,\) где \(k=1+\displaystyle \frac{n}{100}.\)
Вклад «Б» будет выгоднее вклада «А», если \(S\cdot 1,08\cdot k^2> 1,331\cdot S,\) т. е. \(1,08\cdot k^2> 1,331,\) так как \(S> 0.\)
Очевидно, что при \(n=10\) вклад «А» остаётся выгоднее вклада «Б». Попробуем подобрать \(n.\)
Пусть \(n=11,\) тогда \(k^2\cdot 1,08=1,11^2\cdot 1,08=1,2321\cdot 1,08=1,330668< 1,331.\)
Пусть \(n=12,\) тогда \(k^2\cdot 1,08=1,12^2\cdot 1,08=1,2544\cdot 1,08=1,354752> 1,331.\)
Следовательно, \(n=12.\)
Ответ:
12.
