Условие задачи
Найдите все значения \(a,\) при каждом из которых система \(\left\{ \begin{array}{c}
x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\
a^2+ax+2ay=5 \end{array}
\right.\) имеет решение.
Решение
\(\left\{ \begin{array}{c}
x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\
a^2+ax+2ay=5. \end{array}
\right.\)
Преобразуем первое уравнение системы:
\(x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right);\)
\(x^2-4x+y^2-2y+5=0;\)
\(x^2-4x+4+y^2-2y+1=0;\)
\({\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=0.\)
Оба слагаемых левой части неотрицательны. Сумма квадратов может равняться 0 тогда и только тогда, когда каждый из них равен 0, т. е. имеем единственное решение \(x=2, y=1.\)
Система может иметь только это единственное решение, если оно будет удовлетворять и второму уравнению.
Подставляем \(x=2, \; y=1\) во второе уравнение и находим \(a\).
\(a^2+2a+2a=5, \; a^2+4a-5=0,\)
\(D=16+4\cdot 5=36, \; \displaystyle a_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}, \; a=-5\) или \(a=1.\)
Ответ:
\(\left\{-5; 1\right\}.\)
